In diesem Beitrag wird eine Schulbuchanalyse, als Teil meines Promotionsprojektes,
zum Thema Umgang mit Variablen bei der Einführung von
Termen und Gleichungen vorgestellt. Die Grundlage der Analyse bildet das
Schulbuch Schnittpunkt 7 für Realschulen von 2006 in der Auflage für
Nordrhein-Westfalen. Dabei wird auch der begleitende Serviceband, welcher
über die Schwerpunkte und Intentionen der Schulbuchautoren Auskunft
gibt, in die Analyse mit einbezogen. Die zugrundeliegenden Fragestellungen
lauten: Wie wird der Begriffe Variable eingeführt und wofür
stehen die verwendeten Buchstaben auf den Schulbuchseiten? Was sind die
zugrundeliegenden Objekte für die Lernenden? Und welche impliziten oder
expliziten Begründungen gibt es auf den Seiten? Die Antworten auf diese
Fragen lassen Rückschlüsse auf die Auffassung von Algebra zu, welcher
die Lernenden auf Grundlage dieses Schulbuches erwerben. Um die Einführung
und die Behandlung von Variablen richtig deuten zu können, ist es
wesentlich den Stand der Lernenden zu berücksichtigen, welchen sie auf
Grundlage der Schulbücher der Klassen fünf und sechs erworben haben

Schiffer, Katrin

Eldorado - Ressourcen aus und für Lehre, Studium und Forschung

 In F. Caluori, H. Linneweber-Lammerskitten & C. Streit (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 
2015. Münster: WTM-Verlag 
800 
Katrin SCHIFFER, Köln 
Schulbuchanalyse zum Umgang mit Variablen bei der 
Einführung von Termen und Gleichungen in der 7. Klasse 
In diesem Beitrag wird eine Schulbuchanalyse, als Teil meines Promoti-
onsprojektes, zum Thema Umgang mit Variablen bei der Einführung von 
Termen und Gleichungen vorgestellt. Die Grundlage der Analyse bildet das 
Schulbuch Schnittpunkt 7 für Realschulen von 2006 in der Auflage für 
Nordrhein-Westfalen. Dabei wird auch der begleitende Serviceband, wel-
cher über die Schwerpunkte und Intentionen der Schulbuchautoren Aus-
kunft gibt, in die Analyse mit einbezogen. Die zugrundeliegenden Frage-
stellungen lauten: Wie wird der Begriffe Variable eingeführt und wofür 
stehen die verwendeten Buchstaben auf den Schulbuchseiten? Was sind die 
zugrundeliegenden Objekte für die Lernenden? Und welche impliziten oder 
expliziten Begründungen gibt es auf den Seiten? Die Antworten auf diese 
Fragen lassen Rückschlüsse auf die Auffassung von Algebra zu, welcher 
die Lernenden auf Grundlage dieses Schulbuches erwerben. Um die Ein-
führung und die Behandlung von Variablen richtig deuten zu können, ist es 
wesentlich den Stand der Lernenden zu berücksichtigen, welchen sie auf 
Grundlage der Schulbücher der Klassen fünf und sechs erworben haben.  
1. Schnittpunkt der Klasse 5 und 6 
In den Schulbüchern Schnittpunkt der Klassen 5 und 6 tauchen Buchstaben 
nicht als Variablen im Sinne einer unbekannten Zahl oder Größe auf. 
Buchstaben sind stattdessen in der Verwendung als Namen für geometri-
sche Objekte wie a für eine Strecke oder auch B für einen Punkt zu finden. 
Ebenfalls werden Buchstaben als Abkürzung für Maßeinheiten wie kg, l, 
oder cm verwendet. Anstelle von Buchstaben als Variable werden in Auf-
gaben leere Kästchen eingesetzt. Jedoch ist der Gebrauch des leeren Käst-
chens nicht eindeutig bestimmt, da diese nicht nur unbekannte Größen oder 
Zahlen symbolisieren, sondern auch als Platzhalter für Relationszeichen 
stehen. Die Rechengesetze werden verbal angegeben und dann zusätzlich 
mit der Angabe eine Zahlbeispiels bekräftigt. Die Schulbuchreihe zeichnet 
sich durch die Besonderheit aus, dass erst bei der Einführung von Termen 
in der 7. Klasse der Begriff der Variable eingeführt wird. Im Serviceband 
wird dazu angemerkt: „Auch auf die Verwendung von Formeln [...] wurde 
bisher aus didaktischen Gründen verzichtet. Erst nach einer systematischen 
Einführung in die Bedeutung der Variablenschreibweise können die Ler-
nenden das Formelaufstellen als eine sinnvolle und grundlegende mathe-
matische Tätigkeit erfassen.” (Serviceband 2006, K 42). 
801 
2. Schulbuchanalyse Schnittpunkt Klasse 7 
Im Serviceband wird zu Beginn des Kapitels betont, dass die Intention bei 
der folgenden Unterrichtseinheit nicht auf dem Erlernen von Umrech-
nungskalkülen liegt, sondern das Verständnis für die Bedeutung von Vari-
ablen im Vordergrund steht (Vgl. Serviceband, K 42). Die Schüler sollen 
wissen, dass Variablen für Zahlen und Größen stehen. In diesem Sinne 
wird die Variable im Schülerbuch definiert: „Ein Zeichen, das man anstelle 
von Zahlen oder Größen verwendet, nennt man Variable.“ (Schnittpunkt 7, 
S. 100). Terme werden dann als Rechenausdrücke eingeführt, welche aus 
Zahlen, Variablen und Rechenzeichen bestehen. Auf der gleichen Seite be-
finden sich die ersten Aufgaben für die Lernenden, in welchen sie aufge-
fordert sind verschiedene Sätze oder auch Terme zu erklären. Dabei stehen 
hier die verwendeten Buchstaben nicht notwendigerweise für Variablen im 
obigen Sinne. In dem Satz: „Wer A sagt muss auch B sagen.“ zum Beispiel 
stehen A und B weder für unbekannte Zahlen noch Größen. In den Aufga-
ben tauchen Buchstaben außerdem als Teil eines Namens, als Größen, und 
als Abkürzungen für Maßeinheiten auf. Die verschiedenen Verwendungen 
der Buchstaben wird nicht thematisiert. Im Serviceband zeigt sich, dass 
diese Differenzierung nicht nur nicht explizit gemacht wird, sondern für die 
Autoren des Servicebandes auch nicht als problematisch angesehen wird. 
Sie schreiben: „Erklärung für die Zusammenfassung 2y + 3y = 5y wie 2 
Birnen + 3 Birnen = 5 Birnen sind unter mathematischen Gesichtspunkten 
nicht lupenrein. Sie erzeugen hier jedoch keinen Fehler und haben eine ge-
wisse praktische Berechtigung.“ (Serviceband, K 49). Wenn y als Birne in-
terpretiert wird, dann stellt y keine Variable nach der Definition des Schul-
buches da, denn Birne ist eine Einheit. Die fehlende Unterscheidung zwi-
schen den verschiedenen Verwendungen der Buchstaben kann hinderlich 
bei dem Erwerben des Verständnisses der Variable sein. 
Die Einführung der Rechengesetze für Terme und somit für Variablen er-
folgt nicht formal. In der Übertragung der Rechengesetze von den rationa-
len Zahlen auf die Terme findet sich eine implizite Rechtfertigung der Gül-
tigkeit. Für die Lernenden werden die Rechengesetze anschaulich im Grö-
ßenbereich der Längen begründet (Vgl. Schnittpunkt 7, S. 107). Die geo-
metrische Veranschaulichung dient für die Autoren des Schulbuches zum 
Aufbau einer fundierten Vorstellungsgrundlage für den Lernenden. Im Ser-
viceband wird zum Ausbau passender Grundvorstellungen ausgeführt: „So 
wird die Addition mit der Vorstellung von einem Aneinanderfügen von 
Strecken verbunden. Im Ergebnis ergibt sich erneut eine Strecke. Die Mul-
tiplikation wird mit der Berechnung von Flächeninhalten verknüpft. Das 
Ergebnis, ein Produkt aus zwei Variablen, steht für Flächen.” (Serviceband, 
802 
K 50). Auf diese Weise soll die arithmetische Grundvorstellung des Anfü-
gens und Abtrennens auf die Algebra erweitert werden. Analog zu der Ad-
dition erfolgt im Schulbuch die Einführung der Multiplikation. Auch hier 
wird auf eine formale Einführung verzichtet und Rechengesetze werden in 
den Größenbereichen der Längen, Flächen und Volumina begründet. Die 
bei den Lernenden ausgebildeten geometrischen Grundvorstellungen lie-
fern die Begründungen und Rechtfertigungen für das „verständnisvolle 
Rechnen“. So wird im Serviceband für das Zusammenfassen von Termen 
ausgeführt: „Die Interpretation von 2x + 3x als Aneinanderfügen von Stre-
cken bzw. von 2xy + 3xy als Aneinanderfügen von Flächen macht deutlich, 
dass 3x und 4xy nicht addiert werden können.“ (Serviceband, K 51). Die 
dimensionale Beschränktheit der bereichsspezifischen Erklärung der Re-
chengesetze wird im Schulbuch nicht explizit angesprochen.  
Das erworbene Verständnis von Variablen und Termen bildet die Grundla-
ge für das Kapitel über Gleichungen. Eine Gleichung wird eingeführt als 
zwei Terme, welche mit einem Gleichheitszeichen verbunden sind. Eine 
Gleichung zu lösen bedeutet die Zahl zu finden, die beide Terme zu dem-
selben Wert führt (Schnittpunkt 7, S. 122). Nach einer kurzen Sequenz zum 
Lösen von Gleichungen durch Probieren werden die elementaren Zei-
lenumformungen eingeführt. Die Einstiegsaufgabe zeigt Waagen im 
Gleichgewicht, die jeweils Kugel und Würfel enthalten. Die Lernenden sol-
len das Gewicht eines Würfels mit Hilfe des Gewichtes einer Kugel be-
schreiben. Im Serviceband wird explizit betont, dass die Waagen hier nicht 
zur Veranschaulichung der Gleichungen dienen, sondern vielmehr die 
Gleichungen die vorliegende Sachsituation beschreiben sollen. Die Waage 
stellt dabei ein neues Modell dar, dessen Vorstellung dem Lernenden hel-
fen soll schwierigere Aufgaben zu lösen. Die Grenzen dieses Modells wer-
den zwar im Serviceband thematisiert, jedoch nicht als Anregung für den 
Unterricht formuliert. Im Schulbuch selbst wird die Beschränktheit des 
Modells auf natürliche Zahlen nicht aufgegriffen. Nach diesem Einstieg er-
folgt die Einführung der Umformungsregeln. Für jede Grundrechenart wird 
durch Vorrechnung eines einfachen Beispiels die Umformungsregel gesi-
chert. Eine formale Begründung erfolgt nicht, vielmehr werden die Regeln 
für die Lernenden durch die Veranschaulichung der einzelnen Schritte im 
Waagenmodell begründet. Auf die aus dem vorherigen Kapitel aufgebauten 
Grundvorstellungen des Anfügens und Abtrennens wird bei der Behand-
lung der Gleichungen kein Bezug genommen.  
3. Auffassung von Algebra 
Schnittpunkt 7 führt Variablen als unbekannte Größe oder Zahl ein und un-
terstützt durch seine Veranschaulichungen den Aufbau von geometrischen 
803 
Grundvorstellungen, wie das Anfügen und Abtrennen von Strecken oder 
Flächen bei der Addition von Termen. Die Betonung dieser geometrischen 
Grundvorstellungen sowie das Begründen der Rechengesetze innerhalb ei-
nes realen Gegenstandsbereichs, wie dem Größenbereich der Längen, führt 
dazu, dass für die Lernenden die zugrundeliegenden geometrischen Objekte 
die Objekte der Algebra sind. Sie lernen gemäß dieser Analyse eine Theo-
rie über die Veranschaulichungsmittel. Auch bei der Gleichungslehre wird 
die Vorstellung von Gleichungen mit dem Veranschaulichungsmodell der 
Waage verknüpft. Hier stellen ebenfalls die vorliegenden Gewichte die Ob-
jekte da. Daher ist es gerechtfertigt zu sagen, dass die Objekte für die Ler-
nenden auf den Schulbuchseiten empirisch gegenständlich sind. Die Kon-
zeption des Schulbuches zeigt, dass die Geometrie bzw. die geometrischen 
Zusammenhänge als Grundlage der Rechtfertigung für die einzelnen Um-
formungsschritte dienen. Gesetze wie das Distributivgesetz werden mit Hil-
fe geometrischer Situationen begründet. Eine formale Begründung für die 
Rechenkalküle erfolgt nicht, sondern diese werden in einem realen Grö-
ßenbereich begründet. Die Algebra wird also auf Grundlage dieses Schul-
buchs nicht als abstrakte Theorie vermittelt, sondern die Lernenden erlan-
gen eine empirisch gegenständliche Theorie über Variablen, Termen und 
Gleichungen (vgl. zu empirischen Theorien Burscheid/Struve, 2010). Die 
empirische Auffassung von Algebra ist historisch gerechtfertigt und be-
gründet. So ist zum Beispiel das Ziel von Eulers „Vollständige Anleitung 
zur Algebra“ die Phänomene der Realität zu beschreiben. Euler definiert 
die Algebra „als die Wissenschaft, die zeigt, wie man aus bekannten Grö-
ßen unbekannte findet“ (Euler 1770, Part 2 § 1). Eulers Darstellung der Al-
gebra in seinem Lehrbuch erfüllt die Merkmale einer empirisch gegen-
ständlichen Theorie (vgl. Reimann/Witzke, 2013).  
Literatur 
Burscheid, H.J., Struve, H. (2010): Mathematikdidaktik in Rekonstruktion – Ein Beitrag 
zu ihrer Grundlegung, Franzbecker Verlag. 
Euler, L. (1770): Vollständige Anleitung zur Algebra, 1959. Aufl., Reclam Verlag. 
Reimann, K., Witzke, I. (2013): Eulers Zahlauffassung in der „Vollständigen Anleitung 
zur Algebra. In M Meyer, M. Müller-Hill & I. Witzke (Hrsg.): Wissenschaftlichkeit 
und Theorienentwicklung in der Mathematikdidaktik – Festschrift zum sechzigsten 
Geburtstag von Horst Struve. Franzbecker Verlag, S. 125-144. 
Böttner, J., Maroska, R., Olpp, A., Pongs, R., Stöckle, C., Wellstein, H. & Wontroba, H. 
(2006): Schnittpunkt 7. Mathematik für Realschulen,. Nordrhein-Westfalen: Schü-
lerbuch, Bd. 7, Klett Ernst. 
Dermann, G., Eberle, R., Frey, B.-J., Frey, H., Palte, M., Straubmüller, G. & Wellpott, 
K. (2006): Schnittpunkt 7. Mathematik für Realschulen,. Nordrhein-Westfalen: Ser-
viceband, Bd. 7, Klett Ernst. 


Schulbuchanalyse zum Umgang mit Variablen bei der  Einführung von Termen und Gleichungen in der 7. Klasse

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/34719/1/BzMU15_SCHIFFER_Schulbuchanaly.pdf

Schulbuchanalyse zum Umgang mit Variablen bei der Einführung von Termen und Gleichungen in der 7. Klasse

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