Meyer, Marco

Niehaus, Engelbert

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Marco MEYER, Engelbert NIEHAUS, Koblenz-Landau
Geographie und Mathematik: Räumliche Logik in 
Geoinformationssystemen
Räumliche Probleme aus der Geographie bieten zahlreiche Ansatzpunkte 
zur mathematischen Modellbildung,  die die Bereiche der Geometrie,  der 
Algebra,  der  Statistik  und  der  Analysis  für  die  Problemlösung  nutzen. 
Räumliche Probleme können über die Analyse von gesammelten Daten in 
Geoinformationssystemen  (GIS)  gelöst  werden.  Dabei  werden 
gesammelten  Daten  spezifische  Raumkoordinaten  oder  auch  Flächen 
zugeordnet.  Mathematische  Modelle  werden  in  geographischen 
Anwendungen  genutzt,  um  diese  Datensätze  auszuwerten.  Vorgestellt 
werden  spezielle  Aspekte  räumlicher  Logik,  die  die  Gültigkeit  von 
Aussagen für  bestimmte  Raumkoordinaten  nutzt.  Deren  Gültigkeit  kann 
mit Hilfe von Computeralgebrasystemen (CAS) im Raum veranschaulicht 
werden.
1. Geoinformationssysteme und mathematische Modellbildung
Ein  Geoinformationssystem  (GIS)  ist  ein  rechnergestütztes  System, 
welches aus Hardware,  Software,  Daten und Anwendungen besteht.  Mit 
diesem  können  Daten  digital  erfasst,  gespeichert,  reorganisiert  und 
räumlich  analysiert,  sowie  auf  diverse  Arten  ausgegeben  und  graphisch 
dargestellt werden.
Solche  Daten  können  als  Flächeninformationen  oder  auch  als 
Punktinformationen  vorliegen.  Bei  Flächeninformationen  ist  es  kein 
Problem  vorliegenden  Informationen  über  bestimme  Punkte  in  diesem 
Gebiet  zu  erhalten,  da  allen  Punkten  dieser  Fläche,  das  entsprechende 
Attribut  zugewiesen  wurde.  Im  Gegensatz  dazu  ist  es  bei 
Punktinformationen  nicht  ohne  weiteres  möglich,  Aussagen  über  das 
umliegende Gebiet zu erhalten.
Hierzu bedient man sich der Interpolation als mathematisches Hilfsmittel, 
um  diese  diskreten  Daten  zu  verstetigen  und  um  somit  Aussagen  über 
umliegende Gebiete zu ermöglichen.
Wichtig  ist  diese  Verstetigung  beispielsweise  im  Rahmen  einer 
Risikobewertung, bei der an bestimmten Punkten ein Risikofaktor aus den 
gemessenen  Werten  bestimmt  wurde.  Mit  Hilfe  des  Modells  kann  man 
dann eine Risikokarte für das gesamte Gebiet erstellen.
2. Logik und unscharfe Logik im Raum
In der klassischen Logik, kann man Aussagen den Wert 1 für wahr, bzw. 0 
für  falsch  zuordnen.  Im  GIS  werden  Koordinaten  in  der  xy-Ebene 
Wahrheitswerte  als  Attribut  zugeordnet.  Damit  ist  es  möglich  auch 
aussagenlogische  Regeln  auf  diese  Attribute  im  Raum  anzuwenden.  Es 
entsteht folgende Funktion:
Sieht man diese Funktion unter dem Gesichtspunkt der Risikobewertung, 
so  kann  man  sagen,  dass  jedem  Punkt  (x,y) ein  Risikowert  f(x,y) 
zugewiesen  wird.  Ein  Risiko  liegt  vor,  wenn  diesen  Koordinaten  das 
Attribut 1 zugeordnet wurde (mathematisch ist mit f ein aussagenlogisches 
Prädikat auf        gegeben).
Betrachtet  man  zum  Beispiel  Schadstoffe  in  der  Luft  oder  eine 
Ozonbelastung im Punkt (x,y), so kann man mit dieser scharfen logischen 
Struktur  nur  Aussagen  treffen,  ob  an  dem  Punkt  (x,y) ein  Grenzwert 
überschritten wurde (f(x,y)=1) oder nicht (f(x,y)=0). Graduelle Übergänge 
in der unmittelbaren Umgebung der risikobehafteten Koordinaten, sind so 
nicht ohne weiteres zu modellieren.
Geht man jedoch zur unscharfen Logik über, so kann man diese graduellen 
Übergänge durch ein "Risikogebirge" als Funktionsgraph von  f mit Hilfe 
der Interpolation realisieren. Die entstandene Funktion der Form
wird  als  Zugehörigkeitsfunktion  zur  entsprechenden  Fuzzymenge  "hohe 
Ozonbelastung" gedeutet. Damit ist es nun möglich, für jeden Punkt der xy-
Ebene einen Zugehörigkeitsgrad  zu  bestimmen  und damit  fuzzylogische 
Folgerung zu erzeugen.
Ein  Beispiel  für  eine  solche  fuzzylogische  Struktur  wäre  die  folgende 
Regel:
WENN Ozonbelastung hoch DANN Verringere körperliche Arbeit.
Der  linguistische  Wert  "Verringere  körperliche  Arbeit" wird  ebenfalls 
durch eine Funktion der Form
Mathematisch  gesehen,  erfolgt  eine  Auswertung  dieser  Regel  über  die 
Funktion:
Gilt  nun            so erhält man durch die oben genannte Regel einen 
Zugehörigkeitsgrad zum linguistischen Wert  Verringerung der körplichen  
Arbeit von  0.8.  Durch  Einsetzen  dieses  Funktionswerts  in  die 
Umkehrrelation  erhält  man  dann  den  zugehörigen  Wert.  Um  diesen 
Prozentsatz sollte die Arbeit reduziert werden, um kein Gesundheitsrisiko 
einzugehen.
Schülerinnen und Schülern sollen in  diesem Zusammenhang eine solche 
logische Auswertung räumlich im 3D-Graphen interpretieren können. Für 
diese Veranschaulichung verwendet man zwei bijektive, streng monotone 
Funktionen h und j, die jeweils von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen 
abbilden, da die Umkehrabbildungen existieren und eindeutig sind und man 
diese sehr gut graphisch veranschaulichen kann. Die Funktion h soll dabei 
die  Zugehörigkeitsfunktionen  zu  dem  linuguisten  Wert  "Ozonbelastung 
hoch"  sein,  j die  Zugehörigkeitsfunktion  zum  Wert  "Verringerung  der 
körperlichen Arbeit".
Als erstes berechnet man den Funktionswert von h an der Stelle x. Danach 
trägt  man im Graphen der  Funktion  j  diesen Wert  ab,  indem man eine 
Parallele zur x-Achse durch den berechneten Wert zeichnet. An der Stelle, 
an welchem diese Parallele den Graphen der Funktion j schneidet, fällt man 
das Lot auf die x-Achse und erhält damit den Wert für die Verringerung.
In  der  Anwendung  erhält  man  Risikobewertungen  im  Allgemeinen  von 
Experten, welche diese auch in der oben genannten linguistischen Struktur 
angeben.  Mit  Hilfe dieses Verfahrens,  ist  es möglich,  solche unscharfen 
Aussagen und damit das Expertenwissen, in ein mathematisches Modell zu 
implementieren.
3. Veranschaulichung von räumlicher Logik mit CAS
Für räumliche Interpretation logischer Zusammenhänge ist es hilfreich, die 
so entstandene Risikofunktion mit Hilfe eines CAS plotten zu lassen. Das 
visualisierte  Risikogebirge  kann  nun  als  zweite  Ebene  über  die 
ursprüngliche  Karte  im  GIS  gelegt  werden.  So  können  risikobehaftete 
Gebiete direkt anhand der Erhebungen abgelesen werden.  Jetzt ist es auch 
Schülerinnen und Schülern möglich ohne große Probleme Informationen 
aus dem Risikogebirge abzulesen und die vorhandenen Daten in einem 3D-
Graphen zu deuten.
So können von den Schülerinnen und Schülern beispielsweise Wege von 
einem Ort A zu einem Ort B geplant werden, welche nicht durch Gebiete 
mit hohem Risiko laufen sollen. Die Risikokarten können in diesem Fall 
wie  Landkarten  in  der  Geographie  gelesen  werden,  wobei  die  dritte 
Dimension nicht die Höhe über dem Meeresspiegel, sondern das Risiko an 
diesem Punkt (x,y) angibt.
4.  Wiki-Inhalte  für die  Behandlung von räumlicher  Logik mit  dem 
CAS Maxima
Eine  Verbindung  zwischen  den  Bereichen  Geographie  und  Mathematik 
stellt  die  räumliche  Logik  dar.  Die  notwendigen  mathematischen 
Werkzeuge  für  die  Abbildung  in  Geoinformationssystemen  findet  man 
nicht  in  aktuellen Schulbüchern.  In  einem Wiki  können Themen,  die in 
dieser Form nicht Gegenstand der mathematischen Ausbildung sind, bereits 
als  inhaltlicher  Prototyp  dargestellt  werden,  die  als  Startpunkt  für 
mathematische  Modellbildung  zwischen  Geographie  und  Mathematik 
verwendet werden können. Dadurch können innovative wissenschaftliche 
Ansätze  bei  räumlich-geographischen  Problemen  in  Schulprojekten 
eingesetzt werden. Dafür  ist  es notwendig,  dass im Wiki eine Anleitung 
vorgegeben wird,  wie die Schülerinnen und Schüler mit  einem CAS als 
Werkzeug umgehen können, um räumliche Logik zu visualisieren. In dem 
Wiki werden für die Schülerinnen und Schüler Hilfen gegeben, mit denen 
sie  die  Eingabe  der  Stützstellen  umsetzen  und  mit  Maxima  die 
Zugehörigkeitsfunktionen bzw. die Gültigkeit eines linguistischen Wertes 
in  einem  geographischen  Gebiet  veranschaulichen  können.  Für  das 
Verständnis von mehrdimensionalen Funktionen und das Interpretieren von 
3D-Graphen kann die Geographie wiederum als Veranschaulichungshilfe 
dienen, denn bei Landkarten wird funktional jedem Punkt der Ebene eine 
Höhe zugeordnet. Ziel der Nutzung des CAS ist es, logische bzw. fuzzy-
logische Verknüpfungen in ihren Auswirkungen im Raum zu untersuchen 
und zu veranschaulichen. Das CAS wird als Instrument zur Visualisierung 
räumlicher Strukturen verwenden.
5. Fazit
Die Themen Logik und Fuzzy-Logik tauchen im Lehrplan und damit auch 
in den Schulbüchern nicht auf. Jedoch stellt gerade die Fuzzy-Logik eine 
Möglichkeit  dar,  verbale  Aussagen  und  Folgerungen  aus  dem  Alltag 
mathematisch  zu  formulieren.  Da  man  die  linguistischen  Werte  durch 
Zugehörigkeitsfunktionen  darstellen  kann,  gelingt  es,  die  Leitidee  L4, 
Funktionaler  Zusammenhang,  des  Rahmenlehrplans  mit  einem  Problem 
aus der Realität zu verknüpfen. Durch die Implementierung dieser Regeln 
in  ein  GIS,  erreicht  man  einen  fächerübergreifenden  Aspekt  mit  der 
Geographie,  welche  die  Anwendungsprobleme  liefert.  Durch  die 
graphische  Veranschaulichung  dieser  Fuzzylogischen  Folgerungen  in 
einem  CAS ist  es  möglich,  dieses  Themas  auch  in  den  Klassenstufen, 
denen die analytischen Voraussetzungen zur Bearbeitung dieser Thematik 
fehlen,  zu  verwenden,  da  man  diese  mehrdimensionale  Funktionen  als 
Graph (Landkarte) interpretiert.
6 Literatur
[1] Rahmenlehrplan Mathematik, Klassenstufen 5 – 9/10, Ministerium für Bildung, 
Wissenschaft, Jugend und Kultur Rheinland-Pfalz (2007)
[2] Lehrplan Mathematik Grund- und Leistungsfach, Ministerium für Bildung, 
Wissenschaft und Weiterbildung Rheinland-Pfalz (1998)
[3] Nguyen, Hung T., Walker, Elbert A., A First Course in Fuzzy Logic, CRC Press 
Inc., Boca Raton, (1997)
[4] Biewer, Benno, Fuzzy Methoden, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg (1997)
[5] Meyer, Marco, Niehaus, Engelbert, Förderung von Schüler(-inne)n mit besonderer 
mathematischer Begabung am Beispiel der Fuzzy-Theorie, (2008)
[6] Frey, Karl, Die Projektmethode, 10.Auflage, Beltz, Weinheim (1982, 1990, 2005)


Geographie und Mathematik

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/31484/1/183.pdf

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