Schmidt-Thieme, Barbara

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

Barbara SCHMIDT-THIEME (Ludwigsburg)Unmathematisches Argumentieren im MathematikunterrichtDie KMK formulierte in ihren Empfehlungen neben den inhaltlichen Kom-petenzen  eine  Reihe  von  „allgemeinen  mathematischen  Kompetenzen“, darunter den Kompetenzbereich „Argumentieren und Beweisen“. In der in-ternationalen  Mathematikdidaktik  existiert  eine  Vielzahl  von  Untersu-chungen zum Beweisen im Mathematikunterricht, in welchem Zusammen-hang vielfach das Stichwort „Argumentieren“ fällt:  es scheint sich dabei um eine spezielle Form, ein „mathematisches“ Argumentieren zu handeln. Diese Sicht auf Art und Funktion des Argumentierens unterscheidet sich je-doch grundlegend von denen in  anderen wissenschaftlichen Disziplinen, was  folgende  Äußerung  eines  Argumentationstheoretikers  widerspiegelt: „Dann sieht die Mathematikdidaktik Argumentieren also als eine Art defi-zitären Beweisens?“ Im Folgenden werden nach einem kurzen Überblick über Aspekte des Argumentierens aus mathematikdidaktischer Sicht Blick-lichter darauf aus der Sicht anderer Disziplinen geworfen und abschließend von dieser erweiterten Basis aus zurück auf den Mathematikunterricht ge-blickt.  1. Argumentieren als Vorform des BeweisensArgumentieren wird in mathematikdidaktischen Arbeiten meist in engem Zusammenhang mit Begründen und Beweisen gesehen. Da Beweis und Be-weisen sicherlich zentral für die Mathematik sind, ist es unbestreitbar, dass Schülerinnen und Schüler an Beweise und die Kunst des Beweisens im Ma-thematikunterricht herangeführt werden müssen. Hierbei fällt  dem Argu-mentieren klar  die  didaktische  Funktion der  Vorstufe  für  einen abstrak-teren,  formaleren  Beweis  zu.  Diese  Sicht  des  Argumentierens  ist  also formal-logizistischer Art, da es um die Feststellung einer Wahrheit durch formal-logische  Schlüsse  geht  (s.  dazu  etwa  Hefendehl-Hebecker  2003, 94/5: „Infragestellen, Überprüfen und Begründen vollziehen sich auf dem Wege der Argumentation.“).  Neben der Sicherung des Wahrheitsanspruchs vermitteln Beweise und Ar-gumentationen auch Einsicht in Sachverhalte. Die Frage „Warum ist diese Aussage wahr?“ fordert Systematisieren und Vernetzen. Vor/Übungen für schriftlich-formale Beweise unter Einbezug von Handlungen oder der An-schauung  unterstreichen  diesen  lerntheoretischen  Aspekt  des  Argu-mentierens.Eine Funktion möchte man mathematischem Argumentieren und Beweisen auch über den Mathematikunterricht hinaus zusprechen in der Annahme, dass die hierbei geübte Rationalität auch auf alltägliches Handeln Einfluss hat.  Untersuchungen  aus  der  Argumentationstheorie  (Lueken  2005)  und Feststellungen aus der Deutschdidaktik (Quasthoff 2003) können dies nicht unbedingt stützen.Der Prozess des Argumentierens bildet den Untersuchungsgegenstand in Arbeiten  mit  Ansätzen  aus  der  Interaktionstheorie.  Krummheuer  (1991) versteht unter Argumentation generell jede Kommunikation im Unterricht, in der die Beteiligten kooperatives Handeln zu ermöglichen versuchen. Es sind  Aushandlungsprozesse  mit  dem  Ziel  der  Erstellung  eines  Arbeits-konsens und liefern damit Erklärungsmöglichkeit für das Zustandekommen von Lernen im Schulunterricht. Das Zustandekommen einer Argumentati-on,  soziale  Regelmäßigkeiten  des  Argumentationsprozesses  sowie  Ziele und Funktionen von Argumentationen im Mathematikunterricht untersucht Schwarzkopf  (2000).  Unter  einer  Argumentation  wird  ein  Kommunika-tionsprozess verstanden, in dem die Beteiligten einen Begründungsbedarf explizit  anzeigen und zu befriedigen versuchen. Schwarzkopf stellt  u.  a. fest: „In der Mathematik sind nur Argumente von Interesse, durch die eine Konklusion zweifelsfrei belegt wird. In einem Unterrichtsfach, das weniger mathematikspezifisch  ausgerichtet  ist,  hätte  die  Argumentation  anders verlaufen können. Dort würde man möglicherweise auf unmathematische Modalitäten  reagieren,  indem  man  verschiedene  Argumente  und  deren Ausnahmebedingungen gegeneinander abwägt“ (443). 2. Argumentieren zur Entwicklung von OrientierungenGrundsätzlich gesehen ist Argumentation als Fähigkeit, als Kunst verankert in  die  Tradition  der  septem  artes  liberales.  Sie  findet  sich  als Logik/Dialektik im Trivium neben der Grammatik und der Rhetorik und diente in der logizistischen Tradition der Suche nach Wahrheit oder Norm. Damit ergeben sich Abgrenzungsschwierigkeiten zum Erklären oder Be-weisen. Erweitert man den Fokus jedoch auf argumentierende Rede in der alltäglichen Praxis, so wird eine Betrachtung nicht nur ihrer logischen, son-dern auch ihrer semantischen und pragmatischen Formeigenschaften nötig (Lueken  2000).  Aus  drei  Disziplinen  seien  daher  ausgewählte  Überle-gungen  als  Denkanstöße  zu  einer  Neuinterpretation  von  Formen  und Funktionen des Argumentierens im Mathematikunterricht vorgestellt.2.1 Argumentieren in der Philosophie und RhetorikAufgrund der fundamentalen Relativierung von Gewissheit im 20.Jh. (Re-lativitätstheorie, Unentscheidbarkeit der Logik) sieht Wohlrapp 2005 das Ringen um einen Konsens in strittigen Fragen als letztes verbliebenes Mit-tel rationalen Handelns. An die Stelle der Wahrheit tritt somit das Konzept der argumentativen Gültigkeit. Lueken 2000 unterscheidet drei Paradigmen der Argumentation: a) die lo-gische Folgerung; b) die forensische Entscheidung z.B. in der Rechtsspre-chung, in welcher anstelle logisch-formaler Schlussweisen geregelte Ent-scheidungsverfahren  Argumentationen  zugrunde  liegen;  c)  den  offenen Dialog, in dem die Regeln selbst zur Disposition stehen können. Letzteres entspricht realen Argumentationsprozessen in der Lebenspraxis.Kopperschmidt  1989  beschreibt  Argumentation  als  rationale Form  der Verständigung,  d.h.  der  Übereinkunft  zweier  Personen.  Für  eine  Argu-mentationsanalyse  bedarf  es  der  Untersuchungen  der  Voraussetzungen, Verfahren und Struktur einer Argumentation. Als Vorauusetzung betont er die  Notwendigkeit  einer  Existenz  einer  res  controversia/strittigen Ange­legenheit; dabei geht es in der Regel nicht um eine Aussage an sich, son-dern um die für sie gemachten Geltungsansprüche.2.2 Argumentation in der LinguistikDie Linguistik beschäftigt sich mit Argumentationen im Rahmen der (prag-matischen)  Textlinguistik.  Sie  unterscheidet  grob  zwischen  drei  Text­formen/Vertextungsmustern:  Narration,  Deskription  (Eigenschaften  von Objekten)  und Argumentation  (Gültigkeit  von Propositionen).  Ihre  Auf-gabe ist die Beschreibung der Funktion und Struktur dieser Muster, wobei in neuerer Zeit der Fokus vermehrt vom Produkt auf den eigentlichen Pro-zess  des  Argumentierens  verschoben  wird,  d.h.  die  Bestimmung  der nicht/sprachlichen  Mittel  von  Handelnden in  Auseinandersetzungssitua-tionen (Vogt 2005).2.3 Argumentation in der DeutschdidaktikUnterrichtseinheiten zur Argumentation finden sich in allen Schulbüchern, doch handelt  es  sich  um Einführungen in  das  deduktiv  rationale  Argu-mentieren.  Erfahrungen  zeigen  jedoch,  dass  die  dort  gelernten  Muster selten auf reale Situationen übertragen werden. Das liegt zum einen an dem generellen Problem der Sprachdidaktik, inwieweit arrangierte Situationen tatsächlich  eine  Verbesserung  der  alltäglichen  Praxis  bewirken  können (Quasthoff 2003), zum anderen, dass die erweiterte Sicht von Argumentati-on als interaktive, alltagsweltliche Handlung die Entwicklung eines  Kom­petenzrahmens  Argumentation im  Deutschunterricht  erfordert  (Spiegel 2005).3 Offenes Argumentieren im Mathematikunterricht Der mathematische Unterrichtsalltag zeigt Möglichkeiten wie Notwendig-keiten, die mathemati(kdidakti)sch eingeengte Sicht auf Argumentieren im Sinne der eben beschriebenen Weisen zu erweitern: neben dem mathema-tischen Argumentieren als Vorform des Beweisens existiert und sollte ge-fördert werden ein unmathematisches/offenes Argumentieren zur Entwick-lung  von  Orientierungen,  d.  h.  ein  Argumentieren  als  verständigungs-orientiertes Handeln.Unmathematisches/offenes  Argumentieren  zur  Entwicklung  von Orientierungen  setzt  eine  strittige  Angelegenheit  in  der  Mathematik  als Thema  voraus.  Diese  muss  nicht  unbedingt  „außermathematischer“  Art sein  wie  die  Modellierungsargumentation  bei  Büchter/Leuders  2005 (Modellauswahl, Interpretation von Ergebnissen). Diskutiert werden kann über Rechenstrategien, über gelungene Erklärprozesse oder die Gültigkeit von Beweisen,  über  Vor-  und Nachteile  verschiedener  Repräsentationen oder Symbolsysteme für unterschiedliche mathematische Handlungen.Unmathematisches/offenes  Argumentieren  als  verständigungsorientiertes Handeln steht für einen dialogischen Forschungsprozess. Dieser kann z. B. iniziiert werden in Gruppenarbeit oder Strategie-, Rechenkonferenzen. So-mit hat diese Form des Argumentierens sicherlich einen Nutzen über den Mathematikunterricht hinaus als authentisches Beispiels für im Deutschun-terricht erarbeitete Muster. Voraussetzung allerdings ist die Schaffung einer weiteren, offenen Argumentationskultur im Mathematikunterricht.LiteraturBüchter,  Andreas,  Timo  Leuders:  Mathematikaufgaben  selbst  entwickeln.  Lernen fördern, Leistung überprüfen. Cornelson Scriptor 2005. Hefendehl-Hebeker, Lisa, Stephan Hußmann: Beweisen – Argumentieren. In: T. Leu-ders, (Hrsg.): Mathematik-Didaktik. Praxishandbuch für die Sekundarstufen I und II, Cornelsen 2003, 93-106.Kopperschmidt,  Josef:  Methodik  der  Argumentationsanalyse.  Frommann-Holzboog: Stuttgart 1989.Krummheuer, Götz: Lernen mit Format. Elemente einer interaktionistischen Lerntheo-rie.  Diskutiert  an  Beispielen  mathematischen  Unterrichts.  Dt.  Studien-Verlag: Weinheim 1991.Lueken,  Geert-Lueke:  Paradigmen  einer  Philosophie  des  Argumentierens.  In:  G.-L. Lueken (Hrsg.): Formen der Argumentation. Leipziger Universitätsverlag 2000, 13-51.Lueken, Geert-Lueke: Fördert formale Logik argumentative Kompetenz? Über Sinn und Unsinn  von  Logik-Kursen.  Vortrag  auf  Symposion  „Argumentieren  in  Schule  und Hochschule“ 2005.Quasthoff, Uta: Entwicklung mündlicher Fähigkeiten. In: U. Bredel u. a. (Hrsg.): Di-daktik der deutschen Sprache. Band 1. Schöningh 2003, 107-120.  Schwarzkopf,  Ralph: Argumentationsprozesse im Mathematikunterricht.  Theoretische Grundlagen und Fallstudien. Franzbecker 2000.Spiegel, Carmen: Streit. Eine linguistische Untersuchung verbaler Interaktionen in all-täglichen Zusammenhängen. Narr 1995.Vogt,  Rüdiger:  Argumentieren multimodal  oder  zweidimensional.  Linguistische Per-spektiven. Vortrag auf Symposion „Argumentieren in Schule und Hochschule“ 2005.Wohlrapp, Harald: Was ist und zu welchem Ende sollte Argumentationsforschung be-trieben werden? Vortrag auf Symposion „Argumentieren in Schule und Hochschule“ 2005.

Unmathematisches Argumentieren im Mathematikunterricht

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