Krug, André

Schukajlow, Stanislaw

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André KRUG, Stanislaw SCHUKAJLOW, Paderborn Prozedurales und konzeptuelles Wissen zum Inhaltsbereich Lineare Funktionen und multiple mathematische Lösungswe-ge  Theoretischer Hintergrund Bei der Verbesserung des deutschen Mathematikunterrichts gibt es schon lange die Forderung multiple Lösungen im Unterricht zu behandeln (Neu-brand, 2006). Dabei stützt man sich auf theoretische Überlegungen, wie bspw. eine Vertiefung der Einsicht in die Struktur des Lerngegenstandes (Wittmann, 1995). Zudem zeigt die Behandlung verschiedener Lösungswe-ge Möglichkeiten auf, eine Lösung zu optimieren. Durch die Erstellung multipler Lösungswege kommt es zur kognitiven Vernetzungen und sie helfen bei der Förderung des Aufbaus eines intelligenten, verstehenden Wissens und selbstregulativer Fähigkeiten der Schüler (Fennema & Rom-berg, 1999). Bisher liegen allerdings nur vereinzelte, empirisch abgesicher-te Ergebnisse vor (Große, 2005; Rittle-Johnson & Star, 2007). An bisher vorhandenen Forschungslücken bzgl. Leistungen, strategischer und motiva-tional-affektiver Merkmale setzt das DFG Forschungsprojekt MultiMa (Multiple Lösungen im selbständigkeitsorientiertem Mathematikunterricht) an. In der aktuellen Projektphase stehen multiple mathematisch Lösungs-wege im Mittelpunkt, die durch die Anwendung verschiedener mathemati-scher Verfahren erstellt werden können. Ergebnisse der ersten Projektphase deuten auf positive Wirkungen der Behandlung von multiplen Lösungen auf Selbstregulation, Interesse und Präferenzen für die Bearbeitung von Aufgaben mit mehreren Lösungen hin (Schukajlow & Krug, 2012a, 2012b, 2013). Die Fähigkeit multiple mathematische Lösungswege zu erstellen hängt zum einen mit prozeduralem Wissen und zum anderen mit konzeptuellem Wis-sen zusammen. Prozedurales und konzeptuelles Wissen lässt sich nach (Rittle-Johnson et al., 2001) wie folgt definieren: „Procedural knowledge is the ability to execute action sequences to solve problems. This type of knowledge is tied to specific problem types and therefore is not widely generalizable.” Dagegen ist konzeptuelles Wissen “the implicit or explicit understanding of the principles that govern a domain and the interrelations between units of knowledge in a domain.” In beiden Definitionen wird deutlich, dass beide Wissensbereiche domänespezifisch sind.  In der Literatur findet sich kein einheitliches Bild zu den Zusammenhängen von prozeduralem und konzeptuellem Wissen (Rittle-Johnson & Siegler, 1998). Tiefe Kenntnis der beiden Wissensbereiche scheint eine wichtige Voraussetzung zu sein, um Aufgaben zu lösen. Speziell das konzeptuelle Wissen spielt bei der Auswahl von Lösungsverfahren, für Kontrollstrate-gien und dem Transfer von prozeduralem Wissen auf neuen Aufgaben eine große Rolle (Hiebert & Lefevre, 1986). Darüber hinaus ist konzeptuelles Wissen elementar für die Konstruktion und die Flexibilisierung des Einsat-zes von Lösungsverfahren (Blöte et al. 2001).  Forschungsfragen und Methode der Studie Die Erstellung von multiplen Lösungen verlangt sowohl prozedurales als auch konzeptuelles Wissen. Um diese Zusammenhänge zu erfassen bedarf es eines Instrumentes, welches die Konstrukte zum Inhaltsbereich „lineare Funktion“ erfasst. Die Forschungsfragen lauten: 1. Wie lassen sich prozedurales und konzeptuelles Wissen zum Inhalts-bereich lineare Funktionen operationalisieren? 2. Gibt es Zusammenhänge zwischen prozeduralem und konzeptuellem Wissen?  3. Welche Zusammenhänge bestehen zwischen prozeduralem, konzep-tionellem Wissen und der Fähigkeit multiple mathematische Lö-sungswege zu erstellen? Es haben 204 Realschüler aus Jahrgangsstufe 9 an der Untersuchung teil-genommen. Die Testzeit lag bei 60 Minuten. Um die Konstrukte proze-durales und konzeptuelles Wissen zu erfassen wurden 23 Items zum In-haltsbereich lineare Funktionen eingesetzt. Die Items verteilten sich im Leistungstest auf: prozedurales Wissen zu linearen Funktionen (11 Items), konzeptuelles Wissen zu linearen Funktionen (6 Items), Lesen und Erstel-len von Tabellen (7 Items) und die Entwicklung von multiplen Lösungen zu linearen Funktionen (2 Items).  Ergebnisse und Diskussion Um die erste Forschungsfrage zu beantworten und die Güte der Operatio-nalisierung zu prüfen, wurden zwei Messmodelle mit einander verglichen: 1- und 3-dimensionales Fähigkeitskonstrukt. Beim 3-dimensionalen Modell wurde jedes Item zu einer von den drei Dimensionen (prozedurales Wissen zu linearen Funktionen, konzeptuelles Wissen zu linearen Funktionen und Lesen und Erstellen von Tabellen) zugeordnet. Zur Bewertung beider Mo-delle wurden die Anzahl schlecht fittender Items (INFIT), Varianz inner-halb der Dimensionen, der Likelihood-Quotiententest (LQT) und die Relia-bilität herangezogen (Rost, 2004). Analysen beider Modelle zeigen gute INFIT-Werte (zwischen 0.8 und 1.2). Die Varianz, welche auch ein Indika-tor für die Trennschärfe ist, lag für das 1-dimensionale Modell bei σ2 = .45 und damit unter den Varianzen der Dimensionen prozedurales Wissen (σ2 = .60) und konzeptuelles Wissen (σ2 = .59) im 3-dimensionalen Modell. Al-lerdings beträgt die Varianz im 3-dimensionallen Modell für die Dimension Lesen und Erstellen von Tabellen nur σ2 = .12. Der LQT zeigt ein signifi-kant bessere Passung des 3-dimensionalen Modells im Vergleich zum 1-dimensionalen Modell (∆ Deviance (df) = 66.27(5); p<.001). Die Reliabili-täten der Modelle sind mit Werten zwischen .41 und .54 beim 3-dimensionalen Modell und .52 bei 1-dimensionalen Modell allerdings eher unbefriedigend. Des Weiteren ist anhand der Verteilung der Schülerpara-meter und der Schwierigkeiten der Aufgaben im Test eine deutlich Rechts-verschiebung zu erkennen, sodass davon ausgegangen werden muss, dass der Test für die Schülerpopulation zu schwer war. Dieses Ergebnis zeigt die Notwendigkeit im weiteren Forschungsprozess leichtere Items zu ent-wickeln.  Zur Beantwortung der zweiten Forschungsfrage, wird die latente Korrelati-on zwischen beiden Wissensbereichen betrachtet. Diese Korrelation liegt messfehlerbereinigt bei .906 und ist somit sehr hoch. Wie andere Studien zeigen, ist eine solche Korrelation nicht ungewöhnlich. In der PISA-Studie korrelieren die mathematischen Inhaltsbereiche Arithmetik und Algebra auf latenter Ebene ebenfalls mit .91 (PISA-Konsortium Deutschland & Prenzel, 2005). Schneider und Stern (2010) berichten in ihrer Studie Korrelationen von .93 und .97 zwischen prozeduralem und konzeptuellem Wissen.  Die dritte Forschungsfrage kann an dieser Stelle nicht beantwortet werden, da kein Schüler zwei Lösungen zu einer der zwei Aufgaben erstellen konn-te. Eine Analyse der Schülerlösungen deutet darauf hin, dass auch wenn einzelne Schüler zwei Lösungsverfahren bei verschiedenen Aufgaben be-herrschen, sie nicht in der Lage sind, beide Verfahren innerhalb einer Auf-gabe anzuwenden. Eine mögliche Ursache für dieses Ergebnis könnten Gewöhnungseffekte sein. Lernende sind es nicht gewöhnt, mehrere Lö-sungswege im Unterricht zu besprechen bzw. selbst zu erstellen (Baumert & Lehmann, 1997). Ein weiterer Grund könnte sein, dass der Impuls „Fin-de zwei verschiedene Lösungswege“ innerhalb der Aufgabenstellung miss-verstanden wurde. Literaturverzeichnis Baumert, J., & Lehmann, R. (1997). TIMSS – Mathematisch-naturwissenschaftlicher Unterricht im internationalen Vergleich. Opladen: Leske + Budrich. Blöte-Aanhane, A.W. & Burg, E., van der & Klein, A.S. (2001) Student's Flexibility in Solving Two-Digit Addition and Subtraction Problems: Instructing Effects. Journal of Educational Psychology, 93, S. 627-638. Fennema, E. H., & Romberg, T. A. (Eds.) (1999). Classrooms that promote mathemati-cal understanding. Mahwah, NJ: Erlbaum. Große, C. S. (2005). Lernen mit multiplen Lösungswegen. Pädagogische Psychologie und Entwicklungspsychologie. Münster: Waxmann. Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathemat-ics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (S. 1-27). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Neubrand, M. (2006). Multiple Lösungswege für Aufgaben: Bedeutung für Fach, Ler-nen, Unterricht und Leistungserfassung. In W. Blum, C. Drüke-Noe, R. Hartung, & O. Köller (Eds.), Bildungsstandards Mathematik: konkret Sekundarstufe I: Aufga-benbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen (S. 162–177). Berlin: Cor-nelsen Scriptor. PISA-Konsortium Deutschland, & Prenzel, M. (2005). PISA 2003. Der zweite Ver-gleich der Länder in Deutschland. Was wissen und können Jugendliche? Münster: Waxmann. Rittle-Johnson, B.; Siegler, R. S. (1998). The relation between conceptual and proce-dural knowledge in learning mathematics: A review. In: C. Donlan (Hg.): The devel-opment of mathematical skills. Hove: Psychology Press (Studies in developmental psychology), S. 75–110. Rittle-Johnson, B.; Siegler, R. S.; Alibali, M.W.(2001). Developing conceptual under-standing and Developing Conceptual Understanding Developing conceptual under-standing and an procedural skill in mathematics: An iterative process. In: Journal of Educational Psychology (93(2)), S. 346–362. Rittle-Johnson, B., & Star, J. R. (2007). Does comparing solution methods facilitate conceptual and procedural knowledge?: An experimental study on learning to solve equations. Journal of Educational Psychology, 99(3), S. 561–574. Rost, J. (2004). Lehrbuch Testtheorie - Testkonstruktion. Bern: Huber. Schneider, M., & Stern, E. (2010). The developmental relations between conceptual and procedural knowledge: A multimethod approach. Developmental Psychology, (46(1)), S. 178–192. Schukajlow, S., & Krug, A. (2012a). Effects of treating multiple solutions on students' self-regulation, self-efficacy and value. Proceedings of the 36th Conference of the In-ternational Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, S. 59-66). Taipei, Taiwan: PME. Schukajlow, S., & Krug, A. (2012b). Multiple Lösungen beim Modellieren: Wirkungen auf Leistungen, kognitive Aktivierung, Kontrollstrategien, Selbstregulation, Interesse und Selbstwirksamkeit. In M. Kleine & M. Ludwig (Eds.), Beiträge zum Mathema-tikunterricht 2011. Schukajlow, S., & Krug, A. (2013). Uncertanty orientation, preferences for solving tasks with multiple solutions and modelling. Paper presented at the CERME 8, An-talya, Turkey.  Wittmann, E. C. (1995). Aktiv-entdeckendes und soziales Lernen im Rechenunterricht - vom Kind und vom Fach aus. In E. C. Wittmann & G. N. Müller (Eds.), Mit Kindern rechnen (S. 10–41). Frankfurt: Arbeitskreis Grundschule.  

Prozedurales und konzeptuelles Wissen zum Inhaltsbereich Lineare Funktionen und multiple mathematische Lösungswege

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Prozedurales und konzeptuelles Wissen zum Inhaltsbereich Lineare Funktionen und multiple mathematische Lösungswege

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