Horn, Martin Erik

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

Martin Erik HORN, Frankfurt/Main Mathematische und didaktische Modellierung fünfdimensio-naler Räume am Beispiel der Kosmologischen Relativität Die Geometrisierung unserer Welt ist eines der entscheidenden konzeptio-nellen Prinzipien, die die moderne Physik nutzt, um unsere Welt beschreib-bar und damit auf abstrakter Ebene fassbar zu machen. Zu diesem Zwecke muss „die Geometrie dadurch ihres nur logisch-formalen Charakters ent-kleidet werden, dass den leeren Begriffsschemen der axiomatischen Geo-metrie erlebbare Gegenstände der Wirklichkeit (Erlebnisse) zugeordnet werden. [...] Die so ergänzte Geometrie ist offenbar eine Naturwissen-schaft; wir können sie geradezu als den ältesten Zweig der Physik betrach-ten.“ (Einstein 1921, S. 5/6). Damit wirkt die Physik sehr effektiv der im 19. Jahrhundert einsetzenden „Entgeometrisierung“ (Scriba & Schreiber 2010, S. 406) entgegen. 1.  Geometrisierung und Algebraisierung Historisch ist diese „Entgeometrisierung“ der Geometrie eng mit der „Al-gebraisierung der Theorie der geometrischen Konstruktionen“ (Scriba & Schreiber 2010, S. 404 ff) verknüpft. Damit rückt das didaktische Problem in den Vordergrund, wie eine Geometrisierung auf Kosten der Algebraisie-rung und gleichzeitig eine Algebraisierung auf Kosten der Geometrisierung verhindert werden kann. Ziel der Vermittlung von Algebra und Geometrie sollte sein, diese im sich fördernden Wechselspiel und sich nicht gegensei-tig kannibalisierend zu vermitteln. Der amerikanische Physikdidaktiker David Hestenes schlägt deshalb vor, Geometrie und Algebra  auf der Grundlage der konzeptionellen Ideen Graßmanns und Cliffords konstruktiv zu verknüpfen. Ein zentraler Aspekt dieses Ansatzes „to redesign mathematics“ (Hestenes 2003a, S. 119) stellt die Forderung dar, geometrische Objekte algebraisch direkt verknüpfen zu können, wobei Operationen und Operanten durch gleichartige Objekte dar-gestellt werden. Diese „Geometrische Algebra“ wird im Fall des dreidi-mensionalen Raums algebraisch durch Pauli-Matrizen aufgespannt (Heste-nes 2003a), (Doran & Lasenby 2003), die geometrisch gleichwertig als Ba-sis-Vektoren und Basis-Reflexionen (Horn 2011a, b) interpretiert werden. 2.  Modellierung vierdimensionaler Räume Im Kontext der vierdimensionalen Raumzeit existieren die Einsteinschen „erlebbaren Gegenstände der Wirklichkeit“ an – im Rahmen der Messge-nauigkeit – jeweils exakt messbaren Orts- und Zeitpunkten. Raumzeitliche Vektoren werden in der Geometrischen Algebra durch Linearkombinatio-nen von Dirac-Matrizen (Hestenes 2003a), (Doran & Lasenby 2003) gege-ben, so dass auch hier eine Zuordnung von leeren Begriffschemata (Dirac-Matrizen) zu erlebbaren Gegenständen der Wirklichkeit stattfindet. Die Di-rac-Matrizen werden wieder geometrisch gleichwertig sowohl als Basis-Vektoren wie auch als Basis-Reflexionen (Horn 2011a, b) interpretiert. Die Geometrisierung unserer vierdimensionalen Welt manifestiert sich in der relativistischen Weltbeschreibung durch eine räumliche Umdeutung von Zeitdauern. Der Zeitdauer von 1 ns entspricht dabei in etwa der Länge eines Lineals (30 cm), da Zeitdauern aufgrund der universell als gültig an-genommenen Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c eindeutig den von Licht zurückgelegten Strecken und damit räumlichen Längen zugeordnet werden können. Die Zeit- oder Raumartigkeit einer solchen Länge drückt sich dann durch die jeweilige Signatur der entsprechenden Linearkombination der Basis-Vektoren mit γt2 = – γx2 = – γy2 = – γz2 = 1 aus. 3.  Das Modell bietet zu viel Platz Zur vollständigen Beschreibung aller geometrischen Objekte der vierdi-mensionalen Raumzeit sind die folgenden Basis-Objekte notwendig: ─ ein Skalar als dimensionsloses Objekt, ─ vier Basis-Vektoren in x-, y-, z- und (ct)-Richtung, ─ sechs Basis-Bivektoren in Richtung der rein räumlichen xy-, yz- und zx-Ebenen und der raumzeitlichen x(ct), y(ct)- und z(ct)-Ebenen, ─ vier Basis-Trivektoren für die dreidimensionale, rein räumliche xyz- Hyperebene und die raumzeitlichen xy(ct)-, yz(ct)- und zx(ct)-Hyper-ebenen, ─ ein Basis-Quadrovektor für das vierdimensionale Volumen xyz(ct). Das ergibt insgesamt 24 = 16 Basis-Objekte. Dirac-Matrizen sind jedoch komplexe (4x4)-Matrizen. Da jede Matrizenpo-sition mit einem reellen oder aber einem imaginären Wert belegt werden kann, existieren insgesamt 25 = 32 mögliche linear unabhängige (4x4)-Ma-trizen. Damit lassen sich fünfdimensionale Räume, die aus einem Skalar, 5 Basis-Vektoren, 10 Basis-Bivektoren, 10 Basis-Trivektoren (bzw. Pseudo-Bivektoren), 5 Basis-Quadrovektoren (bzw. Pseudo-Vektoren) und einem Basis-Pentavektor (bzw. Pseudoskalar) aufgespannt werden, beschreiben. Die Algebra der Dirac-Matrizen ist somit geeignet, ohne konzeptionelle Probleme fünfdimensionale Räume bzw. Raumzeiten konsistent zu model-lieren. Damit bietet sich die Möglichkeit, den Übergang von der vierdimen-sionalen Erfahrungswelt zu einer abstrakt fünfdimensionalen Welt didak-tisch einfach zu bewerkstelligen. Ein solcher Brückenschlag zu höherdi-mensionalen Räumen ist insbesondere für die Vermittlung moderner Kon-zepte in der Physik wichtig, da diese Konzepte oft auf Raumzeiten höherer Dimensionen zurückgreifen. 4.  Von Einstein zu Carmeli Ein Prototyp für eine Weltbeschreibung, die aufgrund des Einbezugs einer weiteren Dimension eine geometrische Vereinheitlichung und damit eine konzeptionelle Zusammenführung zweier zuvor getrennter Konzepte schuf, stellt die Spezielle Relativitätstheorie Einsteins und der darauf aufbauenden Arbeiten Minkowskis dar. Der physikalische Kern dieser Theorie basiert auf der Beobachtung, dass die Geschwindigkeit von Licht in jedem Inertial-system gleich groß ist und diese Geschwindigkeit von materiellen Objekten nicht erreicht werden kann. Im Minkowski-Diagramm stellen die Weltli-nien von Licht (siehe Abb. 1 links) somit ausgezeichnete Geraden dar.   Abbildung 1: Strukturell ähnliches Verhalten von Licht (links) und von Galaxien (rechts) in unserer Welt.  Es ist erstaunlich, dass die Weltlinien von Galaxien ebenfalls strukturell ausgezeichnete Weltlinien darzustellen scheinen. Diese von Hubble erst-mals beobachtete Beziehung (siehe Abb. 1 rechts) interpretiert Carmeli als ein Anzeichen für eine geometrisch fünfdimensionale Welt. Die Rolle, die die Lichtgeschwindigkeit im Kontext der Speziellen Relativitätstheorie ein-nimmt, nimmt im Rahmen der von Carmeli als „Kosmologische Relativi-tät“ (Carmeli 2002) bezeichneten Hypothese das Alter des Universums τ ein: Es existiert kein Objekt in unserer Welt, das älter als die Hubble-Zeit (bzw. „big bang time“) τ = 1/H0 ≈ 12,5 Mrd. Jahre (Carmeli 2006, S. 100) ist. Der relativistische Standpunkt, dass kein Ort gegenüber anderen Orten in unserem Universum ausgezeichnet ist, führt dann zu der Schlussfolge-rung, dass eine fünfte Koordinate, die als Geschwindigkeit zu interpretieren ist, der geometrischen Struktur unserer Welt zugrunde liegt. 5.  Didaktische Zugänglichkeit weiterer Dimensionen Obgleich Carmeli eindrucksvoll zeigt, dass mit Hilfe seiner Kosmologi-schen Relativität die kosmische Inflation, die dunkle Materie im Rahmen der Tully-Fisher-Formel sowie die Pioneer-Anomalie erklärt werden könn-ten (Carmeli 2002 & 2006), ist sehr zweifelhaft, ob dieser Ansatz letztend-lich physikalisch tragfähig ist, da die konventionelle Erklärung der Hubble-schen Rotverschiebung als Expansion des Universums konzeptionell eben-falls überzeugt. Dennoch hat die Theorie Carmelis einen hohen didaktischen Wert: sie kann als Brücke zu höherdimensionalen Theorien dienen, ohne dass gleichzeitig die Frage nach einer Kompaktifizierung zusätzlicher Dimensionen disku-tiert werden muss. Dies hat den Vorteil, dass die zusätzliche Dimension der Geschwindigkeit im Kontext der Geometrischen Algebra in gänzlich natür-licher Weise eingefügt und der geschwindigkeitsartige Basis-Vektor als fünfte, zu den vier bereits gegebenen Dirac-Matrizen linear unabhängige, zusätzliche (4x4)-Matrix interpretiert werden kann. Literatur Carmeli, M. (2002): Cosmological Special Relativity. The Large-Scale Structure of Space, Time and Velocity. Zweite Auflage, Singapore: World Scientific. Carmeli, M. (2006): Cosmological Relativity. The Special and General Theories for the Structure of the Universe. Singapore: World Scientific. Doran, Ch. & Lasenby, A. (2003): Geometric Algebra for Physicists. Cambridge: CUP. Einstein, A. (1921): Geometrie und Erfahrung. Erweiterte Fassung des Festvortrags an der Preußischen Akademie der Wissenschaften vom 21. Jan. 1921. Berlin: Springer. Hestenes, D. (2003a): Reforming the Mathematical Language of Physics. Oersted Me-dal Lecture. In: American Journal of Physics, Vol. 71, No. 2, S. 104 - 121. Hestenes, D. (2003b): Spacetime Physics with Geometric Algebra. In. American Jour-nal of Physics, Vol. 71, No. 7, S. 691 - 714. Horn, M. E. (2011a): Grassmann, Pauli, Dirac – Special Relativity in the Schoolroom. In: H.-J. Petsche, A. C. Lewis, J. Liesen, S. Russ (Hrsg.): From Past to Future – Graßmann’s Work in Context. Basel, Berlin: Birkhäuser, S. 435 – 450. Horn, M. E. (2011b): Die fünfdimensionale Welt der Kosmologischen Relativität. In: D. Höttecke (Hrsg.): Beiträge zur Jahrestagung der GDCP in Potsdam, Band 31. Berlin: LIT-Verlag Dr. W. Hopf, S. 158 – 160. Scriba, C. J. & Schreiber, P. (2010): 5000 Jahre Geometrie. Erschienen in der Reihe: H.-W. Alten, A. Djafari Naini, H. Wesemüller-Knock: Vom Zählstein zum Compu-ter. Dritte Auflage, Berlin, Heidelberg: Springer. 

Mathematische und didaktische Modellierung fünfdimensionaler Räume am Beispiel der Kosmologischen Relativität

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/32158/1/098.pdf

Mathematische und didaktische Modellierung fünfdimensionaler Räume am Beispiel der Kosmologischen Relativität

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Eldorado - Repository of the TU Dortmund