Rolfes, Tobias

Roth, Jürgen

Schnotz, Wolfgang

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Tobias ROLFES, Jürgen ROTH, Wolfgang SCHNOTZ, Landau Der Kovariationsaspekt von Funktionen in der Sekundarstufe I 1.  Die Bedeutung des Kovariationsaspekts Zwei Aspekte von funktionalen Zusammenhängen werden in der mathema-tikdidaktischen Forschung herausgestellt (Malle, 2000; Thompson, 1994; Vollrath, 1989). Beim Aspekt der Zuordnung wird jedem Wert des Defini-tionsbereichs genau ein Wert des Wertebereichs zugeordnet. Beim Aspekt des Änderungsverhaltens – auch Kovariationsaspekt genannt – wird die Sicht des funktionalen Zusammenhangs um eine dynamische Komponente ergänzt: In welcher Weise verändert sich der Wert der abhängigen Variab-le, wenn der Wert der unabhängigen Variable systematisch verändert wird? Bei der Behandlung von Funktionen im Mathematikunterricht der Sekun-darstufe I wird vorwiegend die Zuordnungssicht angewendet (Malle, 2000). Es ist aber fraglich, ob ein adäquates mentales Modell des Konzepts der Funktion ohne Berücksichtigung des Kovariationsaspektes erzeugt werden kann (Vogel, 2006). Außerdem ist ein Verständnis des Kovariationsaspek-tes für die Infinitesimalrechnung – als dominantes Themengebiet der Ober-stufe – unerlässlich. Dieses führt zu der Frage, ob Verständnisprobleme in der Analysis nicht auch in der zu späten schulischen Anbahnung des Kova-riationsaspektes zu suchen sind.  Neben der Relevanz für den Erfolg in der Schule und ggf. Hochschule kann ein Grundverständnis für Änderungsverhalten auch als Element der ma-thematischen Grundbildung angesehen werden. Gerade in der modernen Industriegesellschaft ist der Mensch einer Vielzahl von dynamischen Vor-gängen ausgesetzt, die ein Denken in Veränderungen erforderlich machen: In welcher Weise muss der CO2-Ausstoß verringert werden, damit ein glo-baler Temperaturanstieg aufgehalten wird? Reduziert sich mit einer sin-kenden Neuverschuldung auch der Schuldenstand? In den Standards des National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) wurde der Bedeutung des Denkens in Veränderungen dadurch Rechnung getragen, dass der Aspekt Analyze change in various contexts als eine von vier Unterkategorien des Themengebietes Algebra für alle Jahr-gangsstufen aufgenommen wurde (NCTM, 2000). In den deutschen Bil-dungsstandards für den Mittleren Schulabschluss ist der Kovariationsaspekt hingegen nicht explizit erwähnt. Untersuchungen, in welcher Form der Kovariationsaspekt in den Mathematikunterricht der Sekundarstufe I im-plementiert werden kann und welche Schwierigkeiten hierbei bei den Ler-nenden entstehen, sind nur in Ansätzen vorhanden (z.B. Hahn, 2008). 2.  Problembereich verbale Repräsentationen Soll der Kovariationsaspekt in der frühen Sekundarstufe I verstärkt imple-mentiert werden, so ist die formal-symbolische Algebra nur eingeschränkt hilfreich. Als Alternative bietet sich an, Änderungsverhalten mit Hilfe von verbalen Repräsentationen zu analysieren und zu beschreiben. Eine verbale Repräsentation für die Behandlung des Kovariationsaspekts ist der Begriff der Steigung. Der Begriff hat den didaktischen Vorteil, dass die Lernenden auf Alltagserfahrungen (z.B. aus dem Straßenverkehr) zu-rückgreifen können. Andererseits ist er aber an eine graphische Sichtweise gebunden, da an einer Wertetabelle die Steigung nicht direkt ersichtlich ist. Erst wenn die Werte der Tabelle in einen Graph übertragen werden, erhält die Bezeichnung Steigung eine visuell fassbare Bedeutung.  Darüber hinaus zeigen Zaslavski, Sela und Leron (2002), dass der Begriff der Steigung auf Grund seiner visuellen Grundlegung Probleme bereiten kann. Falls die Abszisse und die Ordinate nicht gleichartig skaliert sind, kann eine visuell flache Gerade durchaus eine sehr große Steigung aufwei-sen. Gerade durch den zunehmenden schulischen Einsatz von graphischen Taschenrechnern und Computerprogrammen ist dieses Problem des Stei-gungsbegriffs nicht zu unterschätzen. Eine alternative verbale Repräsentation stellt der Begriff der Änderungsrate dar. Er ist nicht an eine bestimmte Repräsentationsform gebunden, sondern sowohl in situativen Beschreibungen, als auch in Wertetabellen, Diagram-men und Graphen erfassbar. Allerdings ist die Verknüpfung von Ände-rungsrate und Steigung nicht selbstverständlich, wie Postelnicu (2011) in einer Untersuchung zeigt. So sollten Schüler der Klassenstufen 8 bis 10 die Geschwindigkeit und die Steigung eines linearen Zeit-Weg-Graphen be-stimmen. Etwa 45% der Probanden bestimmten die Geschwindigkeit rich-tig. Von diesen Personen konnte allerdings nur rund die Hälfte die Steigung richtig bestimmen, obwohl sie denselben numerischen Wert wie die Ände-rungsrate (hier die Geschwindigkeit) hat. Aus diesem empirischen Ergebnis lässt sich folgern, dass Steigung und Änderungsrate für viele Schüler als unterschiedliche Konzepte wahrgenommen werden und die Änderungsrate das intuitiv zugänglichere Konzept sein könnte. Die mehrdeutige Verwendung des Begriffs Änderungsrate stellt allerdings eine nicht zu unterschätzenden Problematik dar. So werden sowohl absolu-te Änderungsraten (z.B. Geschwindigkeit, Benzinverbrauch oder Ablei-tung) als auch relative Änderungsraten (z.B. Inflationsrate, Wirtschafts-wachstum oder Zinssatz) im Alltag und in der Mathematik verwendet. Thompson (1994) präsentierte Mathematiklehrern und -dozenten einen Graphen mit der Preisentwicklung in den USA zwischen 1928 und 1992 (Abb. 1) und fragte die Versuchsteilnehmer nach dem Zeitraum der höchs-ten Inflationsrate. Viele Teilnehmer nannten hierbei den Zeitraum der größ-ten absoluten Änderungsrate in den achtziger Jahren und nicht den Zeit-raum der größten relativen Änderungsrate nach dem Ende des Zweiten Weltkriegs. Obwohl die Versuchsteil-nehmer eine inten-sive mathematische Vorbildung aufwie-sen, verwechselten sie die relative und die absolute Ände-rungsrate. Es ist da-von auszugehen, dass dieses Problem bei Schülern der Sekundarstufe I noch stärker auftritt. Da bereits in den Klassenstufen 7 und 8 mit absoluten Änderungsraten (Steigung einer linearen Funktion) und relativen Änderungsraten (Zinssatz) gearbeitet wird, kann dieser Unter-schied nicht ignoriert werden. 3.  Problembereich graphische Repräsentationsform In einer Unterrichtsdoppelstunde wurde vom Erstautor mit 27 Schülern ei-ner 7. Klasse eines Gymnasiums eine Unterrichtseinheit zur Förderung des Denkens in Veränderungen durchgeführt. Nach etwa 40 Minuten Instrukti-on erhielten die Schüler einen Papier-und-Bleistift-Test. Hierbei enthielten zwei Aufgaben eine nahezu identische situative Beschreibung eines Wachstumsvorgangs, wobei einmal eine Wertetabelle und einmal ein Graph erzeugt werden sollte. Bei der quantitativen Auswertung zeigte sich, dass die Lösungsrate bei der Wertetabelle signifikant höher war als beim Graphen (Vorzeichentest, p < .001, g = .35).  Betrachtet man die Realität im Mathematikunterricht, so wird die Werteta-belle vielfach als Hilfsmittel für die Erzeugung eines Graphen verwendet, mit dem dann weitergearbeitet wird. Das dargestellte Ergebnis unterstreicht die Tatsache, dass die Wertetabelle eine wertvolle eigenständige Repräsen-tationsform für die Analyse des Änderungsverhaltens darstellt und als sol-che verstärkt genutzt werden sollte.  Abb. 1: Zeitraum der höchsten Inflationsrate?  (Thompson, 1994) 4.  Diskussion Angesichts der dargelegten Probleme mit dem Begriff der Steigung ist eine stärkere Verwendung des Begriffs der Änderungsrate im Mathematikunter-richt der Sekundarstufe I zu erwägen. So könnte z. B. bei Anwendungsauf-gaben zu linearen Zusammenhängen eine bewusste Verknüpfung der Be-griffe Steigung und Änderungsrate förderlich für die Entwicklung eines tragfähigen Grundverständnisses für das Änderungsverhalten sein. Auf Grund der höheren Lösungsrate bei der Konstruktion einer Tabelle im Vergleich zum Graphen stellt sich die Frage, ob die Tabelle für Schüler bei bestimmten Typen von Kovariationsaufgaben leichter zugänglich ist als der Graph. Die hier verwendeten Aufgaben zielten auf die Konstruktion von Repräsentationsformen aus numerischen Angaben zu Änderungen. Es bleibt zu untersuchen, ob auch bei Interpretationsaufgaben im Hinblick auf den Kovariationsaspekt die Wertetabelle für Schüler leichter zugänglich ist als der Funktionsgraph. Darüber hinaus ist zu klären, ob bei qualitativen Analysen eventuell der Graph einen leichteren Zugang zum Änderungsver-halten ermöglicht. Die Klärung dieser Fragen ist wesentlich für ein Unter-richtskonzept zur Entwicklung eines Grundverständnisses für das Ände-rungsverhalten in der Sekundarstufe I. Literatur Hahn, S. (2008). Bestand und Änderung: Grundlegung einer vorstellungsorientierten Differentialrechnung. Oldenburg: Didaktisches Zentrum, Carl-von-Ossietzky Uni-versität. Malle, G. (2000). Zwei Aspekte von Funktionen: Zuordnung und Kovariation. Mathe-matik lehren, (103), 8–11. National Council of Teachers of Mathematics (Hg.). (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Postelnicu, V. (2011). Student Difficulties with Linearity and Linear Functions and Teachers' Understanding of Student Difficulties. Dissertation, Arizona State Univer-sity. Verfügbar unter http://repository.asu.edu/attachments/56417/content/ Postelnicu_asu_0010E_10384.pdf. Thompson, P. W. (1994). Students, Functions, and the Undergraduate Curriculum. In E. Dubinsky, A. H. Schoenfeld, & J. J. Kaput (Hg.), Research in Collegiate Mathemat-ics Education I (S. 21–44). Providence, RI: American Mathematical Society. Vogel, M. (2006). Mathematisieren funktionaler Zusammenhänge mit multimediaba-sierter Supplantation. Theoretische Grundlegung und empirische Untersuchung. Heidelberg: Franzbecker. Vollrath, H.-J. (1989). Funktionales Denken. Journal für Mathematik-Didaktik, 10, 3–37. Zaslavsky, O., Sela, H., & Leron, U. (2002). Being sloppy about slope: The effect of changing the scale. Educational Studies in Mathematics, 49 (1), 119–140. 

Der Kovariationsaspekt von Funktionen in der Sekundarstufe I

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