Horn, Martin Erik

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

 In F. Caluori, H. Linneweber-Lammerskitten & C. Streit (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2015. Münster: WTM-Verlag 408 Martin Erik HORN, Berlin Ein physikdidaktischer Blick auf die Lineare Algebra Die Mathematik ist eine Geisteswissenschaft: Unser Gehirn erfindet Axio-me, auf denen wir mit Hilfe logischer Schlussfolgerungen ein Gerüst an mathematischen Beziehungen aufbauen. Die Physik ist eine Naturwissen-schaft: Sie beruht auf zielgerichteter Beobachtung unserer Außenwelt, wo-bei die Überprüfung von Hypothesen mit Hilfe von Experimenten das zent-rale wissenschaftliche Instrument darstellt. Es muss also zu Konflikten kommen, wenn physikalisch und physikdidak-tisch geprägte Wissenschaftler sich in Mathematik und Mathematikdidaktik einmischen – Sie bringen ein anderes Wissenschaftsbild mit. Im Bereich der Linearen Algebra führt dies dazu, dass ich als ein solcher Mensch mit physikorientierter Vorprägung der derzeit üblichen konventionellen Linea-re Algebra skeptisch gegenüber stehe und eine alternative Fassung der Li-nearen Algebra auf Grundlage der Geometrischen Algebra (Horn 2015) als didaktisch tragfähiger vorziehe. Grund dafür ist ein Experiment. 1. Diracs Belt Trick – Makroskopische Veranschaulichung des Spins ½  Mit Hilfe einer Zeitschrift, die durch Schnüre in der Umgebung befestigt wird, kann gezeigt werden, dass in unserer Welt makroskopische Situatio-nen mit einer Rotationssymmetrie von 4π (also einem Spin von ½) existie-ren (Misner et al. 1973, S. 1149), (Penrose & Rindler 1984, S.43), (Snygg 1997, S. 12). Spin ½-Teilchen sind nichts rein Quantenmechanisches, son-dern Teil unserer Alltagserfahrungen, die wir leider nur allzu oft übersehen.       Abb. 1: Diracs Veranschaulichung des Spins ½: Nach einer Rotation um 4π können die an der Zeitschrift befestigten Schnüre entwirrt werden, ohne die Zeitschrift zurückzudrehen. Die Schlussfolgerung aus diesem Experiment ist so simpel wie zwingend: Wollen wir die Welt, in der wir leben, mathematisch möglichst einfach be-schreiben, benötigen wir eine mathematische Sprache, mit der sich auch 4π-Symmetrien mathematisch einfach und zugänglich beschreiben lassen. Die mathematische Sprache, die dies leistet, wird Geometrische Algebra 409 genannt (Hestenes 2003), (Doran & Lasenby 2003). Im dreidimensionalen Fall entspricht die Geometrische Algebra der Pauli-Algebra (Horn 2012). 2. Konzeptionelle Grundlagen der Geometrischen Algebra Die Geometrische Algebra verknüpft geometrische Größen auf algebrai-scher Grundlage. Mit Vektoren, orientierten Flächenstücken oder orientier-ten Volumina kann in der Geometrischen Algebra genauso wie mit Skala-ren gerechnet werden (Hestenes 2003). Die einzig neu zu beachtende Regel ist, dass unterschiedliche Basisvektoren antikommutieren (Parra Serra 2009, S. 823), was in Abbildung 2 anschaulich gezeigt wird.       Abb. 2: Die Orientierung von Flächenstücken (Bivektoren) begründet die Vertauschungsregeln der  Pauli-Algebra. Die Multiplikation geometrischer Größen verdient in der Geometrischen Algebra besondere Aufmerksamkeit, da sich das Produkt zweier Vektoren a und b in Anteile unterschiedlicher Symmetrie aufspalten lässt:               a b = a • b + a ∧ b = inneres Produkt + äußeres Produkt            (1) In der Linearen Algebra nutzen wir insbesondere aus, dass das äußere Pro-dukt zweier Vektoren mit  a ∧ b = – b ∧ a  antikommutativ ist. Somit kön-nen in Linearen Gleichungssystemen Vektoren durch äußere Multiplikation mit sich selbst gezielt eliminiert werden. 3. Geometrische Interpretation von Linearen Gleichungssystemen Lineare Gleichungssysteme (LGS) werden geometrisch oft zeilenweise in-terpretiert, indem jede Zeile als Geradengleichung gelesen und graphisch durch Schnittpunktermittlung ausgewertet wird. Eine alternative graphische Darstellung bietet die spaltenweise Analyse ei-nes LGS. So führt das lineare Gleichungssystem mit drei Unbekannten von Gl. (2) auf die drei Koeffizientenvektoren  a = a11 σx + a21 σy + a31 σz ,   b = a12 σx + a22 σy + a32 σz  und  c = a13 σx + a23 σy + a33 σz  sowie den Ergebnis-vektor  d = d1 σx + d2 σy + d3 σz .                                    a11 x + a12 y + a13 z = d1 σx	  σy	  σx	  σy	   σy	  σx	  σy	  σx	   linkes Flächenstück =      – rechtes Flächenstück  ⇒ 	  	  σx	  σy	  =	  –	  σy	  σx	  410                                    a21 x + a22 y + a23 z = d2                                            (2)                                    a31 x + a32 y + a33 z = d3 Wir sehen im LGS (2) also nicht drei verschiedene Gleichungen, sondern lediglich eine einzige Gleichung                                    a x + b y + c z = d                                                    (3) Nichts anderes verfolgt die moderne Physik: Durch Geometrisierung algeb-raisch aufgefundener Naturgesetze werden diese in einen einheitlichen Rahmen gesetzt und als ein einziges geometrisches Konstrukt verstanden. Die Lösung des vorgegebenen LGS besteht nun darin, die Unbekannten x, y und z so zu ermitteln, dass das x-fache des Vektors a, das y-fache des Vektors b und das z-fache des Vektors c dem Ergebnisvektor d entspricht. 4. Lösung des Linearen Gleichungssystems Mit Hilfe des äußeren Produkts lässt sich Gl. (3) leicht auswerten. So kön-nen die beiden Variablen y und z durch äußere Multiplikation von Gl. (3) mit den Vektoren b und c eliminiert und der Wert für x gefunden werden. Analog lassen sich y und z bestimmen: a ∧ b ∧ c x = d ∧ b ∧ c          ⇒          x = (a ∧ b ∧ c)– 1 (d ∧ b ∧ c)           (4) a ∧ b ∧ c y = a ∧ d ∧ c          ⇒          y = (a ∧ b ∧ c)– 1 (a ∧ d ∧ c)           (5) a ∧ b ∧ c z = a ∧ b ∧ d          ⇒          z = (a ∧ b ∧ c)– 1 (a ∧ b ∧ d)           (6) Anstelle von Determinantenberechnungen, die für Lernende unvermittelt abstrakt wirken, führen die Gleichungen (4) bis (6) auf konkrete Volumen-berechnungen der Parallelepipede, die durch die Vektoren a, b, c und d aufgespannt werden. Dies liefert einen gleichwohl anschaulichen wie ein-gängigen Zugang zu Determinanten: Die Determinante eines n-dimensiona-len LGS entspricht dem Volumen des n-dimensionalen Hyper-Parallel-epipeds, das mit Hilfe der Koeffizientenvektoren gebildet werden kann. 5. Transfer einer physiknahen Mathematik in physikferne Domänen Historisch ist die Geometrische Algebra ein physikdidaktisch motiviertes Konstrukt, das von David Hestenes und zahlreichen Wissenschaftlern ins-besondere im englischsprachigen Raum sehr zielgerichtet als eine oder so-gar als die mathematische Sprache der Physik (Hestenes 2003) entwickelt wurde. Es zeigt sich jedoch, dass diese physikalisch motivierte Mathematik einen von der Physik abgehobenen Wert besitzen muss, da sie sich sehr erfolg-reich auch in Bereichen außerhalb der Physik zur Modellierung unter-411 schiedlichster Fragestellungen einsetzen lässt. So wurden die hier vorge-stellten Grundlagen einer modernen Linearen Algebra unter Bezug auf die Ideen der Geometrischen Algebra in einem Kurs zur Wirtschaftsmathema-tik an der HWR Berlin (Horn 2015) unterrichtet und zur Lösung einfacher wirtschaftswissenschaftlicher Fragestellungen herangezogen. Diese Ergän-zung zur üblichen Darstellung der Linearen Algebra umfasste zwölf Vorle-sungs- und Übungsstunden, wobei die Hälfte davon auf die Vermittlung der Grundlagen der Geometrischen Algebra verwendet wurde (Horn 2014/2015, Teil 1). Zur Lösung einfacher Linearer Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten wurde ein Vorlesungstermin im Umfang von vier Vorlesungsstunden benötigt, wobei Fragestellungen aus dem Bereich der Materialverflechtung als grundlegende ökonomische Anwendungsbei-spiele gewählt wurden (Horn 2014/2015, Teil 2). In einem Ausblick im Umfang von zwei Stunden wurde abschließend mit Hilfe des direkten Pro-duktes die Modellierung von LGS höherer Dimension diskutiert. Dies führt dazu, dass über die Pauli-Algebra hinaus auch einfache geometrische Be-ziehungen auf Grundlage der Dirac-Algebra besprochen werden konnten (Horn 2014/2015, Teil 3). Auch komplexere wirtschaftswissenschaftliche Themenstellungen wie beispielsweise die Input-Output-Analyse lassen sich so konzeptionell recht einfach erschließen. Literatur Doran, C. & Lasenby, A. (2003). Geometric Algebra for Physicists. Cambridge: CUP. Hestenes, D. (2003). Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Lan-guage of Physics. American Journal of Physics 71 (2), 104–121. Horn, M. E. (2012). Pauli-Algebra und S3-Permutationsalgebra. Eine algebraische und geometrische Einführung. www.bookboon.com/de, London/Kopenhagen: Ventus. Horn, M. E. (2014/2015). Modern Linear Algebra. A Geometric Algebra crash course.    Part I: Basics & Introduction, Part II: Solving systems of linear equations, Part III: The direct product & Solving higher-dimensional systems of linear equations. OHP slides of LV 200691.01 – Mathematics for Business and Economics, HWR Berlin. Horn, M. E. (2015). Lineare Algebra in physikdidaktischer Ausprägung. Beitrag zur DPG-Jahrestagung in Wuppertal. Veröffentlichung vorgesehen unter www.phydid.de Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. New York: Freeman. Parra Serra, J. M. (2009). Clifford Algebra and the Didactics of Mathematics. Advances in Applied Clifford Algebras 19 (3/4), 819–834. Penrose, R. & Rindler, W. (1984). Spinors and Space-Time. Vol. 1: Two-Spinor Calcu-lus and Relativistic Fields. Cambridge: Cambridge University Press (CUP). Snygg, J. (1997). Clifford Algebra. A Computational Tool for Physicists. New York: Oxford University Press. 

Ein physikdidaktischer Blick auf die Lineare Algebra

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