Cramer, Christine Jenny

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Jenny Christine CRAMER, Bremen Sprachliche Hürden im deduktiven Schließen für Lernende mit Migrationshintergrund In den Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss der KMK (2003) wird gefordert, dass alle Schülerinnen und Schüler „mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Begründungen, Bewei-se)“ können sollen. Deduktive Schlussweisen sind wesentlicher Bestandteil mathematischer Argumentationen, und das Erkennen von Beziehungen zwischen Aussagen ist charakteristisch für mathematisches Denken (Jahnke 2007). Im deduktiven Schließen werden Zusammenhänge deutlich und be-stehendes Wissen wird mit neuen Erkenntnissen verknüpft. Diese Erfahr-barkeit mathematischer Strukturen birgt ein großes Lernpotential.  Knipping (2012) hat darauf hingewiesen, dass bislang nur unzureichend geprüft wurde, ob die stärkere Betonung des Argumentierens und Begrün-dens in den Bildungsstandards allen Lernenden gleichermaßen zugute kommt. Studien zum Modellieren (Leufer und Sertl 2010) und Problemlö-sen (Lubienski 2000) haben gezeigt, dass in den untersuchten Bereichen insbesondere Kinder aus schwächeren sozialen Milieus Schwierigkeiten haben. In den Untersuchungen zeigten sich unter anderem Probleme beim Abstrahieren von einer konkreten Situation auf allgemeinere Zusammen-hänge. Im Rahmen der PISA-Studien wurde die Bildungsbenachteiligung von Jugendlichen mit Migrationshintergrund in Deutschland herausgestellt (Prenzel et al. 2003). Gogolin (2009) weist in diesem Zusammenhang auf die geringere Vertrautheit dieser Jugendlichen mit dem im Schulkontext erforderlichen Sprachregister der Bildungssprache hin. Deduktives Schließen ist eine Form mathematischen Argumentierens. Es verlangt, sich im mathematischen Wissen zu bewegen, Verbindungen zwi-schen Aussagen zu erkennen und Verknüpfungen zu schaffen. Dafür ist es nötig, sich vom Kontext der Situation zu lösen und größere Zusammenhän-ge zu betrachten. Darüber hinaus ist es erforderlich, von Beispielen ausge-hend zu abstrahieren und Verallgemeinerungen zu erkennen. Beim Lösen offener Probleme baut das Auffinden von Argumenten auf einer Verallge-meinerung auf Grundlage einzelner Beispiele auf (Pedemonte 2008). Die Bestandteile der Argumentation, Datum, Schlussregel und Konklusion (vgl. Toulmin 1958), müssen präzise benannt werden, um deduktive Schlüsse intersubjektiv nachvollziehbar zu machen. Im internationalen Diskurs hat Cummins die Begriffe „Cognitive Academic Language Proficiency“ (CALP) und „Basic Interpersonal Communicative Skills“ (BICS) für die verschiedenen Sprachregister, die im Zweitsprach-erwerb bedeutsam sind, etabliert (Cummins 2008). Diese Unterscheidung entspricht der Unterscheidung von Bildungssprache und Alltagssprache in Deutschland. Duarte (2011) hat die Anforderungen der beiden Sprachregis-ter tabellarisch gegenübergestellt (ebd. S. 71, übersetzt und gekürzt): CALP /Bildungssprache BICS/ Alltagssprache Orientiert an Schriftsprache Orientiert an mündlicher Sprache Abstrakt, symbolisch Konkret, tatsachenverhaftet Gelöst vom Kontext Kontextgebunden Verallgemeinernd Spezifisch Teilweise technisch, spezifisch Unwissenschaftlich, allgemein Sprachlich dicht Sprachlich zerstreut Präzise Unpräzise Unpersönlich (Pronomen) Persönlich (Handelnde werden ex-plizit genannt) Hohes Maß an Zusammenhang Teilweise unstrukturiert Hohe Bedeutungsdichte Niedrige Bedeutungsdichte  Die vorgenannten Charakteristika des deduktiven Schließens und mathema-tischen Argumentierens befinden sich alle in der linken Tabellenspalte. Die sprachlichen Hürden des deduktiven Schließens sind offensichtlich. Insbe-sondere die Notwendigkeit von Verallgemeinerungen hebt das mathemati-sche Argumentieren von anderen Prozessen im Mathematikunterricht ab. Es ist zu erwarten, dass Fähigkeiten und Probleme von Schülerinnen und Schülern im Verallgemeinern starke Auswirkungen auf ihre Fähigkeiten im deduktiven Schließen haben.  Beschreibung meiner Forschungsarbeit In einer qualitativen Studie untersuche ich als Lehrerin und Forscherin die sprachlichen Hürden im deduktiven Schließen für Schülerinnen und Schü-ler mit Migrationshintergrund. Die Untersuchung findet im Rahmen eines Projekts der Mercator-Stiftung aus Essen statt, die Lernenden nichtdeut-scher Erstsprache kostenlosen Förderunterricht ermöglicht. Ich betreue einmal wöchentlich zwei Kleingruppen; in der Datenanalyse beziehe ich mich auf eine Gruppe von 5 Schülerinnen aus Jahrgangsstufe 9 verschiede-ner Schulformen. Der Unterricht besteht aus 45 Minuten gemeinsamer Ar-beit und 45 Minuten für individuelle Fragen. In der gemeinsamen Arbeit stelle ich Aufgaben, die Aspekte des deduktiven Schließens aufgreifen und zugleich für die aktuell in der Schule behandelten Themen relevant sind. Ich zeichne alle Stunden auf Video auf und führe zur Vor- und Nachberei-tung des Unterrichts Gespräche mit einem Experten. Der Erhebungszeit-raum umfasst das gesamte Schuljahr 2012/2013. Zu verschiedenen Zeit-punkten führe ich außerdem Interviews mit den Lernenden. Eine umfas-sende Analyse der Daten findet nach Ende der Datenerhebung statt.  Ich strebe in meiner Forschung insbesondere eine präzise Diagnose der Schwierigkeiten an, die meine Schülerinnen und Schüler im Argumentieren und deduktiven Schließen zeigen. Aus den gewonnenen Erkenntnissen möchte ich Ansatzpunkte für eine integrierte Förderung von Argumentieren und Bildungssprache gewinnen.  Erste Erkenntnisse aus der Gruppe der Neuntklässlerinnen Verallgemeinerungen haben sich als besondere Hürden für das deduktive Schließen herausgestellt. Abbildung 1 zeigt eine Aufgabe, an der Schwie-rigkeiten beim Verallgemeinern besonders deutlich wurden. Das Ziel der Aufgabe lag darin, dass die Schülerinnen anhand mehrerer untersuchter Beispiele Gemeinsamkeiten herausstellen und aus diesen auf eine allge-meine Formel zur Berechnung schließen sollten.  Die Aufgabe ist in einer persönlichen und kontextgebundenen Sprache ge-stellt. Die Satzstruktur ist wenig komplex. Im Bereich der Sprachrezeption sind nur geringe Kenntnisse der Bildungssprache notwendig.  In!ein!Quadrat!aus!grauen!Kästchen!sollst!du!weiße!Kästchen!legen.!Die!grauen!Kästchen!dürfen!sich!danach!nicht!mehr!berühren.!!!(Gegebenes!Beispiel:!16!Quadrate)!!Wie!viele!weiße!Kästchen!brauchst!du,!wenn!das!graue!Quadrat!aus!36,!100,!1024!Kästchen!besteht?!!Graue!und$weiße$Kästchen!!!Aufgabe:!!!In!ein!Quadrat!aus!grauen!Kästchen!sollst!du!weiße!Kästchen!legen.!Die!grauen!Kästchen!dürfen!sich!danach!nicht!mehr!berühren.!!!Beispiel!mit!16!grauen!Quadraten:!!!!!!!!!!!!!!!a)!Wie!viele!weiße!Kästchen!brauchst!du,!wenn!das!graue!Quadrat!aus!• 36!• 100!• 1024!Kästchen!besteht?!!!b)!Wie!viele!weiße!Kästchen!brauchst!du,!wenn!das!graue!Quadrat!aus!• 25!• 81!• 529!Kästchen!besteht?!!!Eine!Mitschülerin!war!nicht!dabei,!als!ihr!die!Aufgabe!gelöst!habt.!Formuliert!eine!allgemeine!Erklärung!dafür,!wie!man!die!Anzahl!der!weißen!Kästchen!herausfindet!! Abbildung 1. Muster fortsetzen. Die Schülerinnen versuchten in ihrer Bearbeitung der Aufgabe, durch Ab-zählen und Zeichnen zu einer Lösung zu gelangen. Um die für das 32x32-Quadrat möglich zu machen, klebten sie mehrere Blätter zusammen. Die bereits erarbeiteten Lösungen für die kleinen Quadrate wurden beim Su-chen nach der Lösung für das große Quadrat nicht berücksichtigt. Es fand keine Verallgemeinerung statt.  In mehreren Aufgaben haben sich Verallgemeinern und Abstrahieren als besonders schwierige Tätigkeiten herausgestellt. Diese sind essentiell für das deduktive Schließen und stehen in enger Verbindung zum bildungs-sprachlichen Regis er.  Ausblick und geplantes weiteres Vorgehen In der zweiten Hälfte der Datenerhebung werde ich das Verallgemeinern als notwendige Tätigkeit im deduktiven Schließen noch stärker in den Blick nehmen. Des Weiteren möchte ich verstärkt bildungssprachliche Elemente in den Unterricht integrieren, um das Potenzial einer synchronen Förderung sprachlicher und deduktiver Fähigkeiten zu erkunden. Das wei-tere Vorgehen und die Entwicklung neuer Aufgaben werden zudem ge-stützt durch eine Zwischenauswertung der Daten im März 2013.   Literatur Cummins, J. (2008): BICS and CALP: Empirical and theoretical status of the distinc-tion. In: B. Street & N.H. Hornberger (Hrsg.): Encyclopedia of Language and Educa-tion, 2nd Edition, Volume 2: Literacy. New York: Springer Science + Business Me-dia LLC, 71-83. Duarte, J. (2011): Bilingual language proficiency: A comparative study. Münster: Waxmann. Gogolin, I. (2009): Zweisprachigkeit und die Entwicklung bildungssprachlicher Fähig-keiten. In: Gogolin, I. and Neumann, U. (eds). Streitfall Zweisprachigkeit – The Bi-lingualism Controversy. Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften, 263-281.  Jahnke, H.N. (2007): Proofs and hypotheses. Zentralblatt der Mathematik 39(1), 79-86.  Knipping, C. (2012): The social dimension of argumentation and proof in mathematics classrooms. Online: http://www.icme12.org/upload/submission/1935_F.pdf. Letzter Zugriff 30.05.2012. Kultusministerkonferenz (Hrsg.) (2003): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss. Online: http://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse /2003/2003_12_04-Bildungsstandards-Mathe-Mittleren-SA.pdf  Letzter Zugriff 20.02.2013. Leufer, N., Sertl, N. (2010): Kontextwechsel in realitätsbezogenen Mathematikaufga-ben. In: Brake, A. & Bremer, H. (Hrsg.): Alltagswelt Schule. Die soziale Herstellung schulischer Wirklichkeiten. Weinheim/München: Juventa, 111-133. Lubienski, S. T. (2000): Problem solving as a means toward mathematics for all: An Exploratory Look Through a Class Lens. In: Journal for Research in Mathematics Education, 31(4), 454-482.  Pedemonte, B. (2008): Argumentation and algebraic proof. In: ZDM Mathematics Edu-cation 40, 385-400. Prenzel, M., Baumert, J., Blum, W., Lehmann, R., Leutner, D., Neubrand, M., Pekrun, R., Rolff, H.-G., Rost, J. und Schiefele, U. (2004): Ergebnisse des zweiten Internati-onalen Vergleichs – Zusammenfassung. Online: http://pisa.ipn.uni-kiel.de/PISA2003_E_Zusammenfassung.pdf Letzter Zugriff 23.02.2013 Toulmin, S. (1958): The uses of argument. Cambridge: Cambridge University Press. 

Sprachliche Hürden im deduktiven Schließen für Lernende mit Migrationshintergrund

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