Schwätzer, Ulrich

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Ulrich SCHWÄTZER, Dortmund Zur Relevanz komplementbildender Strategien bei der Subtraktion im Tausenderraum Für die Subtraktion existieren die Grundvorstellungen Wegnehmen und Ergänzen, letztere verstanden als Komplementbildung zwischen Minuend und Subtrahend. Dazu werden im Folgenden erste ausgewählte Befunde einer Studie zur Subtraktion im dritten Schuljahr dargelegt.  1. Ergänzen versus Komplementbildung Ein Blick in gängige mathematikdidaktische Hand- und Lehrbücher (z.B. Krauthausen & Scherer, 2007; Padberg & Benz, 2011) zeigt eine kohärente Auffassung, wie die Grundrechenarten – hier im speziellen die Subtraktion – in der Grundschule zu thematisieren sind: Zunächst erfolgt eine breite Beschäftigung mit mentaler Arithmetik, vornehmlich in der Form des halb-schriftlichen Rechnens, die verständige Einführung der schriftlichen Ver-fahren erfolgt erst am Ende des Lernprozesses. Für die Subtraktion gelten dabei fünf halbschriftliche Strategien als Standard, zu denen die Eigenpro-duktionen der Kinder im Sinne fortschreitender Mathematisierung katego-risiert werden können: Neben den Strategien Schrittweise und Stellenweise die als elaborierter geltenden Strategien Hilfsaufgabe, Vereinfachen (zu-sammen: Variieren) und Ergänzen. Während Variieren auf der Anwendung des Gesetzes der Konstanz der Differenz beruht, wird Ergänzen zumeist als Auffüllvorgang vom Minuenden zum Subtrahenden aufgefasst und erfolgt als einzige der fünf Strategien additiv. Ergänzen erfordert daher einen Wechsel der Grundvorstellung, derer zwei für die Subtraktion in der didak-tischen Literatur existent sind: Wegnehmen (der Subtrahend wird vom Mi-nuenden abgezogen) und Ergänzen (die Spanne zwischen Subtrahend und Minuend wird ermittelt). Damit ist ein Dilemma offenbar: „Ergänzen“ be-zeichnet sowohl die in der Regel als schrittweise additives Auffüllen the-matisierte halbschriftliche Strategie der Subtraktion, als auch die zugehöri-ge Grundvorstellung, die aber wesentlich mehr umfassen kann, als das ad-ditive Auffüllen (s.u.) – zur Unterscheidung und zur inhaltlichen Erweite-rung wird daher hier der Begriff Komplementbildung für diese Grundvor-stellung verwendet. Mathematisch betrachtet ist die Subtraktion die inverse Operation der Ad-dition, zusätzlich kann die indirekte inverse Operation jedoch in zwei For-maten dargestellt werden (Campbell, 2008; vgl. Tab. 1). Auch mengentheo-retisch lässt sich die Verwendung des Begriffs Komplement legitimieren: Seien A und B Mengen und A Teilmenge von B, dann gilt für das Komple-ment AC ≔ B\A = {xB | xA}, der Komplementbildungsprozess als sol-cher kann hier kontextuell sowohl durch Auffüllen von A zu B als auch durch Entleeren von B zu A erfolgen. Festzuhalten bleibt: Die Grundvor-stellung Komplementbildung beinhaltet mehr als das schrittweise additive Auffüllen, wenn auch das subtraktive Entleeren bis jetzt wenig gebräuch-lich ist. Daher plädieren einige Autoren  in aktuellen Texten (Peltenburg et al. 2011; Selter et al. 2012), bei den halbschriftlichen Strategien den Grund-vorstellungswechsel und die Strategien als Matrix zu betrachten (vgl. Tab. 2). Auch wenn einige der in dieser Tabelle abgebildeten Strategievarianten, wie die Autoren zu Recht anmerken, sehr ungebräuchlich sind, so sind sie doch denkbar. Die klassische Strategie „Ergänzen“ mit schrittweise additi-vem Auffüllen deckt zumindest nur eine der acht theoretisch möglichen MA* Grundvorstellung Wegnehmen Komplementbildung  Tab. 2: Strategien in Matrixdarstellung,  * Mentale Arithmetik (nach Selter, Prediger, Nührenbörger & Hussmann 2012, modifiziert  und ergänzt um das Subtraktionsformat) Format Subtraktion Addition Subtraktion  Strategie  Schrittweise 83-79=??83-70=1313-09=0479+??=8379+01=8080+03=8383-??=7983-03=8080-01=79 Stellenweise 83-79=??80-70=103-09= -679+??=8370+10=809-06=0383-??=7980-10=703+06=09 Variieren Hilfsaufgabe 83-79=??83-80=033+01=0479+??=8380+03=83 3+01=0483-??=7983-10=73 73+06=79 Vereinfachen 83-79=??84-80=0479+??=8380+04=8483-??=7984-04=80 Operation Beispiel Grundvorstellung Format Kontext Direkte Subtraktion 624 – 293 = ___ Wegnehmen Subtraktion WegnehmenIndirekt  mit dem Invers 293 + ___ = 624 Komplement-bildung Addition Auffüllen 624 – ___ = 293 Subtraktion Entleeren Tab. 1: Operation und  Format Mentale Arithmetik: 707 Dokumente, davon mit mindestens einer Rechnung: Komplementbildend: 266  Wegnehmend: 495 Add.format: 217 Sub.: 60  Schr 237 St 2 Hi26 V3 Schr 272 Ste 162 Hi 102 Ver 192 Tab. 3: Verteilung (Strategien Schrittweise, Stellenweise, Hilfsaufgabe, Vereinfachen) Die Zahlen dieser Auswertung sind noch vorläufig, können sich ggf. noch leicht ändern.  Varianten der Komplementbildung ab – oder anders herum betrachtet: Eine Stra-tegie kann nun in drei Varianten ausge-prägt sein: subtraktiv wegnehmend, addi-tiv und subtraktiv komplementbildend. 2. Studie zur Subtraktion  In einer Langzeitstudie wurden 36 Unter-richtsstunden (der gesamte Unterricht zur Subtraktion im zweiten Halbjahr eines dritten Schuljahres) mit Video aufge-zeichnet und teiltranskribiert, und 856 Schülerdokumente aus diesen Stunden eingescannt und anschließend mit einer eigens dafür erstellten Software aufberei-tet und analysiert. Die Unterrichtsblöcke folgten dem Prinzip der fortschreitenden Mathematisierung, das strategische Rechnen organisierte die Lehrerin nach der gängigen Lehr- und Handbuchphilo-sophie, „Ergänzen“ wurde als fünfte Re-chenstrategie, nicht als Grundvorstel-lungswechsel thematisiert.  3. Befunde In der Analyse soll unter anderem den Fragen nachgegangen werden, ob, wann, wie erfolgreich, und in welchen Varian-ten die Kinder komplementbildend rech-neten, welche Faktoren wie die Aufga-benstellung, der Kontext, das Nutzen des Rechenstrichs, und weitere dabei Einfluss auf das Rechnen in der Grundvorstellung Komplementbildung haben. Von den insgesamt 856 Schülerdoku-menten (vgl. Tab. 3) enthalten 707 min-destens eine Rechnung in mentaler Arithmetik (halbschriftlich oder internali-siert), 273 eine schriftliche Rechnung. Von diesen 707 Dokumenten mit strate-gischem Rechnen enthalten wiederum 266 mindestens eine Rechnung in der Grundvorstellung Komplementbildung, 495 eine des Wegnehmens. Abb. 1 (Bild-schirmfoto der Auswertungssoftware) zeigt dabei die schülerbezogene Verteilung die-ser Dokumente über die Unterrichtsblöcke. Hierbei zeigte sich, dass das komplement-bildende Rechnen in Clustern auftritt, die-ses stark im explorativen Block und vor der Einführung der schriftlichen Subtraktion (hier zur Herleitung benutzt) vertreten ist, aber auch dazwi-schen und danach seinen Stellenwert behält.  Tabelle 3 zeigt weitere Verteilungen: Das Subtraktionsformat trat dabei von Anfang an auf Schülerdokumenten auf, ohne von außen angeregt wor-den oder vorher bekannt gewesen zu sein. Neben dem schrittweisen Rech-nen (in dem „Ergänzen“ thematisiert wurde, ähnlich stark wie beim Weg-nehmen) traten weitere Varianten komplementbildenden Rechnens auf, wenn auch wesentlich seltener als in der Grundvorstellung Wegnehmen.   4. Zur Diskussion Es zeigen sich Indizien, dass eine Strategie „Ergänzen“ als schrittweises, additives Auffüllen die Strategievielfalt der in dieser Studie stark vertrete-nen Grundvorstellung Komplementbildung nicht umfasst. In der Zukunft könnte der Grundvorstellungswechsel bewusster angeregt und weitere als nur schrittweise Strategien auch dort thematisiert werden. Das Subtrakti-onsformat scheint zu existieren, komplementbildendes Rechnen könnte Kindern also in beiden Formaten möglich sein. Auf andere Befunde dieser Studie kann hier aus Platzgründen leider nicht weiter eingegangen werden. Literatur Campbell, J. (2008). Subtraction by addition. Memory & Cognition, 36(6), 1094-1102.  Krauthausen, G. & Scherer, P. (2007). Einführung in die Mathematikdidaktik. Mün-chen: Elsevier Spektrum Akad. Verl. Padberg, F. & Benz, C. (2011). Didaktik der Arithmetik für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung (4. erw., stark überarb. Aufl.). Heidelberg: Spektrum, Akad. Verl. Peltenburg, M., Robitzsch, A. & Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2011). Special educa-tion students’ use of indirect addition in solving subtraction problems up to 100 - A proof of the didactical potential of an ignored procedure. Educational Studies in Mathematics, 351–369.  Selter, C., Prediger, S., Nührenbörger, M. & Hussmann, S. (2012). Taking away and determining the difference - a longitudinal perspective on two models of subtraction and the inverse relation to addition. Educational Studies in Mathematics, 79(3), 389-408. 

Zur Relevanz komplementbildender Strategien bei der Subtraktion im Tausenderraum

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/32776/1/225.pdf

Zur Relevanz komplementbildender Strategien bei der Subtraktion im Tausenderraum

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