Hein, Kerstin

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Kerstin HEIN, Berlin Die Bedeutung von Zeichen für den Mathematikunterricht ─ eine mehrperspektivische Lesart Der Verwendung von Zeichen, wie die sinnlich wahrnehmbaren Signale hei-ßen, die sich in der Regel auf Sachverhalte in der realen Welt beziehen, kommt in der Mathematik eine große Bedeutung zu. Es wird nicht nur – wie auch in anderen Wissenschaften wie etwa der Sprachwissenschaft – über all-gemeine sprachliche Zeichen, sondern mit eigenen mathematischen Zeichen kommuniziert, die abstrakte Objekte repräsentieren. Mit anderen Worten müssen mathematische Objekte nicht notwendigerweise in der außermathe-matischen Welt existieren. Die Beschäftigung mit der Mathematik besteht im Wesentlichen im Handeln mit Zeichen, die im Mathematikunterricht nach und nach eingeführt werden und die sich auf abstrakte mathematische Ob-jekte beziehen. Die mathematischen Objekte sind sogar „nur über Zeichen ‚denkbar‘“ (Fischer 2006, S. 181). Obwohl das Verwenden von Zeichen das Wesen der Mathematik ausmacht, wird im Kontext des Mathematikunter-richts nur selten über jene reflektiert. Die Semiotik, die Lehre von den Zeichen, beschäftigt sich interdisziplinär mit Zeichen und deren Verwendung. Sie schafft eine andere Sichtweise auf die Mathematik und ihre Didaktik und wurde in den letzten Jahren als Zu-gang zur Mathematik diskutiert. Insbesondere Dörfler betont die Notwendig-keit der Zeichen zum Verständnis von abstrakten, mathematischen Objekten. Mit Hilfe der Semiotik können daher zentrale Probleme des Mathematikun-terrichts produktiv untersucht werden (Dörfler 2012).  Je nach Forschungsinteresse bieten sich unterschiedliche Zeichenmodelle und –auffassungen an, die vor allem durch das triadische Zeichenmodell von Pierce und das dyadische Zeichenmodell von de Saussure geprägt sind (Nöth 2000, S. 60). Pierce ging von einem dreigliedrigen Zeichenmodell aus, das das Objekt, das Zeichen als Repräsentant und das Interpretamen, also die geistige Vorstellung vom Objekt, umfasste. Da er hierbei nicht davon aus-ging, dass das Objekt außerhalb der Zeichen existieren muss und darüber hinaus der Interpretationsvorgang thematisiert wird, ist dieses Modell für un-terschiedliche Betrachtungen mathematischer Zeichen geeignet (ebd., S. 62f.). Bei de Saussure hingegen bestand ein Zeichen aus der Vorstellung und dem Lautbild. Obwohl de Saussure das Zeichen ausschließlich als mentale Konzeption verstand, bezog er sich dabei auf sprachliche Zeichen, die in der Regel Referenzobjekte in der Realität haben und deren Interpretation häufig unproblematischer ist als die Interpretation mathematischer Zeichen (ebd., S. 71ff.). Obwohl dieses Zeichenmodell zur Erklärung mathematischer In-terpretationsvorgänge weniger geeignet scheint, da es von einer klar zuge-ordneten und leicht erfahrbaren Vorstellung ausgeht, erlaubt es, die Prob-leme der Schüler und Schülerinnen leichter zu verstehen, denn es entspricht eher deren Alltagsverständnis. Zur Vereinfachung ist im Folgenden mit dem Begriff ‚Zeichen‘ der schriftliche Repräsentant gemeint, auch wenn jener je nach Zeichenmodell anders definiert wird. Nach Morris kann die Betrachtung von Zeichen in folgende Untersuchungs-aspekte unterschieden werden: Semantik, Syntax und Pragmatik (Bußmann 2002, S. 595). Klaus erweiterte diese semiotischen Dimensionen um den As-pekt der Sigmatik (Nöth 2000, S. 91). Die Linguistik analysiert innerhalb der Semantik die Bedeutung von Zeichen. Bei sprachlichen Zeichen gibt es teil-weise eindeutige Objekte, die den Zeichen zugeordnet werden können und in der realen Welt existieren wie z.B. ein Baum, das prototypische Beispiel de Saussures. Bei mathematischen Zeichen hingegen fehlt fast immer das Referenzobjekt in der außermathematischen Welt. Die Syntax untersucht Anordnung und Beziehung verschiedener Zeichen zueinander. Innerhalb der Sprache kann beispielsweise das Wort ‚Weg‘ kontextabhängig unterschied-liche Bedeutungen annehmen, wie durch die Gegenüberstellung der Aussa-gen ‚Weg war er!‘ und ‚Der Weg war sehr beschwerlich.‘ deutlich wird. Auch innermathematisch hat z.B. das Zeichen ‚−‘ je nach Kontext die Be-deutung eines Vorzeichens oder die Bedeutung eines Operators. Unter dem Begriff der Pragmatik wird die Beziehung zwischen Zeichen und Zeichen-benutzer unter Einbeziehung der Äußerungssituation betrachtet. So ist bei-spielsweise die Bedeutung des Begriffs ‚Funktion‘ abhängig vom Kontext außerhalb der Zeichen. Wird dieser Begriff im Alltag verwendet, bezeichnet er in der Regel die Aufgabe eine Objektes, wohingegen er innerhalb der Ma-thematik wiederum ein zentraler Begriff ist, der die Abbildung bezeichnet, die jedes Element einer Menge einem Element einer anderen Menge zuord-net. In der Sigmatik, die mitunter auch als Teilaspekt der Semantik betrachtet wird, wird das Verhältnis zwischen den (sprachlichen) Zeichen „und den durch sie bezeichneten Objekten bzw. Sachverhalten der realen Welt“ (Buß-mann 2000, S. 599) untersucht. Dabei ist beispielsweise bedeutsam, ob Zei-chen mehr oder weniger Merkmale mit den repräsentierten Objekten gemein haben. Dieser Untersuchungsaspekt ist insbesondere innerhalb der Mathe-matik problematisch – und dadurch aber auch besonders interessant  –, da die mathematischen Objekte in der Regel nicht in der realen Welt existieren. Unsere Studie ‚Zeichen im Kontext einer Geraden‘ wurde angeregt durch Fischer, die den Einsatz von Zeichen bei Mathematikstudierenden unter-suchte (Fischer 2006). Nach Fischer betont die Verwendung von bestimmten Zeichen die unterschiedlichen Bedeutungen mathematischer Objekte. Bei-spielsweise wird bei der Darstellung der Restklasse ‚zwei modulo fünf‘ durch die Schreibweise {5z+2 | z  ℤ } die Bedeutung betont, dass die Zah-len mit Rest zwei zusammengefasst werden (ebd., S. 187). Die nachfolgend dargestellte Studie wurde gemeinsam mit Inga Refle ent-worfen und in einem mathematikdidaktischen Seminar an der Freien Univer-sität Berlin (Sommersemester 2012) durchgeführt. Die zwölf Studierenden und deren Dozent erhielten dabei die Aufgabe, über das ihnen vorgelegte Zeichen einer Geraden einen Aufsatz zu schreiben. Um die unterschiedlichen Sichtweisen der Teilnehmenden abzubilden, wurden sie gebeten, die As-pekte Eigenschaften, Lage im Raum und mögliche Rechenoperationen zu berücksichtigen. Als Grafik war das Zeichen für eine Gerade bei einem Teil der Studierenden mit und bei dem anderen Teil der Studierenden ohne Ko-ordinatensystem beigefügt. Die Auswertung unter den vier sprachwissenschaftlichen Untersuchungsas-pekten (Semantik, Syntax, Pragmatik, Sigmatik) ergab Folgendes: Innerhalb der Semantik kristallisierte es sich heraus, dass Studierende, deren Grafik ein Koordinatensystem enthielt, schwerpunktmäßig eher Aspekte der Analysis betrachteten, wohingegen Studierende, deren Grafik kein Koordinatensys-tem enthielt, ihren Betrachtungsschwerpunkt eher auf die analytische Geo-metrie legten. Das Beifügen bzw. Weglassen des Koordinatensystems, was syntaktisch einen Unterschied darstellt, hatte großen Einfluss auf die Auf-sätze der Studierenden. Diese unterschieden sich nicht nur im Bedeutungs-schwerpunkt, denn bei der Aufgabestellung ohne Koordinatensystem wur-den deutlich mehr inhaltliche Aspekte und zum Teil auch eigene grafische Ergänzungen angeführt. Trotz des mathematikdidaktischen Kontextes wurde das Zeichen auch als ‚Strich‘ bzw. ‚Linie‘ bezeichnet. Unter dem Aspekt der Pragmatik kann man dies so deuten, dass dafür die Aufgabenstellung verant-wortlich sein könnte − auf der anderen Seite zeigt dies aber auch, dass den Studierenden das mathematische Zeichen gleichzeitig auch in seiner Ver-wendung als außermathematisches Zeichen präsent war. Unter dem Aspekt der Sigmatik wurde deutlich, dass die mathematischen Zeichen in der Regel auf Objekte außerhalb der sinnlich wahrnehmbaren Welt verweisen. Interes-santer Weise wurde in nur einem Fall − im Zusammenhang mit Modellie-rungsmöglichkeiten − auf die außermathematische Welt Bezug genommen. Welche Erkenntnisse lassen sich aus dieser Studie für den Mathematikunter-richt ableiten?  Die Untersuchungsergebnisse aus der Semantik zeigen, dass es notwendig ist, die Bedeutungsschwerpunkte, die mit unterschiedlichen Schreibweisen einhergehen, deutlich herauszuarbeiten und den Schülern und Schülerinnen die Möglichkeit zur Reflexion zu geben – beispielsweise mittels Lerntage-büchern. Die Betrachtung von mathematischen Zeichen im syntaktischen Kontext lässt darauf aufmerksam werden, wie wichtig ein sensibler Umgang mit Zeichen und Zeichenkombinationen unter anderem in unterschiedlichen Versionen von Klassenarbeiten oder generell bei der Unterrichtskonzeption ist. Aufgaben können durch das Hinzufügen oder Weglassen einzelner Zei-chen einen mehr oder weniger offenen Charakter erhalten. Mit dem pragma-tischen Blick wird die Frage aufgeworfen, wie im Mathematikunterricht mit Begriffen aus dem Alltag umgegangen werden sollte. Mit Wagenschein sollte vor der ‚Sprache des Verstandenen‘ bei Lernprozessen eine ‚Sprache des Verstehens‘ zugelassen werden (Ruf & Gallin 2011, S. 25). Beim Über-gang zur mathematischen Fachsprache sollte auch deren Notwendigkeit the-matisiert werden. Betrachtet man mathematische Zeichen aus der Perspek-tive der Sigmatik, so wird deutlich, dass selten eine Referenz in die reale Welt existiert. In der Sprachwissenschaft wird das Objekt als das Primäre betrachtet, demgegenüber können abstrakte Objekte nur über die Zeichen verstanden werden. Daher müssen Lernende „zwangsweise den umgekehr-ten Weg gehen: von den Darstellungen zur Idee und zum abstrakten Objekt“ (Dörfler 2006, S.1). Da sich Lernenden der mathematische Hintergrund ei-nes Zeichens mitunter nicht sofort erschließt, sollte zunächst auch das aus-schließliche Operieren mit den Zeichen zugelassen werden. Durch das Han-deln mit den Zeichen können dann die Eigenschaften des abstrakten Objek-tes erschlossen und als mentales Konstrukt aufgebaut werden.  Der Mehrwert der sprachwissenschaftlichen Betrachtung liegt darin, dass sie auf die Probleme, die bei dem Umgang mit mathematischen Zeichen auftre-ten können, aufmerksam macht und Anstöße für weitere Forschungen gibt. Der Zeichenbegriff von de Saussure ist sicherlich nicht hinreichend für das Verständnis mathematischer Interpretationsvorgänge, zeigt jedoch die Prob-lemstellen von Lernenden auf.  Literatur Bußmann, H. (Hrsg.) (2002): Lexikon der Sprachwissenschaft. Stuttgart: Kröner. Dörfler, W. (2006): Keine Angst – Mathematik ist nicht nur abstrakt. In: BzMU 2006, Hildesheim: Franzbecker Verlag, 71-74. Dörfler, W. (2012): Was und wie wird in der Mathematik konstruiert. In: BzMU 2012, Münster: WTM Verlag, 217-220. Fischer, A. (2006): Der Einsatz von Zeichen als Werkzeuge zur mentalen Konstruktion abstrakter Objekte. In: JMD 27 (2006) 3/4, 180-199. Nöth, W. (2000): Handbuch der Semiotik. Stuttgart: Metzler. Ruf, U., Gallin, P. (2011): Dialogisches Lernen in Sprache und Mathematik. Band 1: Austausch unter Ungleichen. Seelze: Friedrich Verlag. 

Die Bedeutung von Zeichen für den Mathematikunterricht

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