Hänisch, Corinna

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

Corinna HÄNISCH, Aachen Denkformen des formalen Denkens – Eine empirische Studie zur spezifischen Kognition von Studienanfängern im Fach Mathematik Im Wintersemester 2009/2010 wurde an der RWTH Aachen eine qualitati-ve Studie mit Studienanfängern durchgeführt, mit dem Ziel, den Schritt von der Schul- zur Hochschulmathematik näher zu beleuchten. Insbesondere wurden Schwierigkeiten beim Übergang zur formalen Hochschulmathema-tik untersucht, die in dieser Form für Erstsemester unbekannt ist. Dazu wurden insgesamt fünf Leitfadeninterviews zu unterschiedlichen ma-thematischen Themen (Mengenlehre, Vollständige Induktion, Abbildun-gen, Relationen, Gruppen) geführt, die für die spätere Auswertung darüber hinaus videografiert wurden. Die Interviews lehnten sich inhaltlich an die Pflichtveranstaltung „Mathematische Grundlagen“ an, wobei die Interviews zeitlich nach der Behandlung des jeweiligen Themas in der Veranstaltung durchgeführt wurden. Die Veranstaltung Mathematische Grundlagen wurde mit der Einführung des Bachelor-Studiengangs Mathematik speziell als Brückenveranstaltung von der Schul- zur Hochschulmathematik konzipiert. Insgesamt haben an der Hauptstudie zwölf Studierende teilgenommen, wo-bei die eine Hälfte in den Studiengang Bachelor Mathematik und die ande-re in den Lehramtsstudiengang Mathematik für Gymnasien und Gesamt-schulen eingeschrieben ist. Kategorien der Analyse Die von uns erarbeiteten Kriterien der Analyse orientieren sich an dem ge-wünschten umfassenden Verständnis eines mathematischen Begriffs. Hier-zu gehören nach unserer Auffassung neben der formalen Definition formale Fertigkeiten, Veranschaulichungen, ein umfassender Vorrat an Beispielen bzw. Gegenbeispielen und Verknüpfungen zu anderen Wissensgebieten. Daraus ergeben sich für die Analyse die drei Oberkategorien Fehlvorstel-lungen, Formale Fertigkeiten und Veranschaulichungen. Fehlvorstellungen: Das Verständnis mathematischer Begriffe wird durch bereits vorhandene Wissenselemente beeinflusst. Gerade bei dem Interview zum Thema Abbildungen, das im Folgenden etwas ausführlicher dargestellt wird, war davon auszugehen, dass jeder Studienanfänger bereits aus der Schule ein gewisses Vorverständnis hierzu mitbrachte. Durch die Inter-views sollte nun das vorhandene mentale Modell (vgl. Johnson-Laird 1983, S. 2) und zugehörige Fehlvorstellungen der Studierenden näher untersucht werden. Unter Fehlvorstellungen werden hierbei sowohl falsche Vorstel-lungen als auch Wissenslücken gefasst. Formale Fertigkeiten: Die formal-syntaktische Ebene mit der Möglichkeit der inhaltslosen Regelanwendung ist ein Charakteristikum der Mathematik. Neben formalen Umformungen soll an dieser Stelle allerdings auch noch die Fähigkeit des Formalisierens und das Verständnis formaler Ausdrücke in den Fokus gerückt werden. Hierzu wurde in den Interviews neben kur-zen formalen Beweisen an mehreren Stellen nach der Quantorenschreibweise oder dem Verständnis einer bisher unbekannten formalen Definition gefragt, so dass alle drei Fähigkeiten im Bereich der formalen Fertigkeiten näher beleuchtet werden konnten. Veranschaulichungen: Hierbei wird unterschieden zwischen exemplari-schen Veranschaulichungen und generischen Veranschaulichungen, die ei-ne exemplarische Eigenschaft verdeutlichen. Für beide Arten kann nach Bruner zwischen ikonischen und symbolischen Veranschaulichungen un-terschieden werden. So gehören beispielsweise im Bereich Abbildungen sowohl Graphen als auch Abbildungsvorschriften zu den exemplarischen Veranschaulichungen. Veranschaulichungen können von den Studierenden an den unterschiedlichsten Stellen verwendet werden, aber ein besonderes Augenmerk wurde auf jene beim Einstieg in ein neues Themengebiet ge-legt. Die Einstiegsfrage wurde immer bewusst allgemein gestellt („Was ist eine Abbildung“), so dass den Studierenden nicht vorgegeben wurde, für ihre Erklärungen die formale Definition oder z. B. eine Veranschaulichung zu wählen.  Einige Ergebnisse aus den Interviews zum Thema Abbildungen Das dritte der insgesamt fünf Interviews beschäftigte sich mit dem Thema Abbildungen. Zuerst wurde allgemein über Abbildungen gesprochen. Ob-wohl die Art des Einstiegs den Studierenden selbst überlassen wurde, soll-ten am Ende sowohl die formale Definition als auch Beispiele und Veran-schaulichungen besprochen worden sein. Danach wurden die Begriffe Injektivität, Surjektivität und Bijektivität behandelt, wobei auch Aufgaben gestellt wurden, die über die zuvorige Behandlung in der Veranstaltung hinausgingen. Am Ende der Interviews wurde, wie in allen fünf Interviews, etwas bisher Unbekanntes besprochen; in diesem Fall die Monotonie. Es war zwar davon auszugehen, dass Begriffe wie monoton steigend bereits aus der Schule bekannt waren, aber hier erfolgte der Einstieg über die for-male Definition, wobei eine passende Wortmarke von Seiten der Studie-renden zu ergänzen war. Im Folgenden werden einige exemplarische Ergebnisse des Interviews vor-gestellt. Besonders während der Erklärungen zu den Begriffen Injektivität, Surjektivität und Bijektivität kommen Lücken zum Vorschein. Als bei-spielsweise Sw1 eine Veranschaulichung zu dem Begriff Injektivität zeich-net, erklärt sie ihr Konzept hierzu wie folgt: Sw1: Also wenn es injektiv ist, dann bilde ich hier jedes Element auf genau ein Ele-ment ab und dann hab ich halt hier noch Elemente auf die nichts abgebildet wird. Das entscheidende Merkmal einer injekti-ven Abbildung, dass jedes Element des Zielbereichs höchstens einmal angenommen wird, kommt in der Erklärung von Sw1 nicht vor. Insofern ist ihr Konzept unvollständig und teilweise auch falsch, da sie hier heraushebt, dass die Abbildung nicht surjektiv ist. Im ersten Teil betont sie die Wohldefiniertheit der Abbildung ("dann bilde ich hier jedes Element auf genau ein Element ab"); für sie scheint dies ein entscheidendes Charakteristikum für eine injektive Abbildung zu sein. Ähnliche Schwierigkeiten zeigt die gleiche Studentin auch bei der Surjektivität. Sw1: Wenn 's, öh, surjektiv ist, dann bilde ich halt z. B. auf ein Element mehrmals ab. Hier wird die Tatsache, dass ein Element des Zielbereichs mehrmals getroffen werden kann, in den Fokus gerückt („nicht Injektivität“) und dies scheint das dominierende Element des Konzepts von Sw1 zu sein. Diese Fokussierung ist insofern nicht hilfreich, da das ent-scheidende Merkmal, dass alle Elemente des Zielbereichs mindestens ein-mal getroffen werden müssen, nicht genannt wird. Stattdessen nennt sie eine Eigenschaft, die nicht auf alle surjektiven Abbildungen zutrifft, siehe beispielsweise den Spezialfall einer bijektiven Abbildung. Für die Studentin scheinen Injektivität und Surjektivität zwei komplemen-täre Eigenschaften einer Abbildung zu sein. Diese These lässt sich auch dadurch stützen, dass die Studentin im weiteren Verlauf des Interviews die Frage, ob es Abbildungen gebe, die nicht injektiv und nicht surjektiv sind, zuerst verneint. Nach der Behandlung der Quantorenschreibweise der drei Begriffe werden den Studierenden formale Ausdrücke vorgelegt und nach einem möglichen Bezug zum bisher Besprochenen gefragt.   Sw2: Wir haben das anders rum gesagt, würde sagen, dass das auch injek-tiv ist. Mehrere Studierende bezeichnen diesen Ausdruck als Definition der Injektivität, aber gerade bei Sw2 wird deutlich, dass die veränderte Pfeil-richtung nicht lediglich durch zu oberflächliches Hinsehen unbemerkt bleibt. An dieser Stelle hat sie Zeit, sich den Ausdruck in Ruhe anzuschau-en, so dass der Schluss nahe liegt, dass sie einen solchen formalen Aus-druck mit einer Folgerungsbeziehung nicht korrekt interpretieren kann. Anderen Studierenden hingegen ist der Unterschied bewusst und sie erläu-tern direkt den Unterschied zur Injektivität. Allerdings zeigen sich Proble-me beim Verständnis von Implikationen auch an anderen Stellen, so dass dies eine Schwierigkeit für Erstsemester zu sein scheint. Funktionale und prädikative Denkstile Es soll untersucht werden, inwieweit eine Präferenz für funktionales bzw. prädikatives Denken nach Schwank Einfluss auf den Umgang mit dem formalen Zugang zur Mathematik in der Hochschule hat. Hierzu wird un-tersucht, ob z. B. Erklärungen oder Veranschaulichungen Indizien für einen der beiden Denkstile enthalten. Für die Klassifizierung wurden am Ende des ersten Interviews neun QuaDiPF-Aufgaben durchgeführt (vgl. Schwank 1999/2000). Hierbei zeigte sich, dass bei den Teilnehmern so-wohl Präferenzen für einen prädikativen als auch für einen funktionalen Denkstil erkennbar sind. Entsprechend den Ergebnissen aus vorherigen Studien wurde eine Präferenz für einen funktionalen Denkstil häufiger bei den männlichen Teilnehmern und für einen prädikativen bei den weiblichen festgestellt (vgl. Schwank 2003). Allerdings benutzte ein männlicher Ba-chelor-Student lediglich prädikative Erklärungsmuster bei allen Aufgaben.   Literatur Johnson-Laird, P. N. (1983):  Mental Models: Towards a cognitive science of language, inference, and consciousness. Cambridge: Cambridge University Press. Schwank, I. (1999/2000): QuaDiPF – Qualitatives Diagnoseinstrument für prädikatives versus funktionales Denken. Sets A/B/C/D. Osnabrück: Forschungsinstitut für Ma-thematikdidaktik. Schwank, I. (2003): Einführung in funktionales und prädikatives Denken. In I. Schwank: ZDM-Themenheft 'Zur Kognitiven Mathematik', ZDM 35(3), 70-78 

Denkformen des formalen Denkens

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