Wollring, Bernd

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Bernd WOLLRING, KasselDen Zufall festhalten – Spielräume und Dokumente bei Zu-fallsexperimenten für die Grundschule Lernumgebungen und Versuchsumgebungen zur StochastikDas Curriculum zur Mathematik ist in der Grundschule in der Regel durch-zogen von einem „stochastischen Strang“, dessen Aktivitäten Erfahrungen zur  Wahrscheinlichkeit  und  Techniken  der  beschreibenden  Statistik  an-bahnen sollen. Eine besondere Schwierigkeit bei Experimenten zur Wahr-scheinlichkeit besteht darin, die Idee der Normierung in Experimenten und Dokumenten darzustellen, denn formale Instrumente zum Beschreiben von Anteilen stehen nicht zur Verfügung. Vielmehr ist mit geeigneten geome-trischen  Darstellungen  ein  präformales  Argumentieren  mit  Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten zu unterstützen. Stochastische Kompetenzen sind in den Bildungsstandards für die Grund-schule  festgeschrieben.  Sie  betreffen  im  Wesentlichen  frequentistische Wahrscheinlichkeit.  Frequentistische  Wahrscheinlichkeit  wird  durch Spielen und Experimentieren angeeignet. Es geht darum, das „Zufällige“ im Zufallsexperiment herauszuarbeiten mit der Akzentsetzung, dass zwar keine Einzelversuche wohl  aber  größere Versuchsserien zunehmend sys-tematisch beschreibbar sind. Wesentlich ist dabei, dass Zufallsexperimente auch tatsächlich als Experimente durchgeführt werden, etwa eingebettet in Spielssituationen (vgl. [1]).Systematisches Beschreiben der Ergebnisse von Zufallsexperimenten setzt Übersicht  voraus.  Die  Ergebnisse  von  real  durchgeführten  Zufallsexpe-rimenten fallen in der Regel zeitlich sequentiell an, daher kommt dem Fest-halten in geeigneten Aufzeichnungen eine besondere Bedeutung zu.  Wir unterscheiden zum einen den „Spielraum“, zum anderen den „Dokumenta-tionsraum“ (siehe [5]). Der erste beschreibt den Zufallsgenerator und das Handeln damit. Der zweite beschreibt die Art und Weise der Aufzeichnung, die bei  geeigneter  Form Aussagen über Versuchsserien und den Zufalls-generator im Ganzen zulässt. Wir  beschreiben  ein  Experiment  zur  Aneignung  frequentistischer  Wahr-scheinlichkeitsvorstellungen bei Grundschulkindern und fragen, ob und in-wieweit sich daraus Lernumgebungen ableiten lassen. Sein Der Focus be-steht darin, den Zufallsgenerator als Ganzes zu betrachten und nicht nur Einzelereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten (siehe [4]).Das Experiment: Eine Fallstudie zur Rekonstruktion von WürfelnGefragt ist, ob und inwieweit Grundschulkinder imstande sind, die Struktur eines Zufallsgenerators, der in einem zu beschreibenden Sinne „verdeckt“ ist, aus Versuchsergebnissen zu rekonstruieren. Ein Experiment mit dieser Fragestellung nennen wir einen „stochastischen Rekonstruktionsversuch“. Versuchspersonen  sind  sieben  Kinder  eines  zweiten  Schuljahres.  Sie wurden  in  videodokumentierten  klinischen  Interviews  im Rahmen eines größeren Projektes zur Ermittlung stochastischer Kompetenzen bei Grund-schulkindern von einer Studierenden des Lehramtes befragt. Zufallsgenerator ist ein Kartonwürfel, dessen Seitenflächen als Ergebnisse Rot oder Blau zeigen können. Damit werden Versuchsserien durchgeführt und auf einem Protokollbogen durch nach Farben sortierte farbig ausge-füllte  Felder  festgehalten.  Die  Protokollbögen  sehen  entweder  fixierte Längen der Versuchsserien von 4, 8 oder 16 Würfen vor oder Versuchsseri-en mit nicht festgelegter Länge. (siehe [3]) Bei den Rekonstruktionsversuchen sind wohl die Ergebnisse der Einzelver-suche sichtbar, nicht aber der dazu benutzte Würfel als Ganzes. Dazu wird der  Würfel  in  eine abgedunkelte  Dose eingebracht,  deren Deckel  kleine Sichtfenster  aufweist.  Die  Dose  ist  so  groß,  dass  der  Würfel  darin  frei fliegen kann, wenn man sie schüttelt. Sie wird mit dem Deckel nach unten gehalten. Durch einen Spiegel auf dem Tisch ist in einem Fenster die Farbe der unteren Fläche des Würfels sichtbar. Sie gilt als gewürfeltes Ergebnis. Die  Versuchsperson  klebt  nach  dem  Würfeln  rote  oder  blaue  Kärtchen passend auf einen gleich großen schwarzen Würfel, der den rekonstruierten Würfel darstellt. Zum Vergleich führt die Versuchsperson auch mit dem re-konstruierten Würfel eine Versuchsserie durch.Die VersuchsergebnisseDie Tabelle beschreibt die Ergebnisse der stochastischen Rekonstruktions-versuche. Die linke Zahl bezeichnet jeweils die Anzahl der roten Flächen auf den Würfeln, die rechte die der blauen. Bei den Versuchsserien bezeich-net die linke Zahl die Häufigkeit des Ergebnisses Rot, die rechte Zahl die des Ergebnisses Blau. Ein „R“ in der Spalte rechts bezeichnet eine zutref-fende Rekonstruktion: Der gegebene Würfel und der rekonstruierte stim-men überein.Die  Ergebnisse  in  der  Tabelle  und die  hier  nicht  dokumentierten  Kom-mentare im Interview zeigen, dass eine frequentistische Intuition zur Wahr-scheinlichkeit besteht, wenn auch überlagert von anderen Vorstellungen. Gegebener WürfelVersuche Geg. WürfelReko-WürfelVersuche Reko-W.1 Anke 4|2 5 | 3 3|3 5 | 3 D?2 Florian 4|2 5 | 4 3|3 2 | 73 Jan 4|2 5 | 3 3|3 6 | 2 D?4 Nancy 4|2 5 | 4 4|2 6 | 3 R5 Sven 4|2 5 | 3 3|3 4 | 4 D?6 Thomas 4|2 6 | 2 2|4 1 | 77 Thomas 4|2 6 | 2 4|2 4 | 4 D?, R8 Vera 4|2 6 | 2 4|2 5 | 3 D?, RAllerdings zeigen die Versuche auch Ergebnisse, die wir auf ungeschicktes Versuchsdesign zurückführen. Die Anzahl der Flächen auf dem Würfel und die Länge der Versuchsserien sind nicht aufeinander abgestimmt. In sol-chen Fällen neigen die Kinder dazu, eher mit einer „Differenzstrategie“ als mit  einer „Verhältnisstrategie“ zu rekonstruieren.  Die Differenz-Strategie besteht darin zunächst einen Teil der Versuchsergebnisse in die Anzahl der entsprechenden  Würfelflächen  zu  übertragen.  Diese  übereinstimmenden Anzahlen sind dort,  wo wir diese Strategie vermuten, in der Tabelle un-terstrichen und der Versuch in der rechten Spalte mit einem „D?“ gekenn-zeichnet.  Die  verbleibenden  Flächen  des  Würfels  wurden  dann  mit  der anderen Farbe aufgefüllt. Der  Würfel  in  der  Dose ist  ein  langsamer  Zufallsgenerator:  Die  Kinder haben keine Versuchsserien länger als acht durchgeführt.  Statistisch sind diese Versuchsserien nicht brauchbar. Dennoch haben die Kinder ihm Ver-trauen geschenkt und ihre Rekonstruktionen darauf begründet. Befunde und SchlussfolgerungenDieses Experiment ist keine Vorlage für eine Lernumgebung im Unterricht, wohl aber geben die Versuchsergebnisse Hinweise, wie solche Lernumge-bungen zu konzipieren sind. Um eine Intuition für das Gesetz der großen Zahlen auszubauen, sind Zufallsversuche geeignet und notwendig. Sie soll-ten aber bestimmte Bedingungen erfüllen.Ein für uns unerwarteter Nachteil der verwendeten Würfel besteht zudem darin, dass nicht alle Flächen des Würfels simultan wahrzunehmen sind. Das erschwerte den Kindern ganz offensichtlich das Rekonstruieren. Das Experiment indiziert andere Zufallsgeneratoren als geeigneter, etwa die später von uns entwickelten „Cassetten-Urnen“. Sie sind schneller, trans-parent und erlauben ein freies Variieren der Perlenzahlen. Damit sind die Längen  der  Versuchsserien  und  die  Perlenzahlen  so  aufeinander  abzu-stimmen,  dass  Verhältnisstrategien  nicht  durch  Differenzstrategien  sup-primiert werden. AusblickZufallsexperimente  erzeugen Lernumgebungen,  die im klassischen Sinne durch Experimentieren und Entdecken gekennzeichnet sind. Sie lassen sich mit arithmetischen und geometrischen Zielsetzungen verbinden, in Spielsi-tuationen einbauen und sind im besonderen Maße für selbständige Schüler-arbeit geeignet. Darüber hinaus gestatten sie das langfristige Anbahnen der experimentellen Erfahrungen,  ohne die eine spätere formale  Behandlung stochastischer Themen meist arm an Erfolg bleibt (siehe [2]).Literatur[1] Arbeitskreis Stochastik der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik: Empfehlungen zu Zielen und zur Gestaltung des Stochastikunterrichts. Dortmund 2002[2] Laura Martignon, Christoph Wassner: Schulung frühen stochastischen Denkens  von  Kindern.  Zeitschrift  für  Erziehungswissenschaft,  8. Jahrgang, Heft 2/2005, S. 202-222[3] Doris Vietmeier: Frequentistische Spielinterviews mit Nachbauversu-chen zu Würfeln. Wissenschaftliche Hausarbeit, Universität Münster 1993[4] Bernd  Wollring:  Fallstudien  zu  frequentistischen  Kompetenzen  von Grundschulkindern in stochastischen Situationen- Kinder rekonstruie-ren verdeckte Glücksräder.  In:  H. Maier,  J.  Vogt (Hrsg.):  Verstehen und Verständigung. IDM-Reihe Untersuchungen zum Mathematikun-terricht, Band 19, Köln 1994, S.144-181[5] Bernd Wollring:  Zur  Kennzeichnung  von  Lernumgebungen  für  den Mathematikunterricht in der Grundschule. Erscheint in der Schriften-reihe der Arbeitsgruppe „Empirische Bildungsforschung“ an der Uni-versität Kassel 

Den Zufall festhalten

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