Moormann, Mariann

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Marianne Moormann, Mu¨nchenEinige Ansa¨tze zur Kategorisierung begriﬄichen Wis-sens und ihre Konkretisierung am Beispiel des Ablei-tungsbegriffsDie Begriffsbildung wird als ein zentrales Anliegen des Mathematikunterrichtsangesehen. Zwar wurden einzelne Begriffe der Differenzialrechnung bereitsmehrfach in den Blick genommen, doch geschieht dies eher punktuell, sodass viele der Betrachtungen isoliert bleiben. In diesem Beitrag werden nunerste Ansa¨tze vorgestellt, die Entwicklungen und Abha¨ngigkeiten bezu¨glichunterschiedlicher Aspekte der Begriffsbildung aufgreifen.Dazu werden kurz die kognitionspsychologischen Grundlagen der Begriffsbil-dung behandelt, indem Wissensformen voneinander abgegrenzt und zuein-ander in Beziehung gesetzt werden um anschließend zu beschreiben, welcheQualita¨ten sie annehmen ko¨nnen.Am Beispiel des Ableitungsbegriffs werden die festgestellten Begriffsformenund -qualita¨ten mit Inhalt gefu¨llt. Auszu¨ge aus Schu¨lerbearbeitungen deutenauf große Unterschiede in Bezug auf das Begriffsversta¨ndnis hin und zeigenweiteren Forschungsbedarf an.1. Kognitionspsychologische GrundlagenDer Begriff des Begriffs wird u¨blicherweise als etwas Abstraktes oder All-gemeines beschrieben, aber auch als Ergebnis eines Denkaktes. Er steht fu¨rabstrakte Allgemeinvorstellungen, unter die Objekte oder Vorstellungen zu-sammengefasst werden, die in bestimmten Charakteristika u¨bereinstimmen.Entsprechend dieser Definition verfu¨gt eine Person dann u¨ber einen Begriff,wenn sie Beispiele fu¨r diesen Begriff identifizieren kann [analytische Seite]und wenn sie fa¨hig ist eigene Beispiele und Gegenbeispiele anzugeben [kon-struktive Seite] (Krivsky, 2003). Um jedoch genauer zu untersuchen, wie dasbegriﬄiche Wissen in Anwendungssituationen genutzt wird, werden von Sei-ten der Psychologie verschiedene Formen begriﬄichen Wissens unterschieden.Von Interesse ist dabei insbesondere das Zusammenspiel der unterschiedlichenWissensformen in konkreten Problemsituationen.Wichtige Wissenstypen sind dabei• das konzeptuelle Wissen,• das prozedurale Wissen,• das Strategiewissen und• das metakognitive Wissen.Das konzeptuelle Wissen wird im Sinne von Hiebert & Lefevre (1986) als einWissen bezeichnet, das reich an Relationen ist. Die Relationen sind fu¨r diesesWissen ebenso wichtig wie die einzelnen u¨ber diese Relationen verknu¨pftenInformationseinheiten (”knowing, what“ ,”knowing, why“).Das prozedurale Wissen ist dagegen als ein Handlungswissen zu verstehen,welches in linearer Abfolge angewendet werden kann (”knowing, how“).Wa¨hrend diese beiden Wissenstypen noch relativ stark an einen Kontext ge-bunden sind, trifft dies fu¨r das Strategiewissen (z.B. Elaborations- und Orga-nisationsstrategien) im Allgemeinen schon nicht mehr zu. Auch das metako-gnitive wird generell als ein u¨bergeordnetes, den Lernprozess kontrollierendesWissen angesehen.Fu¨r die drei erstgenannten Wissensformen sowie eine weitere Komponen-te”situationsbezogenes Wissen“ haben de Jong & Ferguson-Hessler (1996)Wissensqualita¨ten definiert und fu¨r jede der Wissensformen spezifiziert. AlsQualita¨tskriterien fu¨r Wissen lassen sich daraus allgemein ableiten: die Ver-netztheit des Wissens, die Anwendungsbreite und der Grad der Automa-tisierung. Fu¨r Hiebert & Lefevre (1986) besteht die Qualita¨t konzeptuellenWissens in der Qualita¨t der Relationen; die Gu¨te von Prozeduren steigt, wennsie Subprozeduren umfassen und diese steuern ko¨nnen.Ein Ansatz, der die Qualita¨t des Wissens als Qualita¨t des Zusammenspielsvon konzeptuellem und prozeduralemWissen darstellt, ist die Procept-Theorie(Gray & Tall, 1992).Die verschiedenen Aspekte werden nun fu¨r den Begriff der Ableitung aus-gefu¨hrt.2. Konkretisierung anhand des AbleitungsbegriffsDer Begriff der Ableitung eignet sich als zentraler Begriff der Analysis durchseine vielfa¨ltigen Begriffsaspekte sehr gut um die oben genannten Aspekte zukonkretisieren.Eine Person hat den Begriff der Ableitung erworben, wenn er u¨ber Basisfa¨hig-keiten wie das graphische Differenzieren, das Differenzieren per Grenzwertbil-dung und das symbolische Differenzieren durch Formelmanipulation verfu¨gt.Hinzu kommt, dass er die Ableitung flexibel deuten kann, etwa im Graphenals Steigung oder etwa rechnerisch als Faktor, mit dem die A¨nderung einerGro¨ße zu multiplizieren ist um die A¨nderung der anderen zu berechnen. Mankann die verschiedenen Deutungen (vgl. Grundvorstellungen, Malle (1999))als basale Stufe des konzeptuellen und die Grundfa¨higkeiten als basale Stu-fe des prozeduralen Wissens auffassen (s. Abbildung). Darauf aufbauendeStufen umfassen jeweils diese Fa¨higkeiten und Vorstellungen, zeichnen sichaber durch einen erweiterten Kontext aus. Beispielsweise wird eine Stufedes konzeptuellen Wissens den Zusammenhang zwischen Ableitung und Tan-gente umfassen, eine ho¨here Stufe die Bedingungen der Differenzierbarkeit.Insgesamt werden auf den na¨chsten Stufen unterschiedliche Sichtweisen wiedie geometrische und die algebraische Perspektive miteinander verknu¨pft.Schließlich werden sowohl inner- als auch außermathematische Anwendungenbehandelt und Bezu¨ge zu anderen Bereichen hergestellt. Auf der ho¨chstenStufe zeigt sich elaboriertes Begriffswissen im erfolgreichen Modellieren kom-plexer Situationen. Wenn auch weitere Wissensformen hier eine wichtige Rollespielen, bilden doch prozedurales und konzeptuelles Wissen den Fokus. SomitAbb. 1: Stufenmodell zum Begriffswissenist u¨ber die Vernetzt-heit und die Breite derAnwendbarkeit des Wis-sens hinaus der Grad derVerzahnung von konzep-tuellem und prozeduralemWissen ein Qualita¨tskrite-rium begriﬄichen Wissens.3. Zusammenfassung und AusblickZusammenfassend wurden hier verschiedene Wissensformen und Wissensqua-lita¨ten dargestellt und in ein Modell integriert. Zu bedenken bleibt jedoch,dass die Aufspaltung begriﬄichen Wissens in verschiedene Untertypen einku¨nstliches und rein pragmatisches Vorgehen darstellt. Ziel ist es mithilfe die-ses Modells Testinstrumente zu entwickeln, die es ermo¨glichen, aufgabenbe-zogen Wissensstrukturen von Lernenden zu analysieren. In einem spiralfo¨rmi-gen Prozess werden Modell und Testinstrumente jeweils verfeinert, so dassausgehend von dieser Analyse Erkenntnisse abgeleitet werden ko¨nnen, wielangfristig von den Lernenden ein tragfa¨higer Ableitungsbegriff aufgebautwird.Literatur[1] T. de Jong, M. G. M. Ferguson-Hessler: Types and Qualities of Knowled-ge. Educational Psychologist 1996, 31(2), 105 - 113.[2] E. Gray, D. Tall: Success and failure in mathematics: the flexible meaningof symbols as process and concept. Mathematics teaching 1992, 142, 6 –10.[3] J. Hiebert, P. Lefevre: Conceptual and Procedural Knowledge in Mathe-matics: An Introductory Analysis. In J. Hiebert (Hrsg.) Conceptual andProcedural Knowledge: The case of Mathematics. Lawrence Erlbaum As-sociates, Hillsdale, New Jersey 1986.[4] S. Krivsky: Multimediale Lernumgebungen in der Mathematik, Konzepti-on, Entwicklung und Erprobung des Projekts Matheprisma. Hildesheim,Berlin: Franzbecker Verlag (Dissertation).[5] G. Malle: Grundvorstellungen zum Differenzen- und Differenzialquotient.Didaktik-Reihe der O¨MG 30, 1999.

Einige Ansätze zur Kategorisierung begrifflichen Wissens und ihre Konkretisierung am Beispiel des Ableitungsbegriffs

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