Möller, Regina D.

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Regina D. MÖLLER, Erfurt Gibt es Mathematik im Rest der Welt? 1. Zum Modell des ModellierungskreislaufesSeit mehreren Jahren wird für den idealtypischen Modellierungskreislauf ein Diagramm verwendet, das der Mathematik einen weiteren Bereich, nämlich den Rest der Welt (oder Reale Situation, Realität, Realwelt, Wirklichkeit), gegenüberstellt. Unter Rest versteht man im Allgemeinen das, was übrig bleibt. Was bleibt also übrig, wenn Mathematik als Werkzeug zum Model-lieren verwendet wird? Und woraus besteht dieser Rest? Das Diagramm und die Wortwahl suggerieren, dass es sich um zwei voneinander verschiedene Bereiche handelt, selbst wenn in der Literatur (oft in Fußnoten) erwähnt wird, dass dem so nicht sei (z.B. Holzäpfel, 2014).  Aufschluss über die Verwendung der Begriffe „Mathematik“ und „Rest der Welt“ könnten einschlägige Modellierungsbeispiele geben, so z.B. die seit langem zitierte Tankaufgabe (Blum, 2005) und der Adenauerkopf (Herget, u.a., 2001). Bei der Tankaufgabe geht es mathematisch um das Aufstellen zweier linearer Funktionen, deren gemeinsamer Schnittpunkt angibt, ab wann sich die Fahrt für günstigeres Benzin lohnt würde. Gegeben sind ge-wisse Größen; Zeitangaben und Benzinverbrauch fehlen. Zum Modellie-rungsprozess gehören einerseits das Identifizieren weiterer relevanter Grö-ßen und andererseits das Finden konkreter Maße durch Recherche. Der Mo-dellierungsprozess der Schüler ist dadurch charakterisiert, dass sie die gege-bene Situation wie durch einen mathematischen Filter so zu fassen suchen, dass sie zu einer mathematischen Lösung durch Größen und Zahlen kom-men. Schüler geben allerdings auch Antworten, die ahnen lassen, dass ihnen eine andere Sichtweise nicht fremd ist: “… angenommen Herr Stein hat viel Zeit…. z. B. als Rentner“.  Beim zweiten Beispiel ist die hypothetische Nachbildung eines Körpers Ge-genstand und Ziel des Modellierens. Auch in diesem Fall ist die sogenannte Realproblemstellung bereits (vor-) mathematisiert. Es sind nämlich für die Größe „Länge“ verschiedene Daten gegeben, aus denen andere Daten für die Gesamtlänge zu ermitteln sind. Auch hier soll vermittels der zu bestimmen-den eine Antwort gefunden werden, die der „realen“ Welt zuzuordnen sind. Auf der Suche nach Modellierungsbeispielen, die den „Rest der Welt“ näher beleuchten könnten, bieten Landkarten reichhaltige und sehr unterschiedli-che Modellbeispiele zum Charakterisieren von Modellierungsprozessen. Landkarten stellen die Erdoberfläche (oder andere Himmelskörper) analog (klassische Landkarten) oder digital (im Raster- oder Vektorformat) dar, sind In J. Roth & J. Ames (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2014 (S. 819–822). Münster: WTM-Verlag819ein verkleinertes mit Beschreibungen und Zeichen versehenes Abbild und dienen ganz verschiedenen Zwecken. Karten sind das Ergebnis sehr komple-xer Arbeits- und Modellierungsprozesse und basieren auf geologischen Ba-sisdaten wie Raumphänomenen (z.B. Gelände, Meerestiefen, Küstenver-läufe, Verkehrswege) und weiteren Eigenschaften (wie Bodenarten und -nut-zung, Niederschlagsmengen und Wasserständen). Karten unterscheiden sich thematisch: z.B. Luftfahrt-, See- oder Wirtschafts- Karten mit ihren typi-schen deskriptiven Merkmalen. Unter der Perspektive mathematischer Mo-dellierungsaufgaben für den Mathematikunterricht stellen Karten verschie-dene Modelle mit diversen Abstraktionen für verschiedene Zwecke und dementsprechend auch für verschiedene Lösungen dar. Sie repräsentieren für jegliche, auch nicht mathematischen Zwecke, Modellierungen. Auch anhand dieser Beispiele wird deutlich, wie problematisch eine Trennung ist. Nimmt man weiter solche Entscheidungsprobleme in den Fokus, die nun vordergründig nichts mit Mathematik zu tun haben, etwa „Soll eine Brücke über einen Fluss gebaut werden?“ oder „Soll Frau X die Leitung einer be-stimmten Abteilung übernehmen?“, wird die Situation mindestens durch Co-dierungen so mathematisiert, dass sie sich nicht „im Rest der Welt“ und kei-neswegs außerhalb der Mathematik befindet.    Aus den in den Blick genommenen Modellierungsaufgaben wird ersichtlich, dass der „Rest der Welt“ in einem hohen Maße mathematikhaltig ist. Sie zeigen insbesondere, dass eine Trennung von Mathematik und der sogenann-ten Realität kein sinnvolles Konzept darstellt.  2. Bemerkungen zum Modell 1. Es ist weiterhin erstaunlich, dass in der einschlägigen Literatur bei diesem Diagramm ganz verschiedene Begriffe der Mathematik gegenübergestellt werden. Was könnte ihnen gemeinsam sein? Der Begriff der Realität, ein weitgehend etablierter Begriff in Philosophie und Wissenschaftstheorie, kann je nach Lesart die Mathematik vollständig enthalten. Weiter wird als Abwandlung auch der Begriff der Realwelt verwendet. Dass allen Begriffen Gemeinsame besteht darin, dass man sie der Mathematik gegenüberstellt. Offen bleibt, warum unterschiedliche Begriffe verwendet werden, obwohl sie Unterschiedliches bedeuten. Deshalb ist die Verwendung des Begriffes „Realität“ im Modellierungskreislauf weil genügend umfassend angebracht.  2. Zu Beginn der Bemühungen, das Anwenden von Mathematik im Unter-richt zu strukturieren, glaubte man, die Mathematik von „jener ‚Realität‘, [trennen zu müssen] auf die die Mathematik angewendet wird“ (Fi-scher/Malle, 1985, S.99). Dabei bezeichnen die Autoren den Verzicht auf die 820Trennung als naiv: „Bei dieser ‚naiven‘ Auffassung ergeben sich mathema-tische Begriffe und Verfahren unmittelbar aus der außermathematischen Re-alität und werden unmittelbar in dieser interpretiert“ (Fischer/Malle, 1985, S.104). Mehr Beachtung erfahren jedoch diejenigen Modellierungssche-mata, welche eine Trennung von Mathematik und Realität voraussetzen. Al-lerdings ist diese Trennung nicht notwendige Voraussetzung für eine Struk-turierung von Modellierungsprozessen.  3. Wenn an der Gegenüberstellung von Mathematik und der Realität festge-halten wird, welchen mathematikdidaktischen Zweck - im Mathematikunter-richt (modellieren), in der Lehrerausbildung (Modellieren lehren) - soll sie erfüllen? Wenn es darum geht, die Modellierungsschritte zu differenzieren, dann wird aus dokumentierten Schülerverhalten ersichtlich, dass sie nicht dem im Diagramm angezeigten Verlauf stringent folgen. Hält man am Dia-gramm fest, dann kann es zur Orientierung dienen. Bei oberflächlichem Ge-brauch hätte es die Rolle einer Schablone; sowohl für den Unterricht als auch in der Lehrerausbildung.  4. Schon bei Sachaufgaben wurden Lösungsschemata aufgestellt, die im Prinzip bereits zyklisch waren, primär aber zwei Ebenen (Sachebene, mathe-matische Ebene) voneinander unterschieden. Dabei sprach Winter (1989) vom Mathematisieren, wenn das in der Sachebene gestellte Problem auf die mathematisierte Ebene abstrahiert wurde. Bei diesem Prozess wurde die Ma-thematik nicht gegenübergestellt, sondern blieb Teil der Realität, wenn auch auf abstrakterem Niveau.  5. Beim Modellierungskreislauf spricht man von einem Prozess, der aus Teil-prozessen besteht, nämlich den Übergängen zwischen den einzelnen  Stadien z.B. Realität, Situationsmodell, mathematisches Modell. Prinzipiell besteht dabei das Problem, dass man Prozesse nur durch ihre „Produkte“, d.h. Schü-lerhandlungen, registrieren kann.    3. Erweiterte Sichtweise des Modellierens 1. Obwohl Fischer/Malle die Sichtweise, Mathematik nicht von der Realität getrennt wahrzunehmen, als naiv bezeichnen, kann man diese auch als wohl-begründet ansehen. Eine prinzipielle Trennung zwischen der Mathematik und der Realität ist nicht aufrechtzuerhalten, denn das Mathematisieren und Modellieren setzt ja Mathematik in der Realität voraus. Ganz offensichtlich ist dies in den Fällen, in denen aufgrund vorgegebener Größen weitere Grö-ßen zu berechnen sind. Hier ist eine Vormathematisierung, gewissermaßen eine Vormodellierung, evident. In anderen Fällen muss dies nicht so offen-sichtlich sein, etwa wenn es um qualitative Kategorien geht. So sind zum 821Beispiel Schulnoten ordinal skalierte Daten, die entsprechend geordnete (von sehr gut bis ungenügend) Qualifizierungen benennen. Die Grundan-nahme, dass Schülerleistungen vergleichbar sind, birgt bereits eine mathe-matische Struktur, hier im Sinne einer Ordnungsrelation. Weitere Beispiele sind solche, die auf eine Entscheidungsfindung abzielen. Das Entschei-dungskriterium kann sowohl von Größen abhängen (Verkehrsfrequenz bei einer Ampelinstallation) als auch von abstrakteren Strukturen wie etwa Prä-ferenzrelationen im Falle wirtschaftlicher Entscheidung. Hier müssen sub-jektive Kriterien - Präferenzen - formalisiert werden, mathematisch als Ord-nungsrelation, bevor eine sinnvolle Problemstellung formuliert werden kann. Das heißt: Jegliche Realität, auf die Mathematik angewendet werden kann, enthält per se mathematische Strukturen. Diese Sichtweise geht konform mit dem historischen Verhältnis zwischen mathematischem Wissen und der Re-alität. 2. Jedes Bild, was wir uns von der Realität machen können, kann als Modell angesehen werden, weil uns das Erkennen der gesamten Realität verwehrt ist. Ein solches Bild enthält zwangsläufig mathematische Strukturen: Die elementare Wahrnehmung des Raumes und der Gegenstände (Geometrie), die Möglichkeit des Zählens (Äquivalenzklassenbildung), das Messen mit-tels Größen (wobei beispielsweise Unterschiede beim Phänomen Zeit auftre-ten), das Ordnen und Klassifizieren, um nur Einiges zu nennen.  Daher beziehen sich die im Unterricht vorzunehmenden Modellierungen streng genommen stets auf „Vormodellierungen“. So können z.B. Größen ihrerseits als Resultate früherer Modellierungen der Realität aufgefasst wer-den. Wo also fängt Modellieren an?  Literatur Blum, W., Leiß, D. (2005): Modellieren im Unterricht mit der „Tanken“- Aufgabe, ma-thematik lehren, 128, 18-21 Fischer R., Malle G. (1985): Mensch und Mathematik, BI, Zürich Herget, Jahnke, Kroll (2001): Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht der Se-kundarstufe I, Berlin, Cornelsen Winter, H.(1985): Sachrechnen in der Grundschule, Bielefeld: CVK (Neuauflage Frank-furt/M. 1992 822

Gibt es Mathematik im Rest der Welt?

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