Frank, Martin

Hattebuhr, Maren

Roeckerath, Christina

Eldorado - Ressourcen aus und für Lehre, Studium und Forschung

 In F. Caluori, H. Linneweber-Lammerskitten & C. Streit (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2015. Münster: WTM-Verlag 740 Christina ROECKERATH, Martin FRANK, Maren HATTEBUHR, Aachen Wie funktioniert eigentlich GPS und was hat das mit Mathe zu tun? – Projekttag des EducationLab CAMMP der RWTH Aachen Im Navi, im Smartphone, beim Geocaching - GPS hat längst Einzug in un-ser alltägliches Leben gehalten. Aber wie funktioniert eigentlich GPS und was hat das mit Mathematik zu tun? Dieser Fragestellung wird in einem Schülerworkshop nachgegangen, der am EducationLab CAMMP der RWTH Aachen angeboten wird. CAMMP steht für Computational and Ma-thematical Modelling Program und ist ein Schülerlabor für mathematische Modellierung und Simulation an der RWTH Aachen. Weitere Informatio-nen zu CAMMP finden sich unter www.cammp.rwth-aachen.de.  GPS bedeutet Global Positioning System. Es ist ein Verfahren zur Bestim-mung der Standorts eines GPS-Geräts anhand von empfangenen Satelliten-daten. Die Satelliten umkreisen die Erde auf Umlaufbahnen und senden da-zu fortwährend Sendezeitsignale und Umlaufbahndaten. Der GPS-Workshop wird mit Mathematikkursen der Oberstufe durchgeführt, wobei das Material so konzipiert ist, dass die Schüler/innen weitgehend eigen-ständig und aktiv das Thema bearbeiten können. Sie verwenden dabei echte Daten, die mit einem GPS-Empfänger vor dem Schülerlabor aufgenommen wurden. Es wird ein als Lückentext vorbereiteter Matlab-Code eingesetzt, in dem die Schüler/innen die entscheidenden Schritte der Modellbildung selbst implementieren. Das Lösen der resultierenden nichtlinearen Glei-chungssysteme wird von Matlab übernommen. Anhand von Google maps können die Schüler/innen die erzielten Ergebnisse überprüfen.  Zu Beginn wird die Form der Erde als Kugel angenommen und es werden die Daten von nur drei Satelliten verwendet. Anhand der empfangenen Um-laufbahndaten und der Sendezeit tS werden dann die Koordinaten (xS , yS , zS ) der empfangenen Satelliten bestimmt. Die dazu benötigte Funktion wird im Matlab-Code vorgegeben, sodass die Schüler/innen diese zur Berechnung lediglich verwenden müssen.  Satellitensignale werden mit Lichtgeschwindigkeit übertragen. Anhand der Empfangszeit tE  kann die Entfernung eines Satelliten zum Empfänger, wel-che auch als Pseudoentfernung bezeichnet wird, durch ds =(tE −tS)·c bestimmt werden.  741 Zur Bestimmung der Empfängerkoordinaten (xE , yE , zE ) kann mit dem Satz des Pythagoras oder unter Verwendung von Vektorrechnung das nichtline-are Gleichungssystem  𝑥! − 𝑥! ! ! + 𝑦! − 𝑦! ! ! + 𝑧! − 𝑧! ! ! = 𝑑! !  𝑥! − 𝑥! ! ! + 𝑦! − 𝑦! ! ! + 𝑧! − 𝑧! ! ! = 𝑑! !  𝑥! − 𝑥! ! ! + 𝑦! − 𝑦! ! ! + 𝑧! − 𝑧! ! ! = 𝑑! !  für alle drei Satelliten aufgestellt werden. Zur Lösung verwenden die Schü-ler/innen die Matlab-Routine fsolve, welche die Lösung anhand des Newton-Verfahrens ermittelt. Um die ermittelte Empfängerposition mit Hilfe von Google maps interpretieren zu können, muss sie in geographische Koordinaten umgewandelt werden. Unter Verwendung des Tangens und des Satzes von Pythagoras erhält man 𝜙 = arctan !!!!!!!!!,  𝜆 = arctan2 !!!!  und  ℎ =    𝑥!! + 𝑦!! + 𝑧!! – r, wobei 𝜙 den Längen- und 𝜆 den Breitengrad, sowie h die Höhe beschrei-ben.  Abbildung 1: Nach dem ersten Durchlauf des Modellierungskreislaufs ist die berechnete Empfängerposi-tion mehr als 300 km von der tatsächlichen Empfängerposition entfernt.  Wie in Abbildung 1 dargestellt, ergibt die Berechnung der geographischen Koordinaten anhand der in Aachen aufgenommenen Satellitendaten eine Empfängerposition in der Nähe von Fulda, knapp 350 km entfernt. Es ist demnach notwendig, den Modellierungskreislauf erneut zu durchschreiten. Dazu können verschiedene Verbesserungen bei den Modellannahmen vor-genommen werden. Anhand der Relativitätstheorie lässt sich erklären, dass die Zeit im Satelli-ten schneller vergeht als die Zeit auf der Erde. Dieses Phänomen führt zu einem Sendezeitfehler 𝛥𝑡!, welcher sich mit einem quadratischen Fehler-742 modell berechnen lässt. Dieses wurde für die Schüler/innen bereits im Mat-lab-Code implementiert. Zur Verbesserung des Modells müssen sie die Fehlerkorrektur 𝑡! − 𝛥𝑡!  bei der Berechnung der Satellitenkoordinaten und der Pseudoentfernungen berücksichtigen. Ein weiteres Phänomen, welches im ersten Modell noch nicht berücksich-tigt wurde, ist die Tatsache, dass die Uhr im Empfänger nicht absolut genau geht und somit ein Empfängerzeitfehler 𝛥𝑡!  vorliegt. Die Fehlerkorrektur 𝑡! − 𝛥𝑡!  ergibt die korrigierte Pseudoentfernung (𝑡! − 𝛥𝑡! − 𝑡!) ∙ 𝑐 =𝑑! − 𝑐  𝛥𝑡! . Da mit 𝛥𝑡!  eine weitere Unbekannte vorliegt, werden vier Gleichungen bei der Bestimmung der Empfängerkoordinaten benötigt. Da-zu müssen die Daten eines weiteren Satelliten hinzugenommen werden, so-dass man das nichtlineare Gleichungssystem  𝑥! − 𝑥! ! ! + 𝑦! − 𝑦! ! ! + 𝑧! − 𝑧! ! ! = 𝑑! ! − 𝑐  𝛥𝑡𝐸 ⋮ 𝑥! − 𝑥! ! ! + 𝑦! − 𝑦! ! ! + 𝑧! − 𝑧! ! ! = 𝑑! ! − 𝑐  𝛥𝑡𝐸 erhält. Zur Lösung des Gleichungssystems setzen die Schüler erneut Mat-lab ein und erhalten auf diese Weise den Empfängerzeitfehler 𝛥𝑡!   und die Empfängerkoordinaten (𝑥! ,𝑦! , 𝑧!). Da ein GPS Empfänger zwischen 8 und 12 Satellitensignale gleichzeitig empfängt, besteht weiter die Möglichkeit, die Daten aller Satelliten zu ver-wenden, wodurch weitere Gleichungen hinzukommen. 𝑥! − 𝑥! ! ! + 𝑦! − 𝑦! ! ! + 𝑧! − 𝑧! ! ! = 𝑑! !  ⋮ 𝑥! − 𝑥! ! ! + 𝑦! − 𝑦! ! ! + 𝑧! − 𝑧! ! ! = 𝑑! !  Wir erhalten ein überbestimmtes Gleichungssystem und somit ein nichtli-neares Ausgleichsproblem, welches mit der kleinsten Fehlerquadratmetho-de von Matlab gelöst werden kann.  Die Form der Erde wurde im ersten Modell als Kugel angenommen. Tat-sächlich hat sie allerdings eher die Form eines Ellipsoiden, den man sich bildlich als an den Polen zusammengedrückte Mandarine vorstellen kann. 743 Der Referenzellipsoid WGS84 eignet sich als besseres Modell für die Form der Erde. Die geographischen Koordinaten müssen demnach auf dem Refe-renzellipsoiden bestimmt werden. Die entsprechenden Gleichungen werden von den Schüler/innen im Internet recherchiert und anschließende mit Mat-lab gelöst.  In Abbildung 2 (links) ist dargestellt, wie sich die einzelnen Modellverbes-serungen auf die Berechnung der Empfängerposition auswirken. Es wird deutlich, dass jede einzelne Modellverbesserung noch nicht zu einem zu-friedenstellenden Ergebnis führt. Werden aber alle Modellverbesserungen gemeinsam vorgenommen, so erhält man einen bis auf wenige Meter kor-rekt berechneten Empfängerstandpunkt, wie in Abbildung 2 (rechts) darge-stellt.   Abbildung 2: links: Auswirkungen der verschiedenen Modellverbesserungen: (0) keine Ver-besserung, (1) Satellitenuhr, (2) Empfängeruhr, (3) Form der Erde, (4) alle Satelliten; rechts: Alle Modellverbesse-rungen zusammen liefern eine gute Näherung für die Empfängerkoordi-naten. Im Rahmen dieses Workshops durchschreiten Schüler/innen den Modellie-rungskreislauf mehrfach und können ihr Ergebnis stets direkt überprüfen. Sie erleben so, wie sich das Ergebnis durch schrittweise Verbesserung der Modellannahmen ebenso schrittweise verbessert. Literatur Borre, K., & Strang, G. (2012). Algorithms for global positioning. Wellesley-Cambridge Press. Frank, M. & Roeckerath, C. (2012). Gemeinsam mit Profis reale Probleme lösen. Ma-thematik Lehren, Heft 174, S. 59 - 61.  

Wie funktioniert eigentlich GPS und was hat das mit Mathe  zu tun? – Projekttag des EducationLab CAMMP der RWTH  Aachen

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/34703/1/BzMU15_ROECKERATH_GPS.pdf

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