Ableitinger, Christoph

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

Christoph ABLEITINGER, Essen Komplexität von Übungsaufgaben im ersten Jahr des gymna-sialen Lehramtsstudiums Übungsaufgaben stellen in den ersten beiden Semestern eines Mathematik-studiums den entscheidenden Dreh- und Angelpunkt dar. Einerseits ist der entsprechende zeitliche Aufwand für die Studierenden sehr groß, anderer-seits haben Übungsaufgaben hohe Relevanz bei Prüfungen und Klausuren. Und das ist auch durchaus wünschenswert, denn Aufgaben geben Gelegen-heit zum authentischen Betreiben von Mathematik. Während die Studie-renden in den Vorlesungen üblicherweise eine eher passive Rolle einneh-men, müssen sie bei der Bearbeitung von Haus- und Präsenzaufgaben in den Übungsgruppen selbst initiativ und kreativ werden. Will man also Aussagen darüber machen, warum so viele Studierende Schwierigkeiten in ihrem ersten Studienjahr haben, lohnt es sich, einen analysierenden Blick auf die Übungsaufgaben zu richten.  1.  Klassische Übungsaufgaben und ihre Lösungen Übungsaufgaben aus Analysis aus Linearer Algebra haben meist ganz typi-sche Merkmale: Sie sind prägnant formuliert und enthalten keine Redun-danzen, sie verzichten auf Motivationstexte ebenso wie auf Grafiken. Ein typisches Beispiel wäre etwa: Für welchen reellen Parameter a  nimmt die Funktion )1log(),( 22 yaxyxyxf ++−=  an der Stelle )0,0(  ein lokales Extremum an? Begründen Sie Ihre Antwort! Je nach Dozent werden den Studierenden Musterlösungen zu den Aufgaben zur Verfügung gestellt. Auch diese Musterlösungen sind meist kurz und bündig. Sie kommen ohne Begleitkommentare und Erläuterungen aus und offenbaren nur selten den Weg, wie man auf die Lösung gekommen ist. Es ist demnach wenig verwunderlich, dass Erstsemester mit solchen Musterlö-sungen wenig anfangen können. Selbst wenn das bloße Nachvollziehen der Lösung gelingt, hat die Beschäftigung mit den Musterlösungen nur wenig Lerneffekt für künftige selbstständige Aufgabenbearbeitungen. Im Rahmen des von der Telekom-Stiftung geförderten Projektes „Mathe-matik besser verstehen“ wurden aus diesem Grund zu einigen der Aufga-ben ausführliche Musterlösungen verfasst, die folgenden Gesichtspunkten Rechnung tragen sollen: ─ Die Problemstellung soll geklärt werden.  ─ Es sollen Lösungsideen entwickelt werden. ─ Es dürfen Irrwege vorkommen und es sollen unterschiedliche Strate-gieoptionen in den Blick genommen werden. ─ Entscheidende Punkte in der Lösung sollen hervorgehoben werden. ─ Es sollen detaillierte Argumentationsschritte aufgeführt werden. Ziel ist es, den Studierenden damit Vorbilder für authentisches, professio-nelles Mathematiktreiben zu liefern.  2.  Wissenschaftliche Fragestellungen und Forschungsmethode Beim Verfassen ausführlicher Musterlösungen ergeben sich ganz automa-tisch eine Reihe fachdidaktischer Fragestellungen: ─ Welche Kompetenzen benötigt man zur Lösung klassischer Mathema-tikaufgaben des ersten Studienjahres?  ─ Gibt es typische Bearbeitungsphasen, die in unterschiedlichen Aufga-benlösungen immer wieder zu identifizieren sind? ─ Kann man die zur Lösung benötigten Teilkompetenzen isoliert schu-len? Um diese Problemstellungen wissenschaftlichen Methoden zugänglich zu machen, wurde eine Sammlung an ausführlichen Musterlösungen zu Auf-gaben aus dem Studienjahr 2009/10 zur Analyse ausgewählt. In einer ersten Phase haben wir versucht, unterschiedliche Bearbeitungsse-quenzen hinsichtlich ihrer Intention und ihrer Funktion zu identifizieren. Diese Bearbeitungssequenzen wurden klassifiziert und zu sieben unter-schiedlichen Bearbeitungsphasen zusammengefasst. Methodische Fragen diese Klassifikation betreffend können aufgrund des begrenzten Platzes hier leider nicht diskutiert werden. Im folgenden Abschnitt wird ein Überblick über das vorläufige Phasenmo-dell gegeben, das in unserer weiteren Forschungsarbeit einem Interrater-Reliabilitätstests unterzogen werden soll.  3.  Das Phasenmodell P Problembewusstsein schaffen (Developing awareness): Diese Phase glie-dert sich in zwei Subkategorien: a) Bevor eine Aufgabe sinnvoll bearbeitet werden kann, muss zunächst geklärt werden, welchem Themenfeld sie zuzuordnen ist und worin das eigentliche Problem in der Aufgabenstellung besteht (z.B. inwie-fern die Aufgabe nicht trivial zu beantworten ist). Es wird dabei der Weg gebahnt, passende Handlungsspielräume zu öffnen. b) Zum Problembewusstsein soll aber auch gehören, dass man während bzw. am Ende des Aufgabenlösungsprozesses den springenden Punkt der Aufgabe erkennt und benennt oder rückblickend die Rolle der Aufgabe im Kontext des Themengebietes identifiziert. K Klärung der Handlungsoptionen (Review of options for actions): In die-ser Phase werden Handlungsoptionen gesichtet, die zur Aufgabenlösung beitragen könnten, ohne bereits die Detailausführung in Angriff zu nehmen. Es wird abgewogen, welche Art von Strategie, welche Theorie, welcher Satz, welche Definition, welcher Kalkül zum Einsatz kommen könnte. In der Folge wird die Entscheidung für eine der Optionen getroffen bzw. wer-den fehlgeschlagene Handlungsoptionen während des Lösungsprozesses verworfen und neue aufgenommen. Diese Phase begleitet den gesamten Aufgabenlösungsprozess, ohne dass dabei der Problemzustand verändert wird. Die Veränderung des Problem-zustandes wird allerdings schon angebahnt und durch die Entscheidung zu-gunsten einer der Handlungsoptionen beeinflusst bzw. sogar determiniert. Z Einen Zugriff herstellen, die Aufgabe handhabbar machen (Gaining accessibility): Bei vielen Aufgaben muss sich der Aufgabenlöser – um die gewählte Handlungsoption durchzuführen – zuerst einen Ankerpunkt ver-schaffen, an dem er mit der Bearbeitung ansetzen kann. Man muss gewis-sermaßen die äußere Schale der Aufgabe aufbrechen und die Aufgabenstel-lung so repräsentieren, dass sie für die zur Verfügung stehenden Methoden zugänglich wird. Das kann manchmal durch einen Sichtweisenwechsel er-folgen, manchmal aber auch durch einen Übergang zu geeigneten Objekten bzw. zu einer geeigneten Darstellung der vorliegenden mathematischen Objekte. Diese Phase hat öffnenden Charakter, insofern sich danach meist neue Handlungsoptionen bieten (die vorher eventuell noch gar nicht sicht-bar waren). A Anpassung oder Prüfen der Passung (Adjustment): Zielt man auf die Verwendung eines bestimmten Werkzeuges (z.B. Satz, Methode, Kalkül) ab, so muss die Problemstellung an dieses Werkzeug angepasst werden, muss die vorliegende Situation eventuell modifiziert werden. Unter Um-ständen müssen Notationen angeglichen werden oder es muss erkannt wer-den, dass das Werkzeug modulo der Notationen schon zur vorliegenden Situation passt. Auch das Überprüfen von Voraussetzungen eines Satzes und das gezielte Umstrukturieren eines Ausdrucks, um ihn in eine ge-wünschte Form zu bringen, gehören in diese Kategorie. Im Gegensatz zur Kategorie Z handelt es sich hierbei um fokussierende Tä-tigkeiten.  T Tricks, professionelles Know-How (Gimmicks): An manchen Stellen der Aufgabenbearbeitung hilft nur noch ein Trick, eine spezielle Repräsentati-on oder Umdeutung des Problems. Diese Tricks sind meist lokale „vom Himmel fallende“ Ideen, die sehr speziell auf eine bestimmte Situation pas-sen und nur erfahrenen Aufgabenlösern geläufig sind. In manchen Fällen lassen sich diese Tricks allerdings auch durch das Anwenden heuristischer Strategien finden. Die Funktion von Tricks ist meist das Vorantreiben des Lösungsprozesses, wenn dieser ins Stocken geraten ist bzw. das elegante Abkürzen der Aufgabenlösung. H Handwerk (Engineering): Damit ist das Ausführen von Verfahren und Techniken gemeint, die zur Routine geworden sind. Selbstverständlich ist es subjektiv unterschiedlich, welche Arbeitsphasen eine Person als Hand-werk bezeichnen würde – eine Tätigkeit, die für einen Experten Routine ist, kann für einen Novizen noch eine große kognitive Herausforderung darstel-len. Legen wir das (normativ zu erwartende) Kompetenzniveau von Studienan-fängern zugrunde, so können wir Tätigkeiten wie das Manipulieren von Termen, das Abarbeiten von Kalkülen oder das Anwenden von einfachen bekannten Resultaten als Handwerk bezeichnen. B Begleitende, strukturierende Kommentare und Erläuterungen: Zwischen einzelnen Teilschritten der Aufgabenbearbeitung wird Resümee gezogen. Es wird über schon Erreichtes reflektiert und festgehalten, was noch zu zeigen ist. Durch begleitende Kommentare kann auch nochmal der ent-scheidende Punkt in der Aufgabenbearbeitung akzentuiert werden. Schließ-lich fällt auch das Beurteilen des Erfolgs von zuvor durchgeführten Hand-lungen in diese Kategorie. Beispiele zu den einzelnen Phasen, eine Diskussion des Gültigkeitsbereichs bzw. der Grenzen des Modells sowie eine ausführliche Darstellung des In-terrater-Tests zur Feststellung der Reliabilität des vorgestellten Analyse-werkzeugs müssen wegen der knappen Kapazität an anderer Stelle nachge-liefert werden. Literatur Anderson, J. R. (2007): Kognitive Psychologie. 6. Auflage, Springer Verlag, Berlin. Kaiser, H. (2005): Wirksames Wissen aufbauen. Ein integrierendes Modell des Lernens. h.e.p. Verlag, Bern. Renkl, A.; Hilbert, T.; Schworm, S. (2001): Example-based Learning in Heuristic Do-mains: A Cognitive Load Theory Accout. In: Educ Psychol Rev (21). S. 67-78 Wittmann, E. (1974): Grundfragen des Mathematikunterrichts. Vieweg Verlag, Braun-schweig. 

Komplexität von Übungsaufgaben im ersten Jahr des gymnasialen Lehramtsstudiums

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/32067/1/007.pdf

Komplexität von Übungsaufgaben im ersten Jahr des gymnasialen Lehramtsstudiums

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Eldorado - Repository of the TU Dortmund