Böcherer-Linder, Katharina

Eichler, Andreas

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

In J. Roth & J. Ames (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2014 (S. 209–212).  Münster: WTM-Verlag  Katharina BÖCHERER-LINDER, Andreas EICHLER, Freiburg Der Einfluss der Visualisierung auf den Wissenserwerb im Bereich bedingte Wahrscheinlichkeit Hintergrund „Representation and visualization are at the core of understanding in ma-thematics“ (Duval, 2002, S. 312). Dass die Visualisierung, hier verstanden als die grafische Repräsentation eines mathematischen Objekts oder Ver-fahrens, einen erheblichen Einfluss auf das Lernen von Schülerinnen und Schülern haben kann, ist in der mathematikdidaktischen Forschung unbe-stritten. Dennoch ist hier wie auch in der psychologischen Forschung eben-so unbestritten, dass eine Visualisierung nicht per se auf den Lernerfolg wirkt, sondern ihre Güte wie auch die Güte ihrer Verknüpfung mit dem ma-thematischen Objekt entscheidend ist (z.B. Ainsworth, 2006; Presmag, 2006). Damit besteht für die mathematikdidaktische Forschung einerseits die Frage, welche von möglicherweise mehreren Visualisierungen für einen Themenbereich den höchsten Lernerfolg verspricht, andererseits die Frage, welcher Art der adressierte Lernerfolg ist. In dem hier beschriebenen Forschungsprojekt, das Teil der Promotionskol-legs VisDeM (Visualisierungen im Deutsch- und Mathematikunterricht) ist, wollen wir beiden Fragen nachgehen. Dies geschieht bezogen auf das Thema der bedingten Wahrscheinlichkeiten, einem Bereich, in dem einer-seits Visualisierungen potentiell Lernhürden beseitigen können und in dem andererseits bereits empirische Untersuchungen zur Wirksamkeit von Vi-sualisierung, dem Einheitsquadrat und dem Baum mit absoluten Häufigkei-ten, bestehen (Bea, 1995; Sedlmeier & Gigerenzer, 2001). Visualisierungen im Themenbereich bedingte Wahrscheinlichkeit Beim Umgang von Erwachsenen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ergaben Studien von Sedlmeier und Gigerenzer (2001) die langfristig höhe-re Effektivität des Baumes mit absoluten Häufigkeiten gegenüber dem Wahrscheinlichkeitsbaum beim Rückwärtsschließen auf Grundlage beding-ter Wahrscheinlichkeiten. Dies wurde auch auf Schulebene durch die Ar-beit von Wassner (2004) bestätigt. Die Überlegenheit des Baumdiagramms mit absoluten bzw. natürlichen Häufigkeiten gegenüber dem Wahrschein-lichkeitsbaum wird zum einen mit der Repräsentation der Information (na-türliche Häufigkeiten) erklärt (Gigerenzer & Hoffrage, 1995), zum anderen mit der grafischen Hilfe des Baumes, die eine sequentielle Strukturierung der Information ist (Sedlmeier & Gigerenzer, 2001). Die nachgewiesene Überlegenheit bezieht sich dabei auf das Lösen von Rechenaufgaben zur 209 Formel von Bayes in verschiedenen Kontexten und damit auf das proze-durale Wissen (Hiebert & Carpenter, 1992). Andererseits belegt die Untersuchung von Bea (1995) die höhere Wirk-samkeit des Einheitsquadrates gegenüber dem Wahrscheinlichkeitsbaum hinsichtlich der langfristigen Qualitätsverbesserung stochastischen Den-kens mit Bezug auf bedingte Wahrscheinlichkeiten. Der Vorteil des Ein-heitsquadrates ist dabei darin zu sehen, dass das Einheitsquadrat als eine statistische Grafik die Größenverhältnisse darstellt und somit eine struktu-relle Visualisierung auch der Formel von Bayes bietet. Die Ergebnisse von Bea (1995) zeigen, dass das Einheitsquadrat gegenüber dem Wahrschein-lichkeitsbaum sowohl hinsichtlich der Förderung des prozeduralen Wissens als auch bezogen auf das Verständnis und die Problemlösefähigkeit im Sinne eines konzeptuellen Wissens (Hiebert & Carpenter, 1992) überlegen ist. Bezogen auf die bisherigen Forschungsergebnisse bleibt die Frage beste-hen, welche der beiden Visualisierungen (Baum, Einheitsquadrat) wirksa-mer hinsichtlich des Lernerfolgs von Schülerinnen und Schülern ist und zwar getrennt nach prozeduralem und konzeptuellem Wissen. Vorab ver-muten wir, dass das Einheitsquadrat wirksamer das konzeptuelle Wissen fördert, während sich der Baum (mit natürlichen Häufigkeiten) hinsichtlich des Aufbaus prozeduralen Wissens überlegen zeigt. Forschungsmethode Die Wirksamkeit der Visualisierungen auf den Wissenserwerb wurde in einer Pilotstudie in einem quasi-experimentellen Design in einem einheitli-chen Setting untersucht und verglichen. Hierfür wurde eine Intervention mit Lehramtsstudierenden für die Sekundarstufe I an der PH Freiburg durchgeführt. Das Treatment bestand aus zwei Lerneinheiten von je 60 Mi-nuten, die sich allein in der Visualisierung unterschieden. In der ersten In-terventionsgruppe (N=21) wurde das Einheitsquadrat bzw. eine gewichtete Vierfeldertafel eingesetzt, in der zweiten Gruppe (N=22) das Baumdia-gramm mit absoluten Häufigkeiten. Es wurde ein Vortest und ein Nachtest durchgeführt. Die Tests waren bis auf die eingesetzten Visualisierungen identisch. Dabei wurden eine A- und eine B-Version in einem Überkreuz-design verwendet. Ausgehend davon, dass die beschreibende Statistik Verständnisgrundlage für die schließende Statistik ist (Meyer, 2008), bezogen sich die Interven-tionen und die Testaufgaben auf einen Bereich, der Verständnisgrundlage für den Themenkomplex bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes ist. Dabei ging es darum, Aussagen in bivariaten Situationen zu verstehen 210 und zu bewerten. Es wurden Größenverhältnisse innerhalb eines Datensat-zes in den Blick genommen. An einer Beispielaufgabe (Abb.1) zeigt sich, wie das Verständnis für den Einfluss der Basisrate („Die meisten Patienten sind gesund“) und das Problem der Diagnose seltener Ereignisse bzw. das Rückwärtsschließen („Die meisten positiv getesteten Patienten sind ge-sund“) angebahnt werden kann, ohne sich unmittelbar auf die Formel von Bayes zu beziehen (Sedlmeier & Gigerenzer, 2001).  Abb. 1: Beispielaufgabe mit Visualisierungen Einheitsquadrat und Baum  In unserer Pilotstudie haben wir uns darauf beschränkt, das Einheitsquadrat als Anschauungshilfe so zu skizzieren, dass die Größenverhältnisse unge-fähr wiedergegeben werden. Auf eine exakte Konstruktion haben wir ver-zichtet. Ergebnisse In der Pilotierung wurden sowohl im Vor- als auch im Nachtest ausschließ-lich Items mit Verständnisfragen zu bivariaten Zusammenhängen und keine Routine- oder Rechenaufgaben eingesetzt. Daher wurden alle Testaufgaben auf den Erwerb von konzeptuellem Wissen bezogen. Insgesamt haben sich die Testitems überwiegend als zu leicht für die Stichprobe erwiesen, da deutliche Deckeneffekte zu beobachten waren. Durch die fehlende Varianz waren erwartungsgemäß eine Skalenbildung sowie der Nachweis eines überzufälligen Unterschieds der Interventionsgruppen schwierig. Mit Hilfe der Pilotierung konnte unsere Eingangshypothese, dass das Ein-heitsquadrat für den Erwerb konzeptuellen Wissens überlegen ist, nicht be-urteilt werden. Allerdings geben die Ergebnisse der Pilotierung einen Hin-211 weis darauf, dass es lohnenswert sein könnte, die genannte Hypothese wei-ter zu untersuchen. So zeigte sich bei einzelnen Testitems durchaus eine leichte wenn auch nicht signifikante Überlegenheit des Einheitsquadrates. In dem oben genannten Testitem aus dem Nachtest (Abb.1) zum Beispiel erreichte die Einheitsquadratgruppe im Schnitt 5,71 Punkte, die Baumdia-grammgruppe 5,36 Punkte (p = 0,116). Diese höhere Wirksamkeit des Ein-heitsquadrates ist insofern bedeutsam, als für fast alle Studierenden das Einheitsquadrat neu und unbekannt war, wohingegen das Baumdiagramm fast allen Studierenden schon vor der Intervention vertraut war. Ausblick Geplant ist eine Interventionsstudie mit Schülerinnen und Schülern der Klassenstufe 10 am Gymnasium. Hier sollen nicht nur die Verständnis-grundlagen sondern auch der Satz von Bayes direkt in den Blick genom-men werden. Die Intervention und der Test werden weiterentwickelt, so dass sowohl prozedurales als auch konzeptuelles Wissen erhoben werden kann. Mit den Erfahrungen der Pilotierung soll zudem die Spannweite der Aufgabenschwierigkeiten vergrößert werden. Literatur Ainsworth, S. E. (2006). DeFT: A conceptual framework for considering learning with multiple representations. Learning and Instruction, 16, 183–198. Bea, W. (1995). Stochastisches Denken. Frankfurt a.M.: Lang. Duval, R. (2002). Representation, vision and visualization: Cognitive functions in mathematical thinking. In F. Hitt (Hrsg.), Representation and mathematics visualiza-tion (S. 311-336). North American Chapter of the International Group for the Psy-chology of Mathematics Education.  Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995). How to Improve Bayesian Reasoning Without Instruction: Frequency Formats. Psychological Review, 102, 4, 684-704. Hiebert, J. & Carpenter, T.P. (1992). Learning and Teaching with Understanding. In D. Grouws (Hrsg.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (S. 65-97). New York: Macmillan. Meyer, J. (2008). Bayes in Klasse 9. In A. Eichler & J. Meyer (Hrsg.), Anregungen zum Stochastikunterricht, Band 4 (S. 123-135). Hildesheim: Franzbecker. Presmag, N. (2006). Research on visualization in learning and teaching mathematics. In A. Gutierrez & P. Boero (Hrsg.), Handbook of research on the psychology of mathe-matics education (S. 117-146). Rotterdam: Sense Publishers. Sedlmeier, P. & Gigerenzer, G. (2001). Teaching Bayesian Reasoning in Less Than Two Hours. Journal of Experimental Psychology: General, 130, 3, 380-400. Wassner, C. (2004). Förderung Bayesianischen Denkens. Hildesheim: Franzbecker. 212

Der Einfluss der Visualisierung auf den Wissenserwerb im Bereich bedingte Wahrscheinlichkeit

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/33083/1/BzMU14-4ES-Boecherer-Linder-229.pdf

Der Einfluss der Visualisierung auf den Wissenserwerb im Bereich bedingte Wahrscheinlichkeit

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