Vergleicht man universitäre Mathematik-Aufgaben aus Anfangsvorlesungen
in reinen Mathematikstudiengängen mit solchen in Ingenieurstudiengängen,
so fällt auf, dass bei letzteren oft längere Terme verwendet werden
und häufiger spezielle Kniffe zur Lösung nötig sind. Dieser Beitrag beschäftigt
sich mit Gründen für dieses Phänomen, didaktischen Problemen,
die sich daraus ergeben können, und möglichen Konsequenzen zum Umgang
damit in der Lehre

Mei, Robert Ivo

RWTH Publications

Rechenkniffe und Monsterterme in der Mathematik für Ingenieure

Publikationsserver der RWTH Aachen University

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

 In F. Caluori, H. Linneweber-Lammerskitten & C. Streit (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2015. Münster: WTM-Verlag 620 Robert Ivo MEI, Aachen Rechenkniffe und Monsterterme in der Mathematik für Ingenieure Vergleicht man universitäre Mathematik-Aufgaben aus Anfangsvorlesun-gen in reinen Mathematikstudiengängen mit solchen in Ingenieurstudien-gängen, so fällt auf, dass bei letzteren oft längere Terme verwendet werden und häufiger spezielle Kniffe zur Lösung nötig sind. Dieser Beitrag be-schäftigt sich mit Gründen für dieses Phänomen, didaktischen Problemen, die sich daraus ergeben können, und möglichen Konsequenzen zum Um-gang damit in der Lehre. 1. Beispiele für Rechenkniffe und Monsterterme Was hier unter „Rechenkniffen“ und „Monstertermen“ verstanden wird, ist am besten an Beispielen zu veranschaulichen. Zunächst für Rechenkniffe: Erweiterungstrick:      Päckchen-Packen:   Der Kniff tritt jeweils gleich bei der ersten Umformung auf und ist für die Lösung praktisch unverzichtbar. Der zweite Grenzwert lässt sich zwar bei-spielsweise auch mit der Regel von L'Hospital finden, dies nimmt jedoch deutlich mehr Zeit in Anspruch und ist fehleranfälliger. In Unterscheidung zu „normalen“ mathematischen Werkzeugen wie dem Gleichnamigmachen von Brüchen lässt sich charakterisieren: Rechenkniffe sind mathematische Werkzeuge, die bei wenigen speziellen Aufgabentypen vorkommen, dort aber für die Lösung praktisch unverzichtbar sind. Ein Beispiel für einen Monsterterm liegt etwa vor, wenn die durch gegebene Menge komplexer Zahlen bestimmt und skizziert werden soll. Charakterisieren kann man Monsterterme dadurch, dass sie länger sind, als es zum Nachweis der ge-prüften Fähigkeit nötig wäre. 621 2. Gründe für diese Ausprägung der Ingenieurmathematik Woher stammt diese Schwierigkeit, die sich u. a. in Kniffen und großen Termen äußert? Historisch ist sicherlich die Akademisierung des Ingeni-eurwesens zum Ende des 19. Jahrhunderts zu nennen (vgl. Kessel et al. 2008, S. 1). Zudem sind Gründlichkeit und Beachtung von Extremfällen ohne Zweifel sinnvolle Fähigkeiten für Ingenieure. Insbesondere große Terme können Übersicht, Kalkülsicherheit etc. prüfen; zudem ergeben sie sich ganz natürlich in Anwendungskontexten. 3. Mögliche didaktische Probleme Bei verstärkter Behandlung von Kniffen und großen Termen können sich aber didaktische Probleme ergeben, was nun anhand einiger Studentenlö-sungen zu einer Klausuraufgabe aus der Ingenieurmathematik demonstriert wird. Die Aufgabe erforderte keine Kniffe, in altem Übungsmaterial waren diese jedoch noch häufig. Dadurch traten Effekte der Behandlung von Re-chenkniffen recht deutlich hervor. Die Klausuraufgabe lautete wie folgt: Die einfachste Lösung benutzt links- und rechtsseitige Grenzwertbildung, Einsetzen und die Regel von L'Hospital. Wie haben es Studenten gelöst? Neben vielen richtigen, einfach gehaltenen Lösungen gab es verbreitete Schwierigkeiten. Dazu vier Beispiele: 1)   2)     3)  622 4)    In den Beispielen 1)–3) fällt ein Hang zur Anwendung von Rechenkniffen auf (Päckchen-Packen, Additionstheoreme, in nicht abgebildeten Beispie-len auch der Mittelwertsatz). In 1) und 2) wurde dadurch die Aufgabe un-nötig erschwert. Durch lange Rechnungen wurde in beiden Fällen Prü-fungszeit verloren. Auffällig ist aber auch, dass hier die grundlegenden Fä-higkeiten in Kalkül und Schulstoff vorhanden sind, und dass durchaus et-was gelernt wurde. So wurde in 1) fehlerfrei umgeformt und der Grenzwert bestimmt, auch scheint das Grenzwertkonzept verstanden zu sein. Bei 3) tritt dagegen ein echter Fehler auf, die Anwendung des Päckchen-Packens wird übergeneralisiert. Bei den Beträgen im letzten Beispiel 4) liegt ver-mutlich eine Verwechslung mit der notwendigen Betragssetzung bei der (ε,δ)-Definition von Funktionsgrenzwerten vor. Insgesamt scheint es in den Beispielen trotz teils weitentwickelter Fähigkeiten an einem Gespür dafür zu mangeln, wann sich welche Lösungsverfahren (besser) eignen. 4. Vermutungen zu den Ursachen der gezeigten Schwierigkeiten Die gezeigten und ähnliche Schwierigkeiten traten zu oft auf, um nur als Einzelfälle gelten zu können. Woher kam in diesen Fällen die Fixierung auf Rechenkniffe? Bei einigen mag dies an verschleppten Mängeln aus der Schulzeit gelegen haben (vgl. auch Kersten 2014). Ich vermute aber auf-grund der meist sicheren Kalkülbeherrschung, dass eine problematische Lernhaltung zur universitären Mathematik eine Rolle gespielt hat (vgl. Rooch et al. 2013, S. 399). Diese Haltung ist charakterisiert durch - verschobene Prioritäten, bei denen auf Rechenkniffe mehr Wert gelegt wird als auf eigenständiges Lösen von (zunächst einfachen) Aufgaben; möglicherweise auch verbunden mit dem Gefühl, dass Aufgaben im Allgemeinen nicht ohne Kniffe zu bewältigen sind, - die Erwartung, durch (Auswendig-)Lernen von Musterlösungen zu Übungsaufgaben ausreichend vorbereitet zu sein, - ein Bild von Mathematik als mit Kniffen zu bezwingendem Gegner – man denke auch an den Begriff des „Kampfrechnens“. Welchen Einfluss hat die Gestaltung der Mathematiklehre auf diese Ein-stellung? Hier kommen die Rechenkniffe und Monsterterme wieder ins Spiel: Bei einer Überbetonung von Aufgaben, die nur mit Kniffen lösbar 623 sind, ist die beschriebene Lernhaltung nicht verwunderlich. Monsterterme in Übungsaufgaben wirken zusätzlich als Katalysator; sie können es durch ihre Länge schwerer machen, sich auf das grundlegende Verständnis von Konzepten zu konzentrieren. 5. Folgerungen für die Lehre  Da die Beispiele von durchaus motivierten und lernfähigen Studenten zu stammen scheinen, ist zu überlegen, wie man diese bei einem effektiveren Lernen unterstützen kann, ohne insgesamt die Anforderungen zu senken. Grundüberlegung ist es nach dem vorigen Abschnitt, Rechenkniffe und Monsterterme nicht zu häufig in Aufgaben einzuflechten. Das betrifft we-niger Vorlesungen selbst (in denen üblicherweise Konzepte grundlegend und mit einfachen Beispielen gelehrt werden), sondern Übungs- und Klau-suraufgaben. Studenten sollten nicht das Gefühl bekommen, dass man diese kaum ohne Tricks lösen kann. Dieselbe Überlegung spricht für das Ein-bauen von einigen Aufgaben in Übungen und Prüfungen, die grundlegen-deres Konzeptverständnis behandeln. Mit solchen Aufgaben ist es auch besser möglich, Studenten in Kleingruppenübungen auf nicht-frontale Wei-se einzubeziehen; denn bei hauptsächlich trickreichen Aufgaben müssen allzu oft doch die Tutoren Musterlösungen frontal an der Tafel entwickeln. Um wiederum bei den (insgesamt nicht verzichtbaren) schwierigen Aufga-ben mögliche Anfangshürden zu verringern, werden derzeit unter Mitwir-kung des Autors E-Learning-Aufgaben mit antwortabhängiger Verzwei-gung entwickelt (vgl. Mei 2013). Ziel ist es dabei, den Sprung vom Nach-vollziehen von Musterlösungen hin zum eigenständigeren, korrekten Bear-beiten komplexer schriftlicher Aufgaben überwindbarer zu gestalten. Literatur Kersten, I. (2014): Kalkülfertigkeiten an der Universität: Mängel erkennen und Konzep-te für die Förderung entwickeln. In J. Roth et al. (Hrsg.), Übergänge konstruktiv ge-stalten (S. 33-49). Wiesbaden: Springer Spektrum. Kessel, M., Kessel, T. (2008): Zur Bedeutung der Mathematik im Studium des Bauinge-nieurwesens. http://www.ibholz.tu-bs.de/dat/Veranstaltungen/Bedeutung_der_Mathematik.pdf (Letzter Aufruf: 07.04.2015) Mei, R. (2013): Elektronische Hausaufgaben in den Mathematik-Vorlesungen für Bau-ingenieure: Motivation, Entwicklung, Ersteinsatz und Evaluation. Staatsexamensar-beit an der RWTH Aachen im Dezember 2013. Rooch, A., Härterich, J., Kiss, C. (2013): Brauchen Ingenieure Mathematik? Wie Pra-xisbezug Ansichten über das Pflichtfach Mathematik verändert. In I. Bausch et al. (Hrsg.), Mathematische Vor- und Brückenkurse: Konzepte, Probleme und Perspekti-ven (S. 398-409). Wiesbaden: Springer Spektrum. 