Hoffkamp, Andrea

Eldorado - Ressourcen aus und für Lehre, Studium und Forschung

Andrea HOFFKAMP, Berlin 
Dynamisierter Repräsentationstransfer und Metavariation – 
Ein Ansatz zur Förderung funktionalen Denkens durch Com-
putereinsatz 
Funktionales Denken – Begriff und Aspekte 
In der Meraner Reform (1905) wurde die "Erziehung zum funktionalen 
Denken" als Sonderaufgabe gefordert. Gemeint war ein gebietsübergrei-
fendes Denken in Variationen und funktionalen Abhängigkeiten (Krüger). 
Vollrath definiert funktionales Denken als "eine Denkweise, die typisch für 
den Umgang mit Funktionen ist". Die Komplexität funktionalen Denkens 
ist einerseits bedingt durch die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten 
funktionaler Abhängigkeiten (Text, Graph, Formel, Tabelle usw.) und an-
dererseits durch verschiedene Sichtweisen: Zuordungsaspekt (punktweise 
Sicht), Kovariationsaspekt (dynamische Sicht), Objektaspekt (Funktion als 
Ganzes). Insbesondere die dynamische Komponente funktionalen Denkens 
bereitet Schwierigkeiten (Malle). Das äußert sich beispielsweise darin, dass 
Funktionsgraphen als fotographische Bilder von Realsituationen interpre-
tiert werden (Graph-als-Bild-Fehler). Insbesondere Weg-Zeit-Graphen 
werden oft als Bewegung in der Ebene gesehen (Janvier, Hoffkamp). Dem 
hier beschriebenen Ansatz liegt die Frage zugrunde, wie der Umgang mit 
Funktionen auf das funktionale Denken zurückwirkt. 
Curricularer Standort 
Vollrath schreibt: "Funktionales Denken beginnt bei intuitiven Vorstellun-
gen über funktionale Zusammenhänge wie 'Wenn man die eine Größe än-
dert, dann ändert sich die andere' oder 'Je mehr..., desto mehr', und es ist 
voll entwickelt bei Denkweisen der Analysis". Die Realität ist aber ein kal-
külorientierter Analysisunterricht mit wenig inhaltlichen Vorstellungen. 
Deswegen plädieren Hahn/Prediger für eine stärkere Gewichtung der quali-
tativen Anfänge der Analysis – eine Forderung die im Übrigen schon 100 
Jahre alt ist (Krüger). Die Lernumgebungen verstehen sich als ein Beitrag 
zu einer qualitativen Annäherung an die Analysis bzw. als Beitrag zur Ana-
lysis-Propädeutik. 
Interaktive Lernumgebungen und Gestaltungsleitlinen 
Insgesamt wurden drei interaktive Lernumgebungen auf Basis der dynami-
schen Geometrie Software Cinderella (Kortenkamp/Richter-Gebert) entwi-
ckelt. Die Lernumgebungen sind gemeinsam mit Unterrichtsmaterialien 
unter www.math.tu-berlin.de/~hoffkamp verfügbar. Zwei der Lernumge-
bungen wurden im Rahmen von Voruntersuchungen in Klasse 10 getestet 
(Hoffkamp). Die Voruntersuchungen dienten der Überarbeitung der Lern-
umgebungen und deren Einsortierung in einen curricularen und lerntheore-
tischen Rahmen. Allen Lernumgebungen liegen die folgenden Gestaltungs-
leitlinien zugrunde. 
Verknüpfung Situation-Graph: Anknüpfend an inhaltlichen Vorstellungen 
ist der Ausgangspunkt jeweils ein funktionaler Zusammenhang innerhalb 
einer Situation und deren dynamische Verknüpfung mit der Darstellungs-
form Graph (Abb.1).  
          
Abb.1: "Einbeschriebene Rechtecke" (links): Bewegung von P auf BC und Auswirkung 
auf den Punkt im Flächeninhaltsgraphen. "Die Reise" (rechts): Bewegung des Punktes 
im Weg-Zeit-Graph bewirkt Positionsänderung des Autos (Quelle: Google Maps). 
Die graphische Darstellung wurde gewählt, weil sie sich besonders auf die 
dynamische Komponente funktionalen Denkens bezieht. Außerdem enthält 
sie die gesamte Information über die Funktion "auf einen Blick", was in-
sbesondere im Hinblick auf kognitive Verarbeitungsprozesse von Bedeu-
tung ist. Ein Schwerpunkt der graphischen Darstellung sind lokale und glo-
bale Eigenschaften der Funktion. 
Sprache als Vermittler: Die Schüler verbalisieren ihre Beobachtungen im 
Gespräch und auf einem begleitenden Arbeitsbogen. Sprache dient einer-
seits als Vermittler zwischen den Darstellungen und den mentalen Model-
len der Schüler (Janvier) und andererseits als Anstoß für kognitive Prozesse 
und kooperative Lernprozesse. 
Zwei Variationsstufen: 
(Ko-)Variation innerhalb der Situation (1. Stufe): Auf dieser Stufe wird der 
dynamische Aspekt der funktionalen Abhängigkeit visualisiert (Abb.1). 
Damit sollen mentale Simulationsprozesse visuell unterstützt werden (s. 
Vogel '06 zu Untersuchungen zur Wirksamkeit von Supplantation). Insbe-
sondere geht es um die Entdeckung und Beschreibung globaler und lokaler 
Eigenschaften der dargestellten funktionalen Abhängigkeiten mit Blick auf 
Dynamik und Änderungsverhalten und zwar im Repräsentationstransfer 
zwischen Situation und Graph. 
Metavariation und Objektaspekt (2. Stufe): Auf dieser Variationsstufe kann 
die Situation verändert und die Auswirkungen auf die Funktion untersucht 
werden. Metavariation meint Variation innerhalb der Metafunktion – damit 
sei die Funktion bezeichnet, die der Situation den Graphen zuordnet. Der 
Graph bzw. die Funktion, die dem Graphen zugrunde liegt, ist ein Bild un-
ter der Metafunktion und damit ein Objekt (Abb.2). Objektaspekt und Ko-
variationsaspekt hängen eng zusammen. Will man globale (Objekt-) Eigen-
schaften wie "Monotonie" oder "Symmetrie zur y-Achse" beschreiben, so 
benutzt man die "Sprache der Kovariation", nämlich "Ist x≥y, so ist 
f(x)≥f(y) für alle x,y" oder "Für alle x ist f(x)=f(-x)". Metavariation ermög-
licht die Loslösung von konkreten Werten und legt damit den Schwerpunkt 
auf qualitative Betrachtungen. Der Objektaspekt wird nutzbar gemacht, oh-
ne dass er in das mentale Konzept von Funktion integriert sein muss. 
     
Abb.2: Metavariation in "Die Reise". Die Höhe und Breite der Balken im Geschwindig-
keit-Zeit-Graphen können verändert werden. Metafunktion ist der Differentialoperator 
bzw. der Integraloperator. 
Kontiguität: Um eine möglichst integrierte Darstellung zu erhalten, wurde 
auf räumliche und zeitliche Nähe von sich aufeinander beziehenden Dar-
stellungsformen geachtet, sowie das Prinzip verfolgt, dass Bewegung ge-
nau dort geschieht, wo mit der Maus agiert wird. 
Geringer technischer Overhead und Praktikabilität: Die Lernumgebungen 
sind ohne Einarbeitungszeit oder Spezialwissen über die Software nutzbar 
Zur Benutzung genügt ein Standardinternetbrowser. Sie sind im Hinblick 
auf Nutzbarkeit im Unterrichtsalltag entwickelt. 
Lerntheoretischer Hintergrund 
Lerntheoretisch liegt der Conceptual-Chance-Ansatz (Vosniadou) zugrun-
de. Im Lichte dieses Ansatzes ist beispielsweise der Graph-als-Bild-Fehler 
eine Aktivierung einer nicht-situationsadäquaten Vorstellung. Es geht dabei 
nicht um die Ablösung vorunterrichtlicher Vorstellungen, sondern um Vor-
stellungsentwicklung, mit dem Ziel der Verschiebung der Aktivierungskon-
texte (Hahn/Prediger). 
Forschungsfragen und Ausblick 
Mit den Lernumgebungen soll im Rahmen einer qualitativen Studie u.a. 
folgenden Forschungsfragen nachgegangen werden: 
Werden durch die Arbeit mit den Lernumgebungen Grundvorstellungen im 
Hinblick auf die dynamische Komponente funktionalen Denkens aufgebaut 
(Vorstellungsentwicklung)? Werden diese Vorstellungen in das mentale 
Konzept von Funktion integriert und insbesondere bei der Interpretation 
von bzw. Modellierung durch Funktionsgraphen aktiviert, indem lokale 
und globale Eigenschaften qualitativ beschrieben und erfasst werden kön-
nen (Verschiebung der Aktivierungskontexte)? Wie wirkt sich die Arbeit 
mit den Lernumgebungen auf lernschwächere Schüler im Vergleich zu 
stärkeren Schülern aus? 
Literatur 
Hahn, S., Prediger, S. (2008). Bestand und Änderung – Ein Beitrag zu Didaktischen 
Rekonstruktion der Analysis. JMD, 29(3/4), 163-198. 
Hoffkamp, A. (2007). Funktionales Denken fördern durch den Einsatz von Dynami-
scher Geometrie Software. Aufgaben mit Technologieeinsatz, Bericht über die 25. Ar-
beitstagung des AK 'Mathematikunterricht und Informatik' in der GDM in Soest. 
Franzbecker. 
Hoffkamp, A. (2009). Enhancing functional thinking using the computer for representa-
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Janvier, C. (1978). The interpretation of complex cartesian graphs representing situa-
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Kortenkamp, U., Richter-Gebert, J. (2006). The Interactive Geometry Software Cinde-
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Krüger, K. (2000). Kinematisch-funktionales Denken als Ziel des höheren Mathematik-
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Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Vieweg. 
Vogel, M. (2006). Mathematisieren funktionaler Zusammenhänge mit multimediaba-
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Vollrath, H.J. (1989). Funktionales Denken. JMD, 10(1), 3-37. 
Vosniadou, S, Vamvakoussi, X. (2006). Examining Mathematics Learning from a Con-
ceptual Change Point of View: Implications for the Design of Learning Environments. 
In: L. Verschaffel et al. (Eds.), Instructional Psychology: Past, present, and future 
trends – Sixteen essays in honour of Erik De Conte. Advances in Learning and In-
struction Series. Elsevier. 


Dynamisierter Repräsentationstransfer und Metavariation

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/31458/1/157.pdf

Dynamisierter Repräsentationstransfer und Metavariation

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