Söbbeke, Elke

Eldorado - Repository of the TU Dortmund

Elke SÖBBEKE, Universität Duisburg-Essen„Sehen und Verstehen“ im Mathematikunterricht -Zur besonderen Funktion von Anschauungsmitteln für das Mathematiklernen I Rolle der Anschauungsmittel für das Mathematiklernen In den letzten zwanzig Jahren ist im Mathematikunterricht der Grundschu-le ein grundlegender Paradigmenwechsel erfolgt, der ausgelöst wurde durch eine neue Sicht auf Lernprozesse aber auch durch ein neues Ver-ständnis der (Schul-) Mathematik. In diesem Zusammenhang wurde die Überwindung eines eher traditionellen Rechenunterrichts angestrebt, der vor allem dem Aufbau von rezeptbasierten Rechenfertigkeiten diente, und eine Hinwendung zu einem aktiv gestalteten Unterricht, in dem Kinder Mathematik entdecken, beschreiben und begründen. Mit diesem Paradig-menwechsel einhergehend hat sich auch ein bedeutsamer Perspektivwech-sel hinsichtlich der Rolle, Nutzung und Funktion von Materialien und An-schauungsmitteln im Mathematikunterricht vollzogen. Ihr Status hat sich gewandelt von Werkzeugen des Lehrens zu Werkzeugen des Lernens(Krauthausen & Scherer 2001). Dieser Wandel soll im Folgenden in eini-gen Kernpunkten aufgezeigt werden, da er grundlegend für das vorliegen-de Forschungsinteresse ist.Anschauungsmittel als LehrmittelIn einem Unterricht, der durch ein eher traditionelles Verständnis von Ler-nen und Mathematik geprägt ist, ist der Einsatz von Anschauungsmitteln mit der Hoffung und Intention verbunden, dass der tätige Umgang mit ent-sprechenden Materialien in einer weitgehend direkten und einfachen Weise das mathematisch relevante Wissen an das Kind vermitteln kann. Mathe-matik wird in einem solchen Kontext als eine Ansammlung fertiger Re-geln, Verfahren und Sätze verstanden, die von der Lehrperson mit Hilfe geeigneter Materialien an die Schüler Stück für Stück übergeben werden könnte. Eine solche Auffassung, dieses ist hinlänglich bekannt, entspricht nicht mehr den heutigen Kenntnissen über Lernprozesse, die als aktive und indi-viduelle Konstruktionen verstanden werden. Insofern weiß man heuteauch, dass ein mathematischer Begriff nicht in direkter Weise vom An-schauungsmittel „in den Kopf des Kindes“ transportiert werden kann, son-dern, dass hierzu ein aktiver und individueller Deutungs- und Konstrukti-onsprozess notwendig ist.Mathematik als LernmittelMathematik heute wird zunehmend als eine Wissenschaft der Muster, Be-ziehungen und Strukturen gesehen (vgl. Wittmann 2003). Demzufolge handelt es sich bei den Inhalten der Mathematik nicht um konkrete Objek-te, die mit Hilfe verschiedenster Instrumente untersucht werden können (wie dieses etwa in anderen Naturwissenschaften der Fall ist); vielmehr sind die Inhalte der Mathematik von abstrakter Natur. Diese Besonderheit des mathematischen Wissens macht ein vermittelndes Medium notwendig, um mit Kindern überhaupt über die abstrakten Inhalte und Begriffe spre-chen oder nachdenken zu können. Durch einen handelnden und mentalen Umgang mit solch „vermittelnden“ Medien - den Anschauungsmitteln -soll das Kind unterstützt werden, adäquate mentale Vorstellungsbilder e-ben dieser abstrakten mathematischen Inhalte aufzubauen. Anschauungsmittel sind vor diesem Hintergrund nicht mehr nur Hilfsmittel zum Rechnen, vielmehr erweitert sich ihre Funktion substanziell durch diese neue Sicht auf Mathematik: Wird Mathematiklernen verstanden als ein Prozess der zunehmend differenzierter werdenden Verstehens- und Deutungsweise der Kinder von abstrakten Mustern und Strukturen (vgl. Steinbring 2005), dann haben Anschauungsmittel keinen rein didaktischen oder methodischen Status mehr, sondern einen epistemologischen. Anschauungsmittel als methodische Hilfsmittel oder als epistemologi-sche WerkzeugeIn diesem ersten Beispiel dient das Anschauungsmittel in erster Linie da-zu, die Lösung der gestellten Additionsaufgabe zu finden. Zunächst soll indem Anschauungsmittel der zweite Summand durch Einzeichnen ergänzt werden, dann kann mit Hilfe des Materials die Summe und hiermit die Lö-sung der Rechenaufgabe bestimmt werden. Im Ganzen stehen bei die-ser Funktion die konkre-ten Eigenschaften des Materials (wie zum Bei-spiel die Anzahl der Punkte) im Vorder-grund, die in blau und rot gefärbt und an-schließend abgezählt werden können.Male und rechne.Abb. 1: Anschauungsmittel als methodisches  Hilfsmittel.In dem nachfolgenden zweiten Beispiel wird wieder ein Punktefeld als An-schauungsmittel genutzt; auch hier finden sich Punkte in roter und blauer Färbung. Jedoch sollen hier nicht die konkreten Eigenschaften des Materials im Mittelpunkt der Be-trachtung stehen, sondern das Abstrakte, die Beziehungen und Strukturen im Material: In der Abbildung sind somit nicht die Farben an sich das Bedeutende, auch die Anordnung der Punkte ist nicht aus ästhetischen Gründen das Entscheidende für eine mathematische Einsicht; es ist vielmehr die Funkti-on, die die konkrete Eigenschaft des Materials für etwas übernimmt. Wel-che Funktion ist dieses in dem Beispiel? Die Anordnung der Plättchen in den Zahldarstellungen ermöglicht die Deutung einer übergeordneten Be-ziehung: die Addition zweier ungerader Zahlen ergibt eine gerade Zahl und dieses muss - und das eröffnet nur die abstrakte Struktur der Darstellung -immer so sein. Das heißt, die Struktur der Darstellung ermöglicht eine Ein-sicht in eine mathematische Gesetzmäßigkeit; aber sie ist nicht direkt ab-lesbar oder konkret sinnlich erfahrbar; sie muss aktiv in die Darstellung hineingedeutet werden.Eine solches Erkunden und Deuten von Beziehungen und Strukturen und eine damit verbundene relationale Sicht auf Zahlen und Operationen ist aus mathematischer Sicht unerlässlich, um in den nachfolgenden Schuljahren für die elementaren arithmetischen Operationen überhaupt wirkungsvolle Rechenstrategien entwickeln zu können. Kinder sollten folglich bereits in der Grundschule lernen, ein konkretes Material zunehmend in seiner Funk-tion als Repräsentation mathematischer Strukturen zu sehen. Hierzu muss das lernende Kind auf der Grundlage seines alten Wissens die repräsentier-te mathematische Struktur aktiv in das Anschauungsmittel hineindeuten, sie kann nicht einfach und direkt abgelesen werden. Ein Verständnis solch abstrakter Beziehungen und Strukturen entwickelt sich nicht automatisch oder spontan im Unterricht, indem Kinder mit Anschauungsmitteln arbei-ten, sie muss explizit erarbeitet werden. Diese Fähigkeit stellt eine an-spruchsvolle, aber fundamentale Basiskompetenz des mathematischen Denkens insgesamt dar. Genau hier, in dieser für Kinder anspruchsvollen Fähigkeit liegt das Forschungsinteresse der vorliegenden Studie.Abb. 2: Anschauungsmittel als Denkmittel.II Strukturen deuten, erkunden und beschreiben – die visuelle Strukturierungsfähigkeit –Der Schwerpunkt des abgeschlossenen Forschungsprojektes lag in einer epistemologisch orientierten Analyse der Wirkungsweise von Anschau-ungsmitteln für das mathematische Denken von Grundschulkindern. In diesem Kontext wurde untersucht, wie Anschauungsmittel als Erkenntnis-mittel wirken und zwar speziell bezogen auf den besonderen theoretischenCharakter des mathematischen Wissens. Vor diesem Hintergrund wurde das theoretische Konstrukt „visuelle Strukturierungsfähigkeit“ entwickelt. Es reflektiert die oben dargestellten theoretischen Überlegungen und cha-rakterisiert die kindliche Fähigkeit, aktiv Strukturen in ein Anschauungs-mittel hineinzudeuten und zwar in einer Spanne von einer eher empiri-schen Sicht auf das konkrete Objekt, bis hin zu einer abstrakten Sicht auf Beziehungen und Strukturen.Design der StudieIn einer Voruntersuchung wurden zunächst 60 Kinder des 2. Schuljahres mit Hilfe eines Paper-Pencil-Tests1 untersucht. Im Anschluss hieran folgte die Hauptstudie, in der klinische Interviews mit 15 Kindern des 1. bis 4. Schuljahres durchgeführt wurden (vgl. hierzu ausführlich Söbbeke 2005).AnalyseverfahrenFür die Analyse der Interviews waren zwei Perspektiven zentral:1.) Ein Anschauungsmittel kann grundsätzlich zwei verschiedene Rollen  für das Kind einnehmen: es kann einen vertrauten Kontext darstellen, den das Kind nutzt, um sich neue mathematische Begriffe zu erschließen; es kann desgleichen ein für das Kind neues Zeichen/Symbol darstellen, das es mit ihm vertrauteren (beispielsweise arithmetischen) Kenntnissen zu deu-ten versucht. Im ersten Teil der Interviewanalyse erfolgte aus diesem Grund eine epistemologisch orientierte Analyse, in der jeweils herausgear-beitet wurde, ob das Anschauungsmittel die Rolle des vertrauten Referenz-kontextes oder die des zu deutenden Zeichen/Symbols einnimmt. Hierzu wurde das von Steinbring entwickelte „epistemologische Dreieck“ (vgl. Steinbring 2005, Abb. 1 Der Paper-Pencil-Test wurde von H. Steinbring im Rahmen eines Comenius-Projektes entwickelt und in einer Praxiskooperation mit drei Lehrerinnen in Form eines informel-len Fragebogens eingesetzt. Das Material des Tests wurde für eine erste qualitative Ana-lyse, Theoriebildung und Begriffspräzisierung genutzt.Gegenstand /  Zeichen /                                                     Referenzkontext                  SymbolBegriffAbb. 3: Steinbring 2005.3) als Analyseinstrument herangezogen (vgl. hierzu ausführlich Söbbeke 2005).2.) Im Prozess der aktiven Auseinandersetzung von Kindern mit einem Anschauungsmittel zeigen sich Elemente empirischer und strukturorien-tierter Deutungen in vielfältigen Mischungen. Diese Herangehens- und Deutungsweisen zu beschreiben, war das zweite Anliegen der Interview-analyse und erfolgte mit Hilfe eines Kategorienmodells. Abb. 4: Kategorienmodell.Die Analysekategorien wurden rekonstruktiv aus dem erhobenen Datenma-terial entwickelt und dienten als Indizien für ein empirisches oder struktur-orientiertes Herangehen der Kinder. Sie stellten das leitende Fundament der Interpretation dar.III ErgebnisseDurch detaillierte Analysen war schließlich eine Typenbildung der unter-schiedlichen Deutungs- und Erkundungsweisen der Kinder möglich, und es konnten vier verschiedene Ebenen der visuellen Strukturierungsfähig-keit beschrieben und gegeneinander abgegrenzt werden. Im Folgenden sol-len diese vier Ebenen (stark verkürzt) anhand exemplarischer Schülerdo-kumente erläutert werden.Ebene I: Ebene konkret empirischer Deutungen In Phasen, die der Ebene konkret empirischer Deutungen zugeordnet wer-den, fehlt eine strukturelle „Gesamtsicht“ auf das Medium. Es werden kei-ne Strukturen in das Anschauungsmittel hineingedeutet, vielmehr domi-niert eine Sicht auf Einzelelemente und konkrete Objekte, die verbunden ist Kategorienmodell der visuellen StrukturierungsfähigkeitVisuelle StrukturierungDeutungselemente Nutzung der DeutungselementeDeutung von Einzelelementen Nutzung der Elemente als konkrete ObjekteDeutung von individuellen Strukturen / StruktureinheitenNutzung mit stark zerlegender Gliederung / Strukturierung der DarstellungDeutung von intendierten Strukturen /StruktureinheitenNutzung von Teilaspekten / Teilen der DarstellungDeutung von Substrukturen Nutzung von strukturellen Beziehungenzwischen Elementen Strukturelle Koordination der ElementeStrukturelle UmdeutungenAbb. 6: Paul vergleicht 2 Punktefelder.Kannst du denn in diesem Bild (tippt auf das 2. Punktefeld) auch die 3, 6, 9, äh, 12, 15 sehen? Ähm, da kann man nur 5 (.) und 10 und die 15 se-henIntervPaulmit einer starken Zergliederung der Darstellung. Die Einzelelemente ste-hen weitgehend isoliert nebeneinander, ohne dass sie strukturell miteinan-der koordiniert oder in Beziehungen zueinander gesetzt würden. Zudem finden keine echten strukturbezogenen Umdeutungen statt. Das Kind be-schreibt das empirisch Fassbare eines Anschauungsmittels, wie etwa die Anzahl der abgebildeten Elemente, und konstruiert hier-von ausgehend eine Rechenauf-gabe. Ebene II: Ebene des Zusammenspiels von partiell empirischen Deutun-gen mit ersten strukturorientierten DeutungenIn Deutungsphasen dieser Ebene löst das Kind seine Interpretationen par-tiell von den konkreten Aspekten der Darstellung und richtet seine Auf-merksamkeit vermehrt auf abstrakte Beziehungen und Strukturen. Neben Beschreibungen, die sich auf konkrete Eigenschaften des Materials beziehen (hier z.B. die Anzahl der Punkte in den waagerechten Reihen) werden erste Strukturen in die Dar-stellung hineingedeutet, die zum Teil weitgehend isoliert neben-einander stehen (im 1. Punktefeld nur 3er-, im 2. Feld nur 5er-Reihen). In Ansätzen werden erste Beziehungen zwischen Struktureinheiten gesehen oder diese miteinander koordiniert. Es werden keine strukturellen Umdeu-tungen expliziert (Paul kann nicht die 3,6,9,12,15 im 2. Feld sehen).Ebene III: Ebene strukturorientierter Deutungen mit zunehmender, flexibler Nutzung von Beziehungen und Umdeutungen In Phasen dieser Ebene deuten Kinder aktiv Strukturen in ein Anschauungsmit-tel hinein, erkunden und beschreiben diese. Hierbei werden verschiedene As-pekte des Datenmaterials in die Überle-gungen einbezogen. Abb. 5: Miras Aufgabe zur Darstellung.Abb. 7Katrins Aufgaben:56 + 44=25 + 31=28 + 28=Im Vergleich zu der zweiten Ebene werden die Strukturen insgesamt viel-fältiger konstruiert und flexibler umgedeutet. Die Struktureinheiten stehen nicht isoliert nebeneinander, sondern werden als Teile des Ganzen gese-hen, strukturbezogen zerlegt, zusammengefügt und miteinander koordi-niert. Auf dieser Ebene zeigt sich - im Vergleich zur vierten Ebene - keine umfassende Sicht auf vielfältigste Dimensionen der Darstellung, da z.B. ausschließlich additive Strukturen in die Darstellung hineingedeutet wer-den.Ebene IV: Ebene strukturorientierter, relationaler Deutungen, mit um-fassender Nutzung von Beziehungen und flexiblen UmdeutungenDas Kind zeigt eine umfassende Sicht auf vielfältige Dimensionen der Darstellung und konstruiert aktiv ver-schiedenste Beziehungen und Strukturenin die Darstellung hinein. Es werden kom-plexe, umfassende Umdeutungen vorge-nommen und begründet. Die Kinder ver-weisen in ihren Beschreibungen auf Strukturen sowie Muster und benennen vielfältige alternative Deutungen. In dem Beispiel finden sich etwa additive aber auch multiplikative Strukturierungen der Darstellung wieder, die weitere Einblicke in mathematische Gesetzmäßigkeiten eröffnen könnten. Grundverständnis der Nutzung dieses Modells ist, dass die vier Ebenen der visuellen Strukturierungsfähigkeit nicht als festgelegte Entwicklungsstufen zu verstehen sind, die in einer vorgegebenen Reihenfolge durchlaufen werden müssten. Die Zuordnung einer kindlichen Deutung zu einer be-stimmten Ebene gibt nicht in generalisierender Weise die Komplexität der visuellen Strukturierungsfähigkeit dieses Kindes wieder, vielmehr eröffnet sie ein differenziertes Bild, das die Bandbreite der Herangehensweisen ei-nes Kindes – ausschließlich bezogen auf den spezifischen Aufgabenkon-text und die jeweilige Deutungsphase – beschreibt. IV.  Resümee & Ausblick 1.) Die detaillierten Analysen zeigen eindrucksvoll, dass die verwendeten Anschauungsmittel für die Kinder noch weitgehend unerschlossene Me-dien darstellten, die erst im Verlauf der Interaktion aktiv einer neuen Sinn-generierung unterzogen wurden. Anschauungsmittel werden nicht in einem traditionellen Sinne gelernt, indem ihre Bedeutung von der Lehrerin über-mittelt und von den Kindern auswendig gelernt wird, vielmehr verändert sich die Deutung von Anschauungsmitteln immer im Kontext ihrer jewei-Abb. 8Tims Aufgaben:25+15+10+640+167x8 8x7ligen Gebrauchsweise und Deutungskultur. 2.) In den Fallstudien - das heißt in der Kommunikationssituation des klini-schen Interviews - zeigten sich keine Deutungen, die ausschließlich Ebene I zugeordnet werden konnten. In der Gesprächssituation wurden durch die Kinder immer erste Ideen einer Strukturierung der Darstellung geäußert. Das unter Ebene I vorgestellte Beispiel entstammt dem Paper-Pencil-Test der Voruntersuchung, bei dem das Kind alleine arbeitete, ohne mit anderen Kindern oder der Lehrperson in einem kommunikativen Kontext andere Deutungsmöglichkeiten zu erfahren. Es ist aufgrund dessen zu vermuten, dass die unterschiedlichen Kontexte einen Einfluss auf die Deutungen der Kinder haben. Die impliziten Erwartungen der Kinder, was eine richtige und falsche Deutung oder Bearbeitungen der Aufgabenstellung ist, muss folglich erweitert werden, indem sie durch eine neue Unterrichtskultur er-fahren, dass verschiedene Deutungsmöglichkeiten möglich und hilfreich sind, um daran neue mathematische Aspekte zu verstehen. An diesem Handlungsfeld setzt auch eine neue Interventionsstudie an, in der Aufgabenformate entwickelt, erprobt und evaluiert werden, die An-schauungsmittel selbst zu einem „Thema“ des Unterrichtes machen und die es ermöglichen sollen, gemeinsam mit und über Anschauungsmittel ins Gespräch zu kommen. Durch einen solchen Umgang mit Anschauungsmit-teln sollen Kinder nach und nach lernen, dass diese mehr sind als Bilder, die ihnen das Rechnen erleichtern. Durch kindgerechte Gespräche über Strukturen und Beziehungen in einem Anschauungsmittel, kann auch bei Grundschulkindern ein erstes Verstehen der epistemologischen Idee von symbolischen Repräsentationen angelegt werden.LiteraturKrauthausen, G. & Scherer, P. (2001): Einführung in die Mathematikdi-daktik. Heidelberg, Berlin: Spektrum. Söbbeke, E. (2005): Zur visuellen Strukturierungsfähigkeit von Grund-schulkindern – Epistemologische Grundlagen und empirische Fallstu-dien zu kindlichen Strukturierungsprozessen mathematischer Anschau-ungsmittel. Hildesheim: Franzbecker.Steinbring, H. (2005): The Construction of New Mathematical Knowledge in Classroom Interaction – an Epistemological Perspective, Mathematics Education Library (MELI), No. 38. Berlin, New York: Springer.Wittmann, E. Ch. (2003): Was ist Mathematik und welche pädagogische Bedeutung hat das wohlverstandene Fach auch für den Mathematikun-terricht der Grundschule. In: M. Baum & H. Wielpütz (Hrsg.): Mathe-matik in der Grundschule - Ein Arbeitsbuch. Seelze: Kallmeyer, 18-46.

"Sehen und Verstehen" im Mathematikunterricht

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