Roos, Anna-Katharina

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 In F. Caluori, H. Linneweber-Lammerskitten & C. Streit (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2015. Münster: WTM-Verlag 1101 Anna-Katharina ROOS, Würzburg Fehlvorstellungen Mathematikstudierender im Hinblick auf reelle Funktionen Verständnis- und Lernschwierigkeiten begegnet man beim Lehren von Ma-thematik an der Hochschule häufig, u. a. bei der Korrektur von Klausuren oder in Übungen und Tutorien. Auch beim Arbeiten mit reellen Funktionen (im Fachgebiet Analysis), die sowohl am Gymnasium zentral sind als auch in der Hochschulmathematik eine Grundlage für weitere Gebiete darstellen, treten immer wieder gleiche oder ähnliche Fehler beim Bearbeiten von Aufgaben auf, worauf u. a. Dreyfus und Eisenberg (1983) hinweisen. Die Bedeutung der Fehleranalyse allgemein unterstreicht Oser et al. (1999) durch die Theorie des „negativen“ Wissens. Er bezeichnet das Wissen über mögliche Fehler („negatives“ Wissen) als Schutzwissen, da es angibt, was in einer Situation nicht getan werden darf. Auch Schoy-Lutz (2005) be-hauptet im Hinblick auf die Schule, dass Fehler, die auf Grund von Fehl-vorstellungen entstehen, nur vermieden werden können, wenn man die Denkstrategien der Schüler beachtet. Auch hinsichtlich Lernschwierigkei-ten an der Hochschule erscheint es somit sinnvoll, Fehler genauer zu be-trachten und eventuell einen Überblick über typische Denkmuster bzw. Fehler und Fehlvorstellungen zu gewinnen. Denn wie schon Vinner und Dreyfus (1989) feststellen „The knowledge of these1 particular cognitive schemes may make the teacher more sensitive to students‘ reactions and thus improve communication.“ Dreyfus und Eisenberg (1983) bemerken zum Funktionsbegriff: „The func-tion concept is one of the most fundamental in all of mathematics and one for which students seldom develop a satisfactory understanding.“ Sie haben sich daher mit Intuitionen Studierender (der Fächer Wirtschaft, Geographie etc.) zum Begriff der Funktion beschäftigt und bestätigen, dass die Studie-renden Schwierigkeiten mit den Begriffen Linearität, Differenzierbarkeit und Periodizität haben. Außerdem haben Dreyfus und Eisenberg (1984) die Intuitionen von Junior High School Schülern bzgl. des Funktionsbegriffs mit Hilfe eines Fragebogens geprüft. Wie beide (1982) beschreiben, verste-hen sie unter Intuitionen geistige Repräsentationen von Tatsachen, die of-fensichtlich und selbstverständlich erscheinen. Auch Vinner und Dreyfus (1989) haben sich mit dem Funktionsbegriff be-schäftigt. Sie haben zu Beginn einer Analysis Vorlesung Vorstellungen 	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  	  1Gemeint sind jene Denkschemata, die bei derselben Person in unterschiedlichen, zeit-nahen Situationen auftreten können. 1102 Studierender mit von diesen gegebenen Definitionen vom Funktionsbegriff verglichen und Übereinstimmungen und Unterschiede aufgezeigt. Besondere Beachtung haben Tsamir und Ovodenko (2013) Schwierigkeiten bzgl. Wendepunkten geschenkt. Sie haben sowohl auf der sprachlichen, als auch auf der graphischen Ebene untersucht, inwieweit Mathematikstudie-rende diesen Begriff verinnerlicht haben und anwenden können. Dabei ha-ben sie vier Fehler ermittelt, die in Beziehung mit Wendepunkten stehen und Schwierigkeiten, die in Beziehung mit den Beweistechniken der Stu-dierenden stehen. Insgesamt wurde gezeigt, dass die Probanden fehlerhafte concept images  (s. Tall und Vinner (1981)) von Wendepunkten besitzen. Im Gegensatz zu dieser speziellen Betrachtung des Begriffs des Wende-punktes, sollen im Folgenden die allgemeineren Begriffe Monotonie, Diffe-renzierbarkeit und Extremwerte untersucht werden. Diese sind zentral im Umgang mit Funktionen und spielen gerade für die geometrische Interpre-tation von Funktionseigenschaften eine wichtige Rolle. Es gilt zu beachten, dass die nachfolgende Arbeit noch im Entstehen ist und daher noch keine endgültigen Ergebnisse präsentiert werden können. Ziele und Forschungsfragen sind die Folgenden: Welche Fehler und Fehl-vorstellungen lassen sich im Hinblick auf die Themengebiete Monotonie, Extremwerte und Differenzierbarkeit bei den Studierenden nachweisen? Wie verbreitet ist der jeweilige Fehler? Welche Ursachen könnten die iden-tifizierten Fehlerphänomene haben? Beeinflusst die Repräsentationsebene der Aufgabenstellung die Lösungen der Studierenden? Um Fehlvorstellungen aufzudecken, gibt es viele Möglichkeiten. Im Rah-men dieser Untersuchung wurden – bzw. werden – Fragebögen und Inter-views verwendet. Die Fragebögen sollen dabei zwei verschiedene Reprä-sentationsebenen ansprechen: Zum einen die symbolische Ebene durch ei-nen sprachlichen Test, zum anderen die graphische Ebene durch einen gra-phischen Test. Inhaltlich sollen dieselben Themen angesprochen werden, um gezielt die möglicherweise unterschiedliche Bearbeitung der beiden Tests vergleichen zu können.  Bisher wurde der sprachliche Test entwickelt. Dieser besteht aus 20 Aussa-gen (die je ein Item darstellen) über Funktionen, die die Studierenden auf ihren Wahrheitsgehalt hin untersuchen sollen. Es sind dabei 15 Aussagen falsch und fünf Aussagen wahr. Die Aussagen behandeln die Gebiete Mo-notonie, Extremwerte, Differenzierbarkeit (diese können jedoch nicht im-mer scharf voneinander getrennt werden). Der graphische Test ist noch in Entwicklung. Im sprachlichen Test sollen sich die Studierenden zum einen entscheiden, 1103 ob sie eine Aussage als wahr oder falsch annehmen, zum anderen ist zu-sätzlich eine Begründung gefordert für die Entscheidung, ob die Studieren-den denken, dass eine Aussage wahr oder falsch ist. Die Antwort wird hierbei gelenkt durch die Möglichkeiten: „wahr, aus der Vorlesung be-kannt“, „wahr, intuitiv klar“, „wahr, sonstiges“ und „falsch, ein Gegenbei-spiel ist“. Auf dem Fragebogen ist außerdem viel Platz, damit die Studie-renden ihre Begründungen anhand von Zeichnungen illustrieren können. Für die Bearbeitung haben sie 60 Minuten Zeit. Dieser Test wurde in der Bachelorveranstaltung Analysis II im Sommersemester 2014 in Würzburg durchgeführt. Quantitative Ergebnisse Folgende Tabelle zeigt den Anteil der richtigen Antworten der Studieren-den zu den Items der Gebiete Monotonie, Extremwerte, Differenzierbarkeit und wahre Items, wobei in der Spalte „Ankreuzen“ lediglich die Entschei-dung wahr oder falsch berücksichtigt wurde, d. h. die Tatsache, ob die Stu-dierenden richtig angekreuzt haben, dass eine Aussage wahr bzw. falsch ist. In der Spalte „Begründung“ wurde untersucht, ob die notierten Begründun-gen der Studierenden mathematisch korrekt sind. 	   Ankreuzen	   Begründung	  wahre	  Items	   86	  %	   37	  %	  Monotonie	   35	  %	   18	  %	  Extremwerte	   37	  %	   17	  %	  Differenzierbarkeit	   21	  %	   4	  %	   Die Tabelle zeigt beispielsweise, dass die Studierenden die falschen Items, die primär die Monotonie betreffen, zu 35 % als falsche Aussagen erkannt haben, aber nur 18 % dies begründen konnten. Man sieht, dass insgesamt die wahren Items am besten bearbeitet wurden. Außerdem ist schnell klar, dass es den Studierenden – wie erwartet – schwer gefallen ist, ihre Ent-scheidungen zu begründen. Weitere Auswertungen sind noch in Arbeit. Qualitative Ergebnisse Eine qualitative Auswertung bestand in der Bildung von Antwortkategorien zu jedem Item. Im Anschluss wurden die einzelnen Kategorien miteinander verglichen und Oberkategorien dadurch gebildet, dass die Kategorien der jeweiligen Items zusammengefasst wurden. Es trat z. B. die Verwechslung von Voraussetzung und Folgerung bei drei Items auf, wodurch eine Ober-kategorie dazu erstellt wurde. Zu den Oberkategorien gehören u. a. methodische Fehler etwa, wie oben genannt, die Verwechslung von Voraussetzung und Folgerung, Nichtbeach-1104 tung gewisser Voraussetzungen und Zusatzannahmen. Diese Art von Fehler stellt auch Radatz (1980) dar. Außerdem lassen sich inhaltliche Fehler zur Differenzierbarkeit, zu Extremwerten und zur Monotonie finden. Bezüglich der Monotonie sind das z. B. dass konstante Funktionen nicht als monoton erkannt werden, dass die Addition zweier monotoner Funktionen wieder eine monotone Funktion ergibt und dass monoton mit injektiv gleichgesetzt wird. Ein weiteres spannendes Feld für mögliche unzureichende Vorstel-lungen ist die Oberkategorie Probleme mit der Oszillationsvorstellung. Ovodenko und Tsamir (2013) bemerken „[…] more research is needed to study students‘ intuitions, concept images, visualization, definitions, proofs, and comprehension of conversions from certain semiotic represen-tations to other“. Es könnte auch hier interessant sein zu vergleichen, ob Studierende auf ähnliche Problemstellungen auf der graphischen Ebene an-ders als auf der symbolischen Ebene reagieren.  In einem graphischen Test sollen daher in nächster Zeit dieselben Inhalte getestet werden wie im sprachlichen Test. Neben der Entwicklung und dem Einsatz eines graphischen Tests, sind die Durchführung von Interviews so-wie die Fertigstellung der Auswertung des sprachlichen Tests geplant. Literatur Dreyfus, T., Eisenberg, T. (1982). Intuitive functional concepts: A baseline study on in-tuitions, Journal for Research in Mathematics Education, 13 (5), 360-380. Dreyfuß, T., Eisenberg, T. (1983). The Function Concept in College Students: Lineari-ty, Smoothness and Periodicity. Focus on learning problems in mathematics, 5, 119-132. Dreyfus, T., Eisenberg, T. (1984). Intuitions on functions. The Journal of Experimental Educational, 77-85. Oser, F., Hascher, T., & Spychiger, M. (1999). Lernen aus Fehlern. Zur Psychologie des „negativen“ Wissens. In W. Althof (Hrsg.), Fehlerwelten (S. 11-41). Opladen: Les-ke+Budrich. Radatz, H. (1980). Fehleranalysen im Mathematikunterricht. Braunschweig: Vieweg. Schoy-Lutz, M. (2005). Fehlerkultur im Mathematikunterricht. Hildesheim: Franz-Becker Verlag. Tall, D., Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational studies in mathematics, 12(2), 151-169. Tsamir, P., Ovodenko, R. (2013). University students’ grasp of inflection points. Educa-tional Studies in Mathematics, 83(3), 409-427. Vinner, S., Dreyfus, T. (1989). Images and definitions for the concept of function. Jour-nal for Research in Mathematics Education, 20(4), 356-366. 

Fehlvorstellungen Mathematikstudierender im Hinblick auf reelle Funktionen

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/34785/1/BzMU15_Roos_Funktionen.pdf

Fehlvorstellungen Mathematikstudierender im Hinblick auf reelle Funktionen

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