Klassenarbeiten können als Spiegel der unterrichtlichen Aufgabenkultur gelten, insofern sie zeigen, was im Unterricht wirklich wichtig ist. Am Beispiel von Klassenarbeiten neunter und zehnter Klassen werden stoffgebiets- und schulformbezogen Untersuchungsergebnisse zur vielfach beklagten Kalkülorientierung vorgestellt, um so Hinweise auf die Fragen zu erhalten, ob Kalküle tatsächlich genügen, um eine Klassenarbeit zu "schaffen", und welche Rolle weitere mathematische Tätigkeiten spielen

Drüke-Noe, Christina

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Christina DRÜKE-NOE, Kassel  Wer Kalküle kann, schafft eine Klassenarbeit. Stimmt das? Nach einem kurzen Literaturüberblick über das Thema Kalküle wird darge-legt, wie diese hier mithilfe der mathematischen Tätigkeit Technisches Ar-beiten untersucht werden. Anschließend wird die Rolle von Kalkülen an-hand der Klassenarbeitsaufgaben aus dem COACTIV-Projekt untersucht.   1. Kalküle – Ein kurzer Literaturüberblick Das Thema Kalküle wird in der Literatur vorwiegend aus zwei Perspekti-ven diskutiert. Eine erste ist eine kognitionstheoretische Perspektive. So leistet u. a. die Anzahl erforderlicher Zwischenrechnungen einen Beitrag zur Erklärung von Aufgabenschwierigkeiten (vgl. Neubrand et al., 2002); zudem steigt die kognitive Komplexität von Aufgaben mit einer zuneh-menden Anzahl von Denkvorgängen, zu denen auch das Umgehen mit Kalkülen gehört (vgl. Sjuts, 2003). Wichtiger noch ist die zweite Perspekti-ve, nämlich jene vielfach zu lesende Behauptung, Aufgaben im Mathema-tikunterricht seien kalkülgeprägt. Dies stellen u. a. Bromme et al. (1990) sowie Henn & Kaiser (2001) fest, aber auch Schupp (2002), der schreibt, besonders in der Algebra sei die Aufgabenkultur „logisch-kalkülhaft“. Ein empirischer Beleg findet sich bei Kunter & Baumert (2011), die die im COACTIV-Projekt  untersuchten Unterrichtsaufgaben als „kognitiv eher anregungsarm“ bezeichnen. Auch von Klassenarbeitsaufgaben stellen viele fest, diese seien kalkülorientiert. So beklagt etwa Althoff (2001) den be-sonders hohen Anteil formaler Berechnungsaufgaben, Bruder & Weigand (2001) fehlen Anwendungs- und Begründungsaufgaben, Leuders (2004) kritisiert die große Zahl geschlossener Aufgaben, die primär mechanisch lernbare Kenntnisse und Fertigkeiten erfordern.  Es sei hier lediglich angemerkt, dass Kalküle durchaus ihre berechtigte Funktion haben (vgl. Sjuts, 2007; Hefendehl-Hebeker, 2004).  Die meisten Autoren lassen nicht immer genau erkennen, was sie unter Kalkülen verstehen bzw. geben – Kunter & Baumert bilden eine Ausnahme – meist keine empirischen Belege für eine festgestellte Kalkülorientierung. Hier setzt der vorliegende Artikel an. Im Folgenden wird ausgeführt, was unter Kalkülen verstanden und wie deren Vorkommen untersucht wird.  2. Kalküle und die mathematische Tätigkeit Technisches Arbeiten  Im COACTIV-Projekt umfasst der kognitive Blick auf Aufgaben u. a. das Stoffgebiet, die Aufgabenklasse und die vier Tätigkeiten Inner- und Au-ßermathematisches Modellieren, Argumentieren und Gebrauch mathemati-scher Darstellungen (auf je vier Niveaus mit 0: nicht, 1: niedrig, 2: mittel, 3: hoch). Dem Bearbeitungsprozess von Modellierungsaufgaben (in einem weiten Sinne gemeint) liegt in COACTIV ein vierschrittiges Prozesssche-ma zugrunde, wobei der Teilschritt des „Verarbeitens“ vom Modell zum Resultat führt (vgl. auch Jordan et al., 2006). Dabei erfordert dieses „Ver-arbeiten“ bei zahlreichen Aufgaben auch den Umgang mit Kalkülen, wes-halb neben den vier genannten eine weitere Tätigkeit fehlt, die niveaubezo-gen das Umgehen mit Kalkülen beim Aufgabenlösen erfasst.  Zur Analyse des vorstehend benannten Teils des Verarbeitens wurde die mathematische Tätigkeit Technisches Arbeiten gewählt, die ausschließlich das Umgehen mit der technischen Komplexität einer Aufgabe und ihrer zugrundeliegenden Verfahren erfassen und dabei u.a. das Zusammenspiel der verschiedenen Rechenarten und die Anwendung von Vorrangregeln berücksichtigen sollte. Diese neue Kategorie sollte in ihren Ausprägungen weitgehend überschneidungsfrei mit den übrigen Tätigkeiten sein, mit ihren vier Niveaus an jene in COACTIV anschließen, diese Niveaus sollten schulform- und klassenstufenunabhängig erreichbar und auf alle Stoffge-biete sowie alle Aufgabenklassen anwendbar sein. Mit diesen Setzungen wurde das Technische Arbeiten durch Analyse von Aufgabenmerkmalen und ergänzende systematische Aufgabenvariation operationalisiert, was zu nachstehendem Kategorienschema führte. Offenkundig ist, dass erfolgrei-ches Technisches Arbeiten zunächst die Kenntnis und anschließend die be-wusste Auswahl und korrekte Durchführung eines Verfahrens voraussetzt. Kategorie Stoffgebiet Bedeutung der Ausprägungen (Niveaus) Technisches Arbeiten Arithmetik 0= Nicht benötigt; 1= nur Punkt- oder nur Strichrechnen, einfache Potenzen; 2= einfache hierarchische Techniken (Punkt- vor Strich, Potenz vor Punkt), Potenzen multiplizieren/ dividieren, Wurzel aus Zahl; 3= komplexe hierarchische Techniken (Potenz- mit Punkt- und Strichrechnung kombiniert) Algebra 0= Nicht benötigt; 1= mit einer linearen Gleichung rechnen; 2= hierarchische Tech-niken mit mehreren linearen Gleichungen (Punkt- vor Strich), rein-quadrat. Glei-chungen, Summe quadrier./ faktorisieren; 3= komplexe hierarchische Techniken (Potenz- mit Punkt- und Strichrechnung kombiniert), bel. gemischt-quadratische Gleichungen Geometrie 0= Nicht benötigt; 1= nur Punkt- oder nur Strichrechnen, z. B. sin α errechnen; 2= einfache hierarchische Techniken (Potenz vor Punkt),  z. B. Größen mit Strahlensatz errechnen, Winkel mit Sinussatz errechnen; 3= komplexe hierarchische Techniken (Potenz- mit Punkt- und Strichrechnung kombiniert) Stochastik 0= Nicht benötigt, z. B. alle Kombinationen notieren; 1= nur Punktrechnen; 2= zwei-stufig/ mehrstufige hierarchische Techniken (Punkt vor Strich, auch Potenz vor Punkt), Summen aus Produkten, z. B. arithmet. Mittel; 3= komplexe hierarchische Techniken (Potenz- mit Punkt- und Strichrechnung kombiniert), z. B. Bernoulliketten 3. Auswertungen  Die jahrgangs- und schulformbezogenen (gymnasial/ nicht-gymnasial) Auswertungen zum Technischen Arbeiten erfolgen am repräsentativen Da-tensatz der im COACTIV-Projekt in 2003 und 2004 eingesammelten Klas-senarbeitsaufgaben (Klasse 9: 14744 Aufgaben, davon 25 % in Gymnasial-klassen; Klasse 10: 10863 Aufgaben, davon 36 % in Gymnasialklassen).  Die Auswertungen zeigen, dass in allen vier Teilgruppen jenseits des Tech-nischen Arbeitens kaum weitere mathematische Tätigkeiten zur Aufgaben-bearbeitung erforderlich sind (z. B. erfordern in nicht-gymnasialen 9. Klas-sen 66 % der Aufgaben kein Innermathematisches Modellieren und sogar 98 % der Aufgaben kein Argumentieren). Hingegen ist in allen Teilgruppen Technisches Arbeiten nahezu immer erforderlich, weshalb nachfolgend die Niveaus dieser Tätigkeit genauer analysiert werden (vgl. Tabelle):     Jeweils dominierendes Niveau beim Technischen Arbeiten (Anteile in Prozent)    9 Gym 10 Gym 9 Nicht-Gym 10 Nicht-Gym Techn. Auf-gaben N3: 53 % N3: 70 % N2: 39 % (N1: 37 %, N3: 20 %) N3: 54 % (N1: 22 %, N2: 27 %) Rechner. Aufgaben N3: 51 % N3: 61 % N1: 47 % (N3: 35 %) N3: 42 % Begriffl. Aufgaben N3: 37 % N3: 67 % N1: 32 % (N2: 24 %, N3: 28%) N3: 52 % Arithmetik N3: 41 % (N2: 33 %) N3: 64 % (N2: 27 %) N1: 52 % (N2: 31 %) N3: 36 % (N1: 32 %, N2: 30 %) Algebra N3: 60 % N3: 82 % N2: 47 % N3: 70 % Geometrie N1: 44 % (N3: 40 %) N3: 51 % (N2: 27 %) N3: 50 % (N1: 35 %) N3: 43 % (N2: 35 %) Die vorstehende Tabelle zeigt, dass in beiden Schulformen und Klassen (mit Ausnahme der neunten nicht-gymnasialen Klassen) in nahezu allen Stoffgebieten und Aufgabenklassen das höchste Komplexitätsniveau des Technischen Arbeitens dominiert. Ein Vergleich der Schulformen zeigt, dass die Anteile des höchsten Niveaus in den gymnasialen Klassen höher sind als in den nicht-gymnasialen; dies wird besonders im Stoffgebiet Al-gebra deutlich und passt zu Schupps Einschätzung (vgl. Abschnitt 1). Schulformübergreifend ist erkennbar, dass die technische Komplexität von Klasse 9 nach Klasse 10 sogar noch ansteigt, was zumindest in den nicht-gymnasialen Klassen sicherlich mit dem Wegfall der Hauptschulklassen erklärbar ist. Bedenkt man schließlich, dass deutlich mehr als die Hälfte aller Aufgaben ohnehin technische Aufgaben sind (mit Anteilen zwischen 53 % und 64 %, je nach Teilgruppe), wird deutlich, welche hohe Bedeu-tung das Technische Arbeiten, insbesondere auf hohem Niveau, hat. 4. Fazit und Ausblick Die hier gezeigte Relevanz des Technischen Arbeitens bestätigt die in der Literatur beschriebene Kalkülorientierung und bestätigt auch, dass das Be-herrschen von Kalkülen eine nahezu unabdingbare – bisweilen die alleinige – Voraussetzung für die Bearbeitung von Klassenarbeitsaufgaben ist. Es erscheint jedoch wünschenswert, dass dort viel mehr Tätigkeiten als fast ausschließlich Technisches Arbeiten berücksichtigt würden und der Grad an kognitiver Aktivierung, der sich auch in Klassenarbeiten zeigen soll, sich nicht vorwiegend über ein hohes Niveau dieser Tätigkeit definiert.  Literatur Althoff, H. (2001). Prüfungsaufgaben - Analysieren, Interpretieren und Argumentieren mathematik lehren, 107, 47-51. Bromme, R., Seeger, F., Steinbring, H. (1990). Aufgaben, Fehler und Aufgabensysteme. In: Aufgaben als Anforderungen an Lehrer und Schüler (Vol. 14, S. 1-30). Köln: Aulis Verlag Deubner.  Bruder, R., & Weigand, H.-G. (2001). Leistungen bewerten - natürlich! Aber wie? ma-thematik lehren, 107, 4-8. Hefendehl-Hebeker, L. (2004). Perspektiven für einen künftigen Mathematikunterricht. Duisburg: Universität Duisburg-Essen. Henn, H.-W., & Kaiser, G. (2001). Mathematik - Ein polarisierendes Schulfach Zeit-schrift für Erziehungswissenschaft, 4(3), 359-380. Jordan, A., Ross, N., Krauss, S., Baumert, J., Blum, W., Neubrand, M., et al. (2006). Klassifikationsschema für Mathematikaufgaben (1. Auflage). Berlin: Max-Planck-Institut für Bildungsforschung  Kunter, M., & Baumert, J. (2011). Das COACTIV-Forschungsprogramm zur Unterstüt-zung professioneller Kompetenz von Lehrkräften - Zusammenfassung und Dis-kussion. In: M. Kunter, J. Baumert, W. Blum, U. Klusmann, S. Krauss & M. Neubrand (Hrsg.), Professionelle Kompetenz von Lehrkräften - Ergebnisse des Forschungsprogramms COACTIV (S. 345-366). Münster: Waxmann. Leuders, T. (2004). Selbstständiges Lernen und Leistungsbewertung. Der Mathematik-unterricht, 3, 63-79. Neubrand, M., Klieme, E., Lüdtke, O., & Neubrand, J. (2002). Kompetenzstufen und Schwierigkeitsmodelle für den PISA-Test zur mathematischen Grundbildung Unterrichtswissenschaft, 30(1), 100-119. Schupp, H. (2002). Thema mit Variationen oder Aufgabenvariation im Mathematikun-terricht (1. Auflage). Hildesheim, Berlin: Verlag Franzbecker. Sjuts, J. (2003). Formalisierung von Wissen - ein probates Werkzeug zur Bewältigung komplexer Anforderungen. mathematica didactica, 26(2), 73-90. Sjuts, J. (2007). Kompetenzdiagnostik im Lernprozess - auf theoriegeleitete Aufgaben-gestaltung kommt es an. mathematica didactica, 30(2), 33-52. 

Wer Kalküle kann, schafft eine Klassenarbeit.

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