Bruder, Regina

Leuders, Timo

Wirtz, Markus

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Regina BRUDER, Darmstadt; Timo LEUDERS, Markus WIRTZ, Freiburg Ein diagnostisches Kompetenzstrukturmodell für ein  heuristisches Arbeiten mit Repräsentationen von Funktionen und seine empirische Überprüfung 1. Ziele des Projektes HEUREKO und Fragestellung Ziel des von der DFG im Schwerpunktprogramm „Kompetenzmodelle zur Erfassung individueller Lernergebnisse und zur Bilanzierung von Bil-dungsprozessen“ seit 2007 geförderten Projektes ist die Konstruktion und Überprüfung eines Kompetenzmodells für das mathematische Problemlö-sen und Modellieren von Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe I in solchen Situationen, in denen Prozesse des Wachstums und der Verände-rung mathematisch erfasst werden. Zentrale Bedeutung für Problemlösen und Modellieren in diesen Zusammenhängen besitzt die heuristische Ver-wendung der fundamentalen mathematischen Darstellungsarten „nume-risch“, „graphisch“, „symbolisch“ und „verbal“ sowie der Wechsel zwi-schen ihnen.  National und international bewährte theoretische Fähigkeits-modelle aus der Mathematikdidaktik werden operationalisiert und in Form eines Kompetenzstrukturmodells empirisch überprüft. Langfristiges Ziel ist die Bereitstellung eines empirisch fundierten Instrumentariums für die Schulpraxis zur Diagnostik der Stärken und Schwächen von Lerngruppen und Individuen im Inhaltsbereich „Funktionale Veränderung“, eine Be-stimmung von Förderbedarf und Abbildung von Kompetenzentwicklungen. Das zu entwickelnde Modell fokussiert – im Gegensatz zu large scale Stu-dien – auf einen engen aber curricular zentralen Teilbereich der mathemati-schen Kompetenzentwicklung. Über viele Schuljahre hinweg werden suk-zessive verschiedene Darstellungsarten eingeführt und der Bereich der ver-fügbaren Modelle wird vom linearen bis zum exponentiellen Wachstum vergrößert. Zielperspektive des zu entwickelnden Instrumentes ist daher die Messung langfristiger Kompetenzentwicklungen. Im Projekt HEUREKO soll folgende Frage beantwortet werden: Welche Kompetenzstruktur lässt sich im Inhaltsbereich „Funktionale Veränderung“ bezüglich der heuristischen Verwendung von funktionalen Repräsentatio-nen aus theoretischen und empirischen Erkenntnissen gewinnen und mit Methoden der Item-Response-Theory psychometrisch modellieren? 3. Theoretischer Hintergrund In der fachdidaktischen Literatur spielen mathematische Darstellungsfor-men und der Wechsel zwischen ihnen eine zentrale Rolle. Wesentliche grundsätzliche Beiträge zu mathematischen Darstellungsformen liefern z.B. Kaput (1985), Goldin (1998) und bezogen auf Funktionen u.a. Sierpinska (1992). Die Interpretation und wechselseitige Übersetzung der Darstel-lungsformen Term, Tabelle, Graph und Wortvorschrift wird als mathemati-sche Schlüsselfähigkeit angesehen (Swan, 1985) und ist damit auch im Fo-kus der meisten Lehr- und Lernkonzepte in diesem Bereich (Barzel, Huß-mann & Leuders, 2005). Zur Begründung der Relevanz des gewählten Themenfeldes „Wachstum und Veränderung“ können Argumentationen von Winter (1995) herangezogen werden, zum funktionalen Denken insbe-sondere Vollrath (1989) und zu den Repräsentationsformen und -wechseln auch Ainsworth (1999). Die Nutzung von verschiedenen Darstellungsfor-men als heuristische Hilfsmittel zum mathematischen Problemlösen findet man bei Polya (1949). Insbesondere die Wechsel zwischen verbalen Reprä-sentationen der Realsituation und numerischen, grafischen und algebrai-schen mathematischen Modellen lassen sich anhand des Modellierungs-kreislaufs (Blum, 2002) beschreiben. Um die Schüleraktivitäten beim Um-gang mit den verschiedenen Darstellungsformen differenziert beschreiben zu können, werden Erkenntnisse aus dem Tätigkeitskonzept (u.a. Lomp-scher & Irrlitz 1985, Bruder & Brückner 1989) herangezogen. Zur Variati-on der Aufgabenschwierigkeit sind ferner Parameter für kognitive Anforde-rungsniveaus hilfreich (Bruder 1981). Alle genannten Konzepte wurden genutzt, um Ansätze für mögliche Kompetenzstrukturen im fokussierten Themenfeld zu finden. Für die Itemkonstruktion ergibt sich die folgende Tabelle als Orientierungs-rahmen. In der ersten Projektphase mit Fokus auf Klasse 7 und 8 wurden aus curricularen Gründen der Bereich der symbolischen Darstellung sowie eher technische Darstellungswechsel zunächst ausgespart. Zudem war fest-zustellen, dass die meisten Aufgaben nicht eindeutig determinieren, welche Übersetzungsrichtungen bei der Bearbeitung stattfinden, daher wird z.B. nicht zwischen grafisch→situativ und situativ→grafisch unterschieden. Kognitive Elementarhandlungen  Repräsentationswechsel Erkennen Erzeugen Begründen situativ – grafisch (S↔G)    situativ – numerisch (S↔N)    graphisch – graphisch (G↔G)    numerisch – numerisch (N↔N)    numerisch – graphisch (N↔G)    Zusätzlich werden innerhalb der Zellen berücksichtigt: die Art des Kontex-tes und der Mathematisierungsaufwand, die verbale Komplexität der Auf-gabenstellung, die Verarbeitungskomplexität (wie viele Verarbeitungs-schritte sind notwendig) und die Entscheidungskomplexität (Grad der Of-fenheit), sowie der Bekanntheitsgrad, der Ausführungsaufwand und die Fehleranfälligkeit. 4. Untersuchungsdesign Im Sinne der curricularen Nähe wurden auf der Basis regulärer Schulbuch-aufgaben Items für alle relevanten Darstellungswechsel konstruiert, durch think-aloud Interviews validiert und pilotiert. Es wurden u.a. passende Pa-rallelitems erzeugt, etwa solche, die von derselben Realsituation ausgehend zur Problemlösung entweder mittels Tabelle oder Graf aufforderten. Die Items wurden in einem Multimatrix-Blockdesign in 40 Klassen in Baden-Württemberg und Hessen (N=872) zusammen mit einem Schüler- und Leh-rerfragebogen zur Erfassung von Moderatorvariablen eingesetzt. 5. Ergebnisse In einer Dimensionsanalyse wurden drei konkurrierende Modelle gegen-einander getestet. Modell 1 „Repräsentationswechsel“ (4D) mit der Annahme: Die Kompe-tenz des Problemlösens mit funktionalen Repräsentationen wird bestimmt durch die spezifischen Wechsel zwischen Repräsentationstypen. Die Fä-higkeit der Übersetzung zwischen grafischer respektive numerischer Dar-stellung und Situation sowie die Verarbeitung innerhalb der Repräsentatio-nen lassen sich psychometrisch trennen.  Modell 2 „Repräsentationstypen“ (2D) mit der Annahme: Wesentliche, trennbare Komponenten der Kompetenz des Problemlösens mit funktiona-len Repräsentationen sind durch den Repräsentationstyp bestimmt. Dabei spielt die Tatsache, ob eine Übersetzung zwischen Realsituation und ma-thematischem Modell stattfinden muss, keine entscheidende Rolle. Hieraus resultiert ein zweidimensionales Modell (im Wesentlichen G vs. N). Modell 3 „Repräsentationsunabhängige Kompetenz“ (1D): Schließlich dient uns die Annahme, dass der betrachtete Bereich wesentlich als ein ein-ziges Fähigkeitskonstrukt aufzufassen ist, als Vergleichsmodell.  Die empirische Überprüfung der Passung der konkurrierenden Modelle zu den Daten ergab folgendes Bild:       Modell -2 log L AICc Repräsentationsunabhängig (1D) 29908.91 29985 Repräsentationstypen (2D) 29898.38 29975 Repräsentationswechsel (4D) 29866.82 29943 L bezeichnet die Likelihood des Modells, der informationstheoretische Kennwert AICc beschreibt die Modellpassung unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Zahl ge-schätzter Parameter. Er wird durch das passendere Modell minimiert. Der Abstand von 32 zum nächst schlechteren Modell ist signifikant auf dem 5%-Niveau. Hinsichtlich der Modellpassung erweist sich im Vergleich mit den Alterna-tivmodellen das vierdimensionale Modell als das beste Modell für den be-trachteten Kompetenzbereich „Problemlösen mit Repräsentationen bei funktionaler Veränderung“. Die Unterscheidung der vier spezifischen Ty-pen von Repräsentationswechseln erlaubt eine differenzierte Beschreibung der Kompetenzstruktur, die in der Folge auch für Zwecke pädagogischer Diagnostik genutzt werden kann. Weitere Analysen der Kompetenzstruktu-ren und -typen und deren Zusammenhang mit Moderatoren werden an an-derer Stelle berichtet. Literatur Ainsworth, S.E., (1999). A functional taxonomy of multiple representations. Computers and Education, 33(2/3), 131-152. Barzel, B., Hußmann, S. & Leuders, T. (2005a). Der "Funktionenführerschein". Praxis der Mathematik in der Schule. 47 (2), 20-25. Blum, W. et al. (2002). Applications and Modelling in Mathematics Education – Dis-         cussion Document. In: Educational Studies in Mathematics 51, 149-171. Bruder, R. (1981). Zur quantitativen Bestimmung und zum Vergleich objektiver Anfor-derungsstrukturen von Bestimmungsaufgaben im Mathematikunterricht.- In: Wiss. ZS d. PH Potsdam, 25(1981)1, S.173-178 Bruder, R. & Brückner, A. (1989). Zur Beschreibung von Schülertätigkeiten im Ma-thematikunterricht - ein allgemeiner Ansatz.- In: Pädagogische Forschung, Ber-lin 30 (1989) 6, S.72-82 Goldin, G.A. (1998): Representational systems, learning and problem solving in mathematics. Journal of Mathematical Behavior, 17 (2), 137-165. Kaput, J.J. (1985): Representation and problem solving, methodological issues related to modelling. In: E.A. Silver (Hrsg.). Teaching and Learning Mathematical Prob-lem Solving: Multiple Research Perspectives. S. 381-398. Hillsdale, NJ: Erlbaum. Lompscher, J. & Irrlitz, L. (1985). Persönlichkeitsentwicklung in der Lerntätigkeit. Ber-lin: Volk und Wissen. Polya, G. (1949): Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme. Tübingen und Basel: Francke. Sierpinska, A. (1992): On understanding the notion of function. In: Dubinsky, E. & Harel, G. (Hrsg.). The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy. S. 25-58. USA: Mathematical Association of America. Swan, M. (1985). The Language of Functions and Graphs. Nottingham, UK: Shell Cen-tre for Mathematical Education. Vollrath, H.J. (1989). Funktionales Denken. Journal für Mathematikdidaktik,(10), 3-37. Winter, H. (1995). Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der  Mathematik, 61. 37–46. 

Ein diagnostisches Kompetenzstrukturmodell für ein heuristisches Arbeiten mit Repräsentationen von Funktionen und seine empirische Überprüfung

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/31423/1/122.pdf

Ein diagnostisches Kompetenzstrukturmodell für ein heuristisches Arbeiten mit Repräsentationen von Funktionen und seine empirische Überprüfung

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