Richter, Karin

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Silvia SCHÖNEBURG, Leipzig, Karin RICHTER, Halle Von Scheiben und Körpern – Entwicklung und Vertiefung von Vorstellungen zu geometrischen Körpern vermittels geeigneter Schnitte Räumliches Vorstellungsvermögen, d.h. die Fähigkeit, räumliche Zusam-menhänge visuell zu erfassen und mit ihnen gedanklich agieren zu können, ist im Mathematikunterricht, insbesondere im Geometrieunterricht, und na-türlich auch im Alltag wichtig und muss erlernt, trainiert und gefestigt wer-den. Geometrische Körper zu verstehen und mit ihnen angemessen operie-ren zu können setzt voraus, wesentliche ihrer Eigenschaften zu kennen oder erschließen zu können sowie mit ihnen entsprechend umzugehen. Die Idee, handgreifliche mathematische Modelle zu nutzen, um mit ihrer Hilfe insbe-sondere geometrisches Verständnis zu initiieren und zu unterstützen, zählt zu den bahnbrechenden mathematikdidaktischen Überlegungen von Felix Klein (1849 – 1925). In seiner programmatischen Antrittsrede an der Er-langer Universität von 1872 hob er den Stellenwert von Modellen als An-schauungsmittel hervor: „Die Anschauung hat … nur den Werth der Ver-anschaulichung, der allerdings in pädagogischer Beziehung sehr hoch an-zuschlagen ist. Ein geometrisches Modell z.B. ist auf diesem Standpunkte sehr lehrreich und interessant. Es gibt eine eigentliche Geometrie, die nicht … nur eine veranschaulichende Form abstracterer Untersuchungen seinwill. In ihr gilt es die räumlichen Figuren nach ihrer vollen gestaltlichen Wirklichkeit aufzufassen und die für sie geltenden Beziehungen als evidente Folgen der Grundsätze räumlicher Anschauung zu verstehen. Ein Modell – mag es nun ausgeführt und angeschaut oder nur lebhaft vorgestellt sein – ist für diese Geometrie nicht ein Mittel zum Zwecke sondern die Sache selbst.“(F. Klein, Erlanger Programm, 1872, Anmerkung 3) Insbesondere seinen Bestrebungen ist es zu verdanken, dass mathematische Modelle im letzten Viertel des 19. Jahrhunderts zielgerichteten Einsatz im Mathematik- und insbesondere Geometrieunterricht aller Schul- und Ausbildungsformen fanden. Gemeinsam mit Alexander von Brill (1842-1935) entstanden unter Kleins Leitung im mathematischen Seminar der Königlich Technischen Universität in München eine Vielzahl von Modellen, die der Anschauung resp. der Veranschaulichung mathematischer und insbesondere geometri-scher Zusammenhänge dienten. Neben Kartonscheibenmodellen von Flächen zweiter Ordnung hielten in den sich im ausgehenden 19. Jahrhundert herausbildenden Modellsamm-lungen zu Unterrichtszwecken der Universitäten und Schulen auch weitere Kartonmodelle sowie Gipsmodelle, Fadenmodelle und bewegliche Draht-In J. Roth & J. Ames (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2014 (S. 1095–1098). Münster: WTM-Verlag1095 Abb. 2: Dreiachsiges Ellip-soid aus 22 Kreisen;  Foto: N. Kaltwaßer (Halle) modelle Einzug. Wichtiges Anliegen bei der Entwicklung dieser Modelle war es, unterschiedliche mathematische Eigenschaften über geeignete Dar-stellungsweisen, gestützt durch das jeweils gewählte Material, besonders ins Blickfeld des Betrachters zu rücken.          So visualisiert etwa ein Vollmodell den Körper an sich sowie Eigenschaf-ten seiner Oberfläche. Im Beispiel des kleinen Sterndodekaeders (Abb. 1) verdeutlicht das Modell insbesondere die Zusammensetzung des Körpers aus 12 fünfeckigen Pyramiden, die auf den Seitenflächen eines regulären Dodekaeders stehen. Das Kantenmodell eines Ikosaeders mit eingezogenen Diagonal-Fäden lässt den umhüllten Sterndodekaeder mit seinen Sternspit-zen in den Ikosaederecken erkennen. Einen ganz anderen Blickwinkel auf Körper ermöglichen die Schnittflächenmodelle, die erstmals im Jahre 1874 für Flächen zweiter Ordnung veröffentlicht wurden. Die Visuali-sierung des jeweiligen Körpers erfolgt hier mittels zweier Scharen von Scheiben, die als Schnitte von Ebenen mit dem zu veranschau-lichenden Körper entstehen. Jede der beiden Scharen besteht aus untereinander parallelen Scheiben; die beiden Scharen sind zueinander um einen Winkel   90° geneigt.  Neben der Veranschaulichung der Körper über ihre Ebenenschnitte be-gründet sich ihre Besonderheit insbesondere auch darin, dass sich die zu-sammengesteckten Scheiben durch leichten Druck in einen anderen Nei-gungswinkel gegeneinander überführen lassen. „…so erhält man kein star-res, sondern ein bewegliches  Gerüst, … reicht die Beweglichkeit … soweit, daß man das Modell in eine Ebene zusammenklappen kann.“ (D. Hilbert, St. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie, S. 16 /17) Abb. 1: Vollmodell des kleinen Sterndodekaeders und Kantenmodell eines Ikosaeders mit einbeschriebenem Sterndodekaeder, Foto: N. Kaltwaßer (Halle) 1096 Abb. 3: Vorlagen zu einer Steck-Kugel. Der Wunsch, einen geometrischen Körper in seinen charakteristischen Ei-genschaften umfassend zu erschließen, führt rasch und zentral bedeutsam zur Frage nach seinen Ebenenschnitten. Dies wird im heutigen Mathema-tikunterricht oft kaum mehr als nur marginal berücksichtigt. Schnittflä-chenmodelle, angewandt auf die typischen Körpergrundformen des Geo-metrieunterrichts der Schule wie beispielsweise Würfel, Pyramide, Zylin-der und Kugel, ermöglichen einen im eigentlichen Sinne plastischen und zugleich motivierenden Zugang zu dieser Problematik. Die Zuwendung zu den einzelnen Körpern kann dabei auf ganz unterschiedliche Weise erfol-gen. Exemplarisch seien im Folgenden zwei Vorgehensweisen bei der Aus-einandersetzung mit den Schnittflächen und dem Erstellen eines Modells bei Kugel und quadratischer Pyramide vorgestellt. Experimentelles Erkunden einer Kugel Ausgehend von der Kreis-Schnitteigenschaft der Kugel, die durch das gerade Zerschneiden einer Sty-ropor- oder Knete-Kugel entdeckt werden kann, liegt es nahe, die gewonnene Schnittflächen-Einsicht nun in umgekehrter Richtung durch das Zusammenfügen von Kreisen geeigneter Größe zu prüfen. Bereits mit Hilfe von zwei großen und vier kleineren Kreis-scheiben (als Vorlagen dafür können etwa die Kreise aus Abb. 3 genutzt werden) entsteht nach dem rich-tigen Zusammenstecken ein „roll-fähiges“ Gebilde, das durchaus an eine Kugel erinnert. Zur Verfeine-rung der Kugel-Nachbildung sind weitere, nun enger bei einander liegende Kreisschnitte heranzuziehen, so dass das Modell Schritt für Schritt „runder“ wird. (Vgl. Abb. 2.) Steht beim Kugel-Schnitt-Modell die Eigenschaft im Zentrum der Be-obachtung, dass alle Körperschnitte Kreisscheiben sind, bieten andere Kör-per, wie etwa die quadratische Pyramide, vertiefende Entdeckungsmög-lichkeiten hinsichtlich der auftretenden Schnittflächen. Schnittflächen-Erkundung zur geraden quadratischen Pyramide Auch hier können eigene Erfahrungen zu Körperschnitten an einer geraden quadratischen Pyramide zunächst mit Hilfe von Modellen aus Blumen-steckmasse gewonnen werden. Körperachsen parallele wie auch nichtparal-lele Schnitte bieten hier ein breites Erkundungsfeld. Nach einer ausführli-chen Phase eigenen Experimentierens kann Schritt für Schritt an die eigene Erstellung eines Schnittflächenmodells vermittels achsenparalleler Schnitte 1097 herangeführt werden. Den Start bildet hierfür ein Schnitt durch eine Grund-flächen-Diagonale und die Spitze der quadratischen Pyramide. Parallel-schnitte zu dem so entstandenen gleichschenkligen „Start-Dreieck“ führen auf hierzu ähnliche Dreiecke. Diese Einsicht ermöglicht es Lernenden, an-hand der nachfolgenden Abb. 4 das eigentliche Modell selbst zu entwi-ckeln.          Bei der eigenen Erstellung einer Bastelanleitung zur Steck-Pyramide oder auch für die Steck-Kugel wird den Lernenden deutlich, wie anspruchsvoll und herausfordernd es ist, eine solche Anleitung inhaltlich korrekt und für andere nachvollziehbar zu verfassen. Neben dem mathematischen Aspekt steht hier die Kompetenz des Kommunizierens im Vordergrund.  Jedes dieser Modelle, sei es das Schnittflächenmodell der Kugel, der quad-ratischen Pyramide oder auch eines anderen geometrischen Körpers, lädt zu mathematischen Entdeckungen ein. Die Schwierigkeit der Umsetzung selbst ist variierbar: Je größer die Anzahl der verwendeten Schnittflächen, umso mehr Fingerfertigkeit ist gefragt. Je besser das Verständnis und damit einhergehend die Modellierung des vermittels seiner Schnitte darzustellen-den Körpers ist, desto besser wird das entstehende Modell sein.  Literatur Hilbert, D.; Cohn-Vossen, St. (1996). Anschauliche Geometrie. Berlin u.a.: Springer. Klein, F. (1974). Das Erlanger Programm. Eingeleitet von H. Wußing. Leipzig: Ost-walds Klassiker der exakten Wissenschaften, 253.  Richter, K.; Schöneburg, S. (2011). Von Scheiben und Körpern. Entwicklung und Ver-tiefung von Vorstellungen zu geometrischen Körpern vermittels geeigneter Schnitte. In Richter, K.; Schöneburg, S. et al. (Hrsg.), Mathematik für alle: Wege zum Öffnen von Mathematik – Mathematikdidaktische Ansätze (S. 293–308). Hildesheim: Franz-becker. Pappscheiben - schnell und einfach   Ihr steht nun ganz nah davor, eure eigene Pyramide zu erstellen. Aber wie kommt man eigentlich zu den entsprechenden Pappscheiben, wenn man keinen Bastelbogen hat, aus dem man diese nur noch ausschneiden muss?  Eure bisher emachten Entdeckungen zu den Schnittflächen einer quadratischen Pyramide helfen euch dabei. Wie, das verrät euch nachfolgende Abbildung, die als Grundlage für den Bau einer 12 cm hohen quadratischen Pyramide mit einer Grundkante von 10 cm dient.   Entwerft in euren Forschungsteams geeignete Erläuterungen, die dieses Bild beschreiben und die euren Mitschülern und Mitschülerinnen helfen, di  entsprechenden Pappscheiben selbst herzustellen. Wie viele Pappscheiben benötigt ihr denn nun zur Erstellung eurer Pyramide?                     Fertig? Dann tauscht eure Anweisungen mit denen eines anderen Forschungsteams und überprüft, ob diese wirklich verständlich sind und macht ggf. Vorschläge zur Verbesserung. Viel Spaß dabei.  Aus Dreiecken wird eine Pyramide Das glaubt ihr nicht? Ihr habt doch bereits entdeckt, dass ein Schnitt durch die Diagonale der Grundfläche und die Spitze einer quadratischen Pyramide ein gleichschenkliges Dreieck ergibt. Aber wie verhält es sich mit den Schnittflächen die parallel zu dieser ersten verlaufen?  Die Forschungsteams sind wieder gefragt, um Zusammenhänge zwischen diesen Schnittflächen aufzudecken. Erledigt dazu folgende Aufgaben: 1.) Zeichnet das Schrägbild einer quadratischen Pyramide 2.) Kennzeichnet die Schnittfläche, die beim Schnitt durch die Diagonale der Grundfläche  d  Spitze der quadrat schen Pyramide entsteht. 3.) Zeichnet eine zweite Schnittfläch  ein, die zur ersten parallel ist und durch den Mittelpunkt einer Grundkante verläuft. 4.) Überprüft und begründet, dass die beiden Schnittflächen zueinander ähnlich sind. Abb. 4:  Steck-Pyramide (Bastelvorlage und Modell); Graphik und Foto: S. Schöneburg 1098

Von Scheiben und Körpern – Entwicklung und Vertiefung von Vorstellungen zu geometrischen Körpern vermittels geeigneter Schnitte

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