Tichá, Marie

Eldorado - Ressourcen aus und für Lehre, Studium und Forschung

Marie TICHÁ, Praha 
Wir lernen die Missverständnisse und Fehlvorstellungen  
der Studenten zu beheben  
Einleitende Anmerkungen  
Mathematik wird zum Bestandteil vieler Lebensbereiche. Deswegen 
wächst der Wert der Erreichung der mathematischen Kultur. Dies stellt 
hohe Ansprüche an  die Lehrer. Deshalb versuchen wir die Wege, wie die 
professionelle Kompetenzen der Lehrer zu kultivieren. In der bisherigen 
Forschung haben wir gezeigt, dass eine bedeutende Rolle der 
fachdidaktischen Kompetenz, also der Kenntnis des Inhaltes und des 
didaktischen Zugriffes zum Inhalt und der Geltendmachung dieser 
Kenntnisse in der Schulpraxis zugemessen wird (Tichá, Hošpesová, 2006).  
Über eine Episode aus dem Unterricht 
Die Notwendigkeit der hochrangigen fachdidaktischen Kompetenz 
manifestierte sich deutlich in Experimenten die innerhalb des Milieus der 
Brüche durchgeführt waren. Zum Beispiel die Lehrerin schlug ein 
Experiment vor: „Ich verteile an jeden Schüler einen Papierstreifen, der in 
vier gleich grosse Teile geteilt wird. Dann frage ich, was die Schüler sehen. 
Ich werde feststellen, ob beim allmählichen Papierfalten die Schüler über 
Brüche sprechen anfangen. Und auch ob die Schüler denselben Teil 
bezeichnen, z. B. eine Hälfte und zwei Viertel, vier Achtel“ (näher in 
Hošpesová, Tichá, 2005). Die Lehrerin stellte den Schülern Fragen, die 
man auf verschiedene Weise beantworten konnte, sie aber selbst 
akzeptierte nur einige und lehnte Antworten, die Möglichkeiten weiterer 
Überlegungen und einer tieferer Einsicht in die Situation boten, ab. Sie war 
nicht fähig an die Antworten der Schüler zu reagieren, die Vorschläge die 
darin beinhaltet waren auszunützen und die Schüler zum Fazit, zu 
Begründung/Argumentation zu leiten. Das Thema des Experiments selbst 
ist sehr stimulierend, deswegen wird mit diesem Thema in Seminaren 
gearbeitet. Die Studenten der Fachrichtung Grundschullehrer erfahren, dass 
wenn die Kenntnisse des Lehrers nicht ausreichend gründlich sind, kann 
man das Potential der Vorlage nicht auslasten. 
„Die Kraft“ der Aufgabenbildung 
Die Notwendigkeit der Entwicklung der Fähigkeit die Aufgaben zu bilden 
heben viele Didaktiker hervor, z.B. als Attribut „der konstruktivischen 
Sicht“, einige andere sprechen über die nötigen Routinefähigkeit (z. B. 
English, 1997; Silver, Cai, 1996). Oft wird dabei die Charakteristik 
des Prozesses „der Aufgabenbildung (problem posing)“ von Silver als 
(a) Bildung der neuen Fragen und Aufgaben (welche aus bestimmten 
„mathematischen“ oder „nichtmathematischen“ Situation entstehen; auch 
Koman, Tichá, 1998) oder als (b) Umformulierung einer gewissen 
Aufgabe, zum Beispiel durch Frage „Und wenn (nicht)?“, durch die 
„Freisetzung der Parameter“ usw. zitiert. 
Die Bildung der Aufgaben wird als eine wichtige Tätigkeit aller vorgestellt. 
Das Lernen durch Bildung der Aufgaben ist sehr bereichernd. Das Ergebnis 
dieses Verfahrens ist eine Verbesserung der Fähigkeit die Aufgaben lösen 
zu können, Entfaltung des schöpferischen und flexiblen Denkens, 
Verbesserung der Beziehung zur Mathematik und auch das größere 
Vertrauen in eigene Fähigkeiten. Die Bildung der Aufgaben ist einerseits 
als Ziel aufgefasst, andrerseits als ein Mittel der mathematischen Bildung. 
Ähnlich kann man sagen, dass die Fähigkeit, die Fragen zu formulieren und 
die Aufgaben zu bilden, ein wichtiger Bestandteil der fachdidaktischen 
Kompetenz des Lehrers ist. Gleichzeitig ist es auch möglich, die Bildung 
der Aufgaben als ein Weg der Steigerung der professionellen Kompetenz 
des Lehrers aufzufassen. 
Es wird sichtbar, dass die Bildung der Aufgaben ein sehr gutes 
diagnostisches und reedukatives Mittel darstellt. Die Analyse der 
gebildeten Aufgaben ist ein Weg zur der Feststellung des Niveaus des 
Verständnisses diesen Aufgaben und gleichzeitig auch eine Weise der 
Entdeckung der eventuellen Misskonzeptionen und falschen Erwägungen 
bei jedem Respondent (Silver, Cai, 1996; Tichá, 2003; Prediger 2006).  
Studenten bilden und bewerten die Aufgaben 
Mehrere Jahre nacheinander haben wir den Schülern (die Altersgruppe 9-
14 Jahre) folgende Aufgabe gegeben: Bilde eine Sachaufgabe so, dass zu 
deren Lösung man nur 1/4 + 2/3 (oder 3/4•20, oder 1/4•2/3 usw.) 
errechnen muss. Diese Aufgabe haben wir später den Studenten der 
Mittelschulen und Universitäten gegeben. Selbe Misskonzeptionen, die wir 
bei den Schülern der fünften Klasse gefunden haben, auch in den Arbeiten 
der älteren Schüler und Studenten auftauchen, sogar auch bei den 
Studenten der Universitäten.  
Eine Enttäuschung stellten für uns die Aufgaben zum Errechnen 3/4•20 da. 
Vor allem überraschten und verwarnten uns Probleme, die Studenten (und 
manchmal auch Grundschullehrer) mit dieser Aufgabe hatten und ihre 
Verlegenheit und Ratlosigkeit. Wir haben gedacht, dass sie sich leicht mit 
dieser Aufgabe abfinden. Es war ein Irrtum.  
Noch schwierigere war die Bildung der Aufgabe zur Multiplikation zweier 
Brüche. Zur Errechnung 1/4•2/3 hatte eine Studentin drei Aufgaben 
gebildet: 
1. Auf dem Tisch lagen 2/3 Kuchen. Dušan hat 1/4 von den 2/3 des 
Kuchens gegessen. Wieviel Kuchen blieb es übrig? 
2. Auf dem Tisch lagen 2/3 kg Mandarinen. Veronika hat 1/4 kg gegessen. 
Wieviel Mandarinen (kg) blieben übrig? 
3. Das Glas war von 2/3 voll. Gabriel hat 1/4 getrunken. Von wieviel war 
das Glas voll? 
Gespräch der Forscherin (F) mit Studentin (S) folgt: 
S: Hier rechne ich keinen Teil von etwas, hier nehme ich ab (sie zeigt 
Aufgaben 2 und 3), gebe weg. Ich weiß eigentlich nicht, wie ich es 
gedacht habe.  
F: Wie hätten Sie das gemeint? 
S: Etwa so (sie zeichnet ein Bild) – das teile ich auf die Viertel und ein 
Viertel gebe ich weg. Aber eigentlich, jemand könnte es so verstehen, 
dass er ein Viertel des ganzen Glases getrunken hat. Ich habe eigentlich 
nur eins gut gemacht. Ich sollte mich überzeugen. 
F: Wie können Sie sich überzeugen? 
S: Na ja, ich sollte es vielleicht irgendwie ausrechnen. Oder ich sollte es 
jemanden, der das besser kennt geben. 
Die gebildeten Aufgaben 1. und 2. haben wir zur Beurteilung den 
Studenten gegeben. Meistens haben sie zwar aufgeführt, dass die Aufgabe 
2. nicht der Aufgabenstellung entspricht. Die Begründung des Urteiles hat 
aber gezeigt, dass sie selbst mit dem Begreifen Probleme haben. Führen wir 
einige Beispiele auf, wie die Studenten die Aufgabe 2. bewertet haben: 
• Die Aufgabe 2 ist nicht richtig.  
2/3  kg Mandarinen lagen auf dem Tisch = 2/3 von Einem (von 3/3). 
Veronika hatte 1/4 kg gegessen – aber von was? aus 2/3? aus 1/3? 
Die Frage: Wieviel kg Mandarinen blieben? – ist nicht richtig. Es sollte 
heissen: Wieviel kg Mandarinen hatte sie gegessen? 
• Die Aufgabe ist nicht richtig. 
Insgesamt 2/3 kg Mandarinen, sie hatte 1/4 kg gegessen. 
Sie hatte 1/4 gegessen, aber es ist nicht aufgeführt von was. 
• Die zweite Aufgabe ist nicht richtig, sie ist nicht geeignet.  
Ich wollte nicht die Zahl der Mandarinen, aber das Gewicht. Die 
Mandarinen müssten dann in kleine Stücke geschnitten werden. 
Zum Abschluss  
Aus den Formulierungen der Sachaufgaben kann man viele interessante 
und wertvolle Informationen entnehmen. Das Untersuchen, die wir 
durchgeführt haben, hatte bestätigt, dass die Studenten Probleme mit der 
Interpretation der Brüche haben (besonders sie nahmen nicht wahr, dass sie 
abwechselnd den Bruch als Operator und Größe benutzten). Wir haben 
festgestellt, dass viele Studenten nicht die Vorstellung haben, was sich 
eigentlich hinter einer einfachen Errechnung „versteckt“. Sie sind nicht 
fähig die Errechnung im gewissen Kontext zu praktizieren.  
Es zeigt sich, dass zur Feststellung der Qualität des Verständnisses die 
Aufgabe zu bilden nicht genügend ist. Es ist notwendig, die Aufgaben auch 
zu lösen und die Möglichkeit darüber zu diskutieren zu haben. Es bestätigt 
sich hier die Notwendigkeit der Durchführung der gemeinsamen Reflexion 
(Tichá, Hošpesová, 2006). Wenn die Autoren die Möglichkeit haben, 
gegenseitig die Aufgaben zu bewerten, wird das der Einblick in die 
Situation vertieft und die Fähigkeit die Situation zu begreifen, aufzufassen, 
verbessert. Die Bildung der Aufgaben, die um eine Reflexion (individuelle 
und vor allem kollektive) erweitert ist, stellt also den Weg zur Entfaltung 
und Steigerung der Qualität der professionellen Kompetenz da.  
Literatur 
English, L.D. (1997). The development of fifth-grade children’s problem-posing 
abilities. Educational Studies in Mathematics, 34, 183-217. 
Hošpesová, A., Tichá, M. (2005) Developing mathematics teachers’ competence. In M. 
Bosch (ed.) CERME 4. Sant Feliu de Guíxols, , Spain. 1483 – 1493, CD ROM  
Koman, M., Tichá, M. (2001). Von der spielerischen Untersung der Situation zum 
Rechnen. In: Mathematik lernen und gesunder Menschenverstand (Festschrift für G. 
N. Müller), ed. Ch. Selter, G. Walther. Ernst Klett, Düsseldorf, Leipzig, , p. 100-111.  
Prediger, S. (2006). Continuities and discontinuities for fractions: a proposal for 
analysing in different levels. In J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká & N. Stehlíková 
(Eds.). Proceedings 30th PME Conference, vol.4, 377-384. Prague: PME 
Silver, E. A., Cai, J. (1996). An analysis of arithmetic problem posing by middle school 
students. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 5, 521-539. 
Tichá, M. (2003). Following the path of discovering fractions. In J. Novotná (ed.) 
Proceedings of SEMT ’03. Praha: UK PedF, 17-27.  
Tichá, M., Hošpesová, A. (2006). Qualified Pedagogical Reflection as a Way to 
Improve Mathematics Education. Journal for Mathematics Teachers Education. 
Special Issue: Inter-Relating Theory and Practice in Mathematics Teacher 
Education. Springer Netherlands, 9, 2, 129-156. 
 
Anmerkung: Diese Untersuchung wurde durch das Förderungsprojekt GACR 
406/08/0710 und durch AdW CR Institutional Research Plan No. AV0Z10190503 
unterstützt. 


Wir lernen die Missverständnisse und Fehlvorstellungen der Studenten zu beheben

https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/31731/1/181.pdf

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