Wittmann, Erich C.

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

Erich Ch. WITTMANN, Dortmund Strukturgenetische didaktische Analysen – die empirische Forschung erster Art Heinrich Winter in Freundschaft gewidmet  In einer Stellungnahme zu einer Kritik des Autors an den VERA-Tests ha-ben Kristina Reiss u.a. festgestellt: "Herr Wittmann vertritt eine Richtung, von der sich weite Teile der deutschen Mathematikdidaktik verabschiedet haben." In dieser Aussage wird eine Überlegenheit der „empirischen Wen-de“ der Mathematikdidaktik postuliert, für die es nach Auffassung des Au-tors keinen sachlichen Grund gibt: Anknüpfend an die „Stoffdidaktik“ hat sich in den letzten Jahrzehnten eine „Mathematikdidaktik vom Fach aus“ entwickelt, von der die Unterrichtsentwicklung und die Lehrerbildung wei-terhin getragen werden. Das Projekt „mathe 2000“ ist hierfür ein Beispiel (WITTMANN 2012). Diese „Mathematikdidaktik vom Fach aus“ ist kei-neswegs eine „Didaktik am grünen Tisch“, wie von der traditionellen Stoffdidaktik mit einem gewissen Recht behauptet werden konnte, sondern ist auf eigene Weise empirisch untermauert. Dies soll im vorliegenden Bei-trag gezeigt werden: In den drei ersten Abschnitten wird an zentralen The-men der Grundschuldidaktik die Leistungsfähigkeit der heute vorherr-schenden, auf importierten Theorien und Methoden beruhenden Richtung mit der Leistungsfähigkeit der mathematisch fundierten Richtung der Ma-thematikdidaktik verglichen. Im vierten Abschnitt wird die strukturgeneti-sche didaktische Analyse beschrieben, die sich als Forschungsmethode der mathematisch fundierten Mathematikdidaktik herausgebildet hat. 1. Einführung der Multiplikation In der angelsächsischen Didaktik ist das Erlernen des Einmaleins Malreihe für Malreihe tief verankert. Die Multiplikation wird dort sogar als „repea-ted addition“ definiert. In den letzten Jahren hat in England und den USA eine intensive Diskussion darüber stattgefunden, was die Multiplikation wirklich ist. In diesen Kontext gehört die empirische Untersuchung von PARK & NUNES (2001), in der zwei Hypothesen der Begriffsbildung bei der Multiplikation verglichen wurden: die Begründung der Multiplikation als „repeated addition“ bzw. als „schema of correspondences“. Als Ergeb-nis wird festgestellt, dass auf „repeated addition“ nur als Rechenverfahren, nicht als Grundlage der Multiplikation zurückgegriffen werden sollte. Aus der Sicht der Mathematikdidaktik vom Fach aus stellt sich die Situati-on wie folgt dar: In seiner operativen Rechendidaktik definierte Arnold Fricke die Multiplikation zwar als verkürzte Addition. Die Berechnung der Einmaleinsergebnisse erfolgte aber nicht als „repeated addition“, sondern mit Hilfe der Rechengesetze ausgehend von den leichten Kernaufgaben (FRICKE 1970). Bei seiner Forderung nach „algebraischer Durchdringung der Arithmetik“ hat Heinrich Winter den Vorschlag gemacht, die Multipli-kation auf rechteckige Punktfelder zu gründen (WINTER 1984). Dies führ-te zu einem weiteren signifikanten Fortschritt, da sich mit Punktfeldern alle Rechengesetze der Multiplikation operativ begründen lassen. Folgerung aus dem Vergleich: Was die Multiplikation ist und wie sie im Unterricht behandelt werden soll, kann nicht mit den empirischen Metho-den der Psychologie entschieden werden, sondern nur vom Fach aus. 2. Die Hundertertafel Die Hundertertafel ist ein seit Jahrhunderten bewährtes Darstellungsmittel der Zahlen von 1 bis 100. Daher ist es überraschend, dass sie und Unter-richtswerke, in denen sie verwendet wird, in jüngster Zeit kritisiert werden. Die Kritik geht von den angeblich durch die Kognitionspsychologie und Hirnforschung empirisch belegten Behauptungen aus, die Zahlen seien im Gehirn als Längen repräsentiert, der kardinale Aspekt sei neben dem ordi-nalen Aspekt zu vernachlässigen und Addition und Subtraktion seien mit dem Vor- und Zurückrücken auf der Zahlenreihe zu identifizieren (LO-RENZ 2005). Es ist offenkundig, dass die Hundertertafel nicht in dieses Konzept passt. Dies spricht aber keineswegs gegen dieses Darstellungsmit-tel. In WITTMANN & MÜLLER 2012 (S. 20 - 21) wird die Hundertertafel in Verbindung mit dem Hunderterfeld in mathematisch wohl begründeter Weise benutzt um das Stellenwertprinzip zu untermauern und die Oehlsche Balken- /Punktdarstellung für Zehner und Einer herzuleiten, die für die „al-gebraische“ Begründung der Addition und Subtraktion tragend ist. Im Tau-senderraum dienen Tausenderbuch und Tausenderfeld analog dazu, um den Hunderter als weitere Zahleneinheit darzustellen und zu Zehnern und Ei-nern in Beziehung zu setzen. Die Hundertertafel und das Tausenderbuch sind darüber hinaus auch optimal geeignet um die Menge der Zahlen von 1 bis 100 bzw. von 1 bis 1000 übersichtlich darzustellen und um zahlentheo-retisch wichtige Beziehungen zwischen Zahlen zu verdeutlichen.  Folgerungen aus dem Vergleich: Ob die Hundertertafel in einem didakti-schen Konzept sinnvoll ist oder nicht, kann nur unter Berücksichtigung der Struktur des Faches entschieden werden. Die Reduktion des Zahlbegriffs auf den ordinalen Aspekt steht im eklatanten Widerspruch zur mathemati-schen Praxis und stellt didaktische Konzepte, die darauf setzen, in Frage. 3. Design einer Lernumgebung zur produktiven Übung der Addition Bei den beiden ersten Beispielen ging es nur um begriffliche Bausteine für das Lehren und Lernen bestimmter Themen. Das dritte Beispiel führt mit-ten in den Kernbereich der Didaktik. Der natürliche Weg um Lernende zum Erwerb mathematischen Wissens und mathematischer Fähigkeiten anzulei-ten besteht darin, ihnen substanzielle Lernumgebungen anzubieten, in de-nen sie mathematisch aktiv werden können. Das Üben spielt dabei eine Schlüsselrolle. Heinrich Winter ist das Konzept des „produktiven Übens“ zu verdanken, das die gleichzeitige Förderung inhaltlicher und allgemeiner Lernziele („Kompetenzen“) beinhaltet (WINTER 1984).  Bei der Neubearbeitung eines Unterrichtswerks stellte sich die Aufgabe eine substanzielle Lernumgebung zur produktiven Übung der schriftlichen Addition zu konstruieren. Es ist a priori klar, dass dabei importierte Theo-rien und Methoden völlig versagen. Man kommt nur zu einer Lösung, wenn man sich an das Fach hält. Für die Entwicklung der Lernumgebung (s. WITTMANN & MÜLLER 2012, S. 85, 120-121) musste die Elemen-tarmathematik nach Mustern durchforstet werden, die bei der schriftlichen Addition auftreten. Dann war zu prüfen, ob die Voraussetzungen der Kin-der am Ende des 3. Schuljahrs ausreichen um die intendierte Aufgabenstel-lung zu verstehen, die angeregten Operationen auszuführen, die zu be-obachtenden Muster zu erkennen, zu beschreiben und mit Hilfe der Lehr-person anhand vertrauter Arbeitsmittel zu begründen. Schließlich war die Lernumgebung auch noch curricular einzuordnen.  4. Die strukturgenetische didaktische Analyse  Die bei den Beispielen angewandte Forschungsmethode ist eine Weiter-entwicklung der Stoffdidaktik. Da sie sich anders als die traditionelle Stoffdidaktik nicht auf die logische Analyse des Stoffes beschränkt, son-dern ausdrücklich auch Prozesse einbezieht, möchte ich sie als strukturge-netische didaktische Analyse bezeichnen. Die Beispiele zeigen, dass sich diese Methode an Fakten hält: an die mathematische Praxis bei der Erfor-schung, Beschreibung und Begründung von Mustern, an die Lernvoraus-setzungen der Kinder, an die Zielsetzungen des Unterrichts und an das Cur-riculum. Das alles ist empirisches Material. Daher ist die strukturgeneti-sche Analyse eine empirische Methode. Sie darf wegen ihrer Ursprünglich-keit mit Recht als empirische Forschung „erster Art“ bezeichnet werden. Zu behaupten, nur die üblichen empirischen Forschungen, die ich als empi-rische  Forschungen „zweiter Art“ bezeichne, würden „empirisch abgesi-cherte Modelle“ für das Lehren und Lernen liefern, zeugt von Unkenntnis der wahren Verhältnisse. Strukturgenetische didaktische Analysen sind aus folgenden Gründen für die Mathematikdidaktik von primärer Bedeutung und daher unverzichtbar: ─ Sie gründen auf der mathematischen Praxis der jeweiligen Stufe.  ─ Sie fördern ein aktives Verhältnis zum lebendigen Fach.  ─ Sie sind konstruktiv.  ─ Sie sind für das Unterrichten handlungsleitend, da sie die im Fach „eingefrorenen didaktischen Momente“ (HEINTEL 1978), d.h. die im wohlverstandenen Fach enthaltene natürliche Theorie des Lehrens und Lernens, zur Geltung bringen. ─ Ihre Ergebnisse sind in der Lehrerbildung im Gegensatz zu vielen Er-gebnissen der „Forschungsdidaktik“ in verständlicher Weise kommu-nizierbar. Die Rückmeldungen aus der Praxis sprechen hier eine deut-liche Sprache. Als Musterbeispiele strukturgenetischer didaktischer Analysen sind WHEELER 1963, FREUDENTHAL 1983  und das Gesamtwerk von Hein-rich Winter, insbesondere WINTER 1987, zu nennen. An ihnen muss sich die Mathematikdidaktik orientieren um nicht weiter in ein von der Praxis entferntes selbstreferentielles System zu degenerieren. Literatur Freudenthal, H. (1983): Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dord-recht: Reidel Fricke, A. (1968): Operative Lernprinzipien. In: Fricke, A. & Besuden, H. (1970): Ma-thematik. Elemente einer Didaktik und Methodik. Stuttgart: Klett, 79 - 116  Heintel, P. (1978): Modellbildung in der Fachdidaktik. Klagenfurt: Carinthia Lorenz, J.H. (2009):  Grundlagen der Förderung und Therapie. In: von Aster, M. & Lo-renz. J.H. (Hg.): Rechenstörungen bei Kindern. Göttingen: Vandenhoeck&Ruprecht, 165 - 177  Park, J.H., Nunes, T. (2001): The Development of  the Concept of Multiplication. Cog-nitive Development 16, 763 – 773 Wheeler, D. (ed.) (1967): Notes on Primary Mathematics. London: CUP (deutsch: Modelle für den Mathematikunterricht der Grundschule. Stuttgart: Klett 1970) Winter, H. (1984): Begriff und Bedeutung des Übens. mathematik lehren H.2, 4 – 11 Winter, H. (1987): Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Wiesbaden: Vieweg Wittmann, E.Ch. (2012): Das Projekt „mathe 2000“: Wissenschaft für die Praxis – eine Bilanz aus 25 Jahren didaktischer Entwicklungsforschung. In: Müller, G.N., Selter, Ch. & Wittmann, E.Ch. (Hg.): Zahlen, Muster und Strukturen. Spielräume für akti-ves Lernen und Üben. Stuttgart: Klett, 263 – 279 Wittmann, E.Ch. & Müller, G.N. (2012): Das Zahlenbuch, Band 2. Stuttgart: Klett Wittmann, E.Ch. & Müller, G.N. (2013): Das Zahlenbuch, Band 3. Stuttgart: Klett 

Strukturgenetische didaktische Analysen

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