Nous étudions plusieurs généralisations de l'équivalence bien connue entre les équations de l'hydrodynamique et l'équation de Schrödinger non linéaire. Pour un fluide visqueux, irrotationnel, de viscosité cinématique constante, nous obtenons une équation de Schrödinger non linéaire, analogue à celle proposée par Kostin pour une description quantique de la friction. Nous traitons également le cas de l'écoulement rotationnel d'un tel fluide, et celui de l'écoulement à symétrie sphérique d'un fluide de viscosité constante

Dietrich, K.

Vautherin, D.

HAL-IN2P3

Sur l’e´quivalence entre des types particuliers dese´quations de Navier-Stokes et de Schro¨dinger nonline´aireK. Dietrich, D. VautherinTo cite this version:K. Dietrich, D. Vautherin. Sur l’e´quivalence entre des types particuliers des e´quations deNavier-Stokes et de Schro¨dinger non line´aire. Journal de Physique, 1985, 46 (3), pp.313-316.<10.1051/jphys:01985004603031300>. <jpa-00209970>HAL Id: jpa-00209970https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00209970Submitted on 1 Jan 1985HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.313Sur l’équivalence entre des types particuliers des équations de Navier-Stokeset de Schrödinger non linéaireK. DietrichPhysik Department der Technischen Universität München, D-8046 Garching, R.F.A.et D. VautherinDivision de Physique Théorique (*), Institut de Physique Nucléaire, 91406 Orsay Cedex, France(Reçu le 18 juin 1984, accepté le 8 novembre 1984)Résumé. 2014 Nous étudions plusieurs généralisations de l’équivalence bien connue entre les équations de l’hydro-dynamique et l’équation de Schrödinger non linéaire. Pour un fluide visqueux, irrotationnel, de viscosité cinéma-tique constante, nous obtenons une équation de Schrödinger non linéaire, analogue à celle proposée par Kostinpour une description quantique de la friction. Nous traitons également le cas de l’écoulement rotationnel d’untel fluide, et celui de l’écoulement à symétrie sphérique d’un fluide de viscosité constante.Abstract. 2014 We derive a Schrödinger equation equivalent to the Navier-Stokes equation in the spécial case ofconstant kinematic viscosities. This equation contains a non-linear term similar to that proposed by Kostin fora quantum description of friction.Tome 46 No 3 MARS 1985J. Physique 46 (1985) 313-316 MARS 1985,ClassificationPhysics Abstracts24.90 - 47.10LE JOURNAL DE PHYSIQUE1. Introduction.L’equivalence de 1’6quation de Schrodinger a un corpsavec les equations de 1’hydrodynamique pour un fluidenon visqueux et irrotationnel est connue depuislongtemps [1]. Elle a fait l’objet de nombreux travaux,dont certains sont lies a des tentatives d’interpretationsnouvelles de la m6canique quantique [2], d’autres àl’int6ret suscite recemment par 1’equation de Schr6-dinger non lineaire [3]. L’objet de la presente note estde montrer que cette equivalence peut etre generaliseeau cas de certains fluides visqueux et de certainsecoulements rotationnels.Dans le paragraphe 2 nous etudions tout d’abord lecas de 1’ecoulement potentiel d’un fluide non visqueuxet dans le paragraphe 3 celui d’un fluide visqueuxdont la viscosite croit lin6airement avec la densite.Pour ce cas particulier nous montrons que 1’equationde Navier-Stokes est equivalente a une equation detype Schrodinger non lineaire. Cette equation esttres semblable a une equation proposee en 1972 parKostin [4] pour une description quantique de lafriction et etudiee depuis dans ce contexte par plusieursauteurs [5-9]. Il convient de noter que 1’hypothesed’une viscosite proportionnelle a la densite est valablepour de nombreux systemes, en particulier pour lamatiere nucleaire produite dans les collisions denoyaux a des energies de l’ordre de 100 MeV parnucl6on [10]. Dans le paragraphe 4 nous traitons lecas plus general d’un ecoulement rotationnel avecviscosite lineaire en densite.Nous ne sommes pas parvenus a formuler lesequations de 1’hydrodynamique avec viscosite cons-tante sous forme d’une equation d’onde, sauf dans lecas particulier d’un ecoulement potentiel a sym6triesph6rique qui est presente dans le paragraphe 5. Leparagraphe 6 contient un bref resume de nos princi-pales conclusions.Dans tout ce qui suit nous considerons uniquementdes ecoulements barotropes i.e. pour lesquels lapression P ne depend que de la densite de masseArticle published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01985004603031300314Ceci est le cas notamment lorsque 1’entropie parparticule est une constante au temps initial et que aest une quantite conserv6e, telle que :ou v est le vecteur vitesse. Bien entendu 1’equation (2)ne peut etre qu’approchee pour un fluide visqueux.Toutefois pour que 1’equation (1) soit valable il suffitque la dependance en a de la fonction P(p, a) soitsuffisamment faible, ce qui semble etre le cas pour lescollisions de noyaux a haute energie [11-13].Lorsque 1’equation (1) est valable on peut trouverune fonction h(p) - qui n’est autre que 1’enthalpiepar unite de masse - telle que 1’on aitPour un fluide dont la viscosite est proportionnellea la densite 1’equation (3) entraine que la densite p(r, t)du fluide n’apparait pas explicitement dans l’equationde Navier-Stokes. Cette simplification est essentiellepour construire une equation d’onde equivalente auxequations de 1’hydrodynamique.2. Ecoulement potentiel sans viscosite.Rappelons tout d’abord que pour un ecoulementpotentiel sans viscosite les equations de 1’hydrody-namique se reduisent [14] a 1’6quation de continuiteet a 1’equation d’Eulerou h est 1’enthalpie specifique, reliee a la pression Ppar 1’equation (3). Les equations (4) et (5) determinent1’evolution dans le temps de la densite p(r, t) et dupotentiel des vitesses x(r, t) d6fini par v = Ox. Par latransformation de Madelung [1]oit m et h sont deux constantes arbitraires non nullesayant la dimension d’une masse et d’une action respec-tivement, on trouve que les equations (4) et (5) sontequivalentes a 1’equation de SchrodingerDans cette equation le potentiel u(p) est donne par larelationUn choix naturel de la constante arbitraire m consistea prendre la masse des particules constituant le fluide.Dans ce cas il convient de normaliser, au tempsinitial to, la fonction qJ au nombre total A de particulescontenues dans le fluideOn peut remarquer que l’equation (7) a la memestructure que les equations de Hartree-Fock d6pen-dant du temps. Toutefois cette analogie est purementformelle. En effet, pour l’equation (7), la forme tres. particuliere du potentiel u donnee par 1’expression (8)permet d’eliminer la constante h des equations dumouvement et d’obtenir la forme equivalente (4, 5).3. Ecoulement potentiel avec viscosite lin6aire endensite.Pour un fluide visqueux 1’equation d’Euler (5) doit etreremplacee par 1’6quation de Navier-StokesDans le cas ou les coefficients de viscosité ç et ildependent lineairement de la densitei.e. lorsque les coefficients de viscosite cinématique J1et v sont constants, on peut trouver des solutions de (10)sous la forme v = V x pourvu que la fonction Xsatisfasse 1’equationPour cette equation il est encore possible de trouverune equation de Schrodinger equivalente aux 6qua-tions du mouvement (4) et (10). Celle-ci s’ecritOn peut faire hu sujet de cette equation les remarquessuivantes : 1) les coefficients de viscosite cinématique J1et v apparaissent dans l’equation de Schrodingerdans un terme impair par renversement du temps (1)i.e. qui change de signe lorsque l’on 6change p et p*;2) ce terme est identique a l’opérateur Laplacienagissant sur le terme propose par Kostin [4] pour une(’) De meme qu’une viscosite nulle abaisse l’ordre de1’equation de Navier-Stokes, on voit que pour p = v = 0le terme en p*/p, dont 1’elimination conduit a des d6riv6essecondes de v, disparait de (13).315description quantique de la dissipation. Toutefoisdans notre cas 1’equation (13) n’est qu’une reformu-lation mathematique des equations de 1’hydrodyna-mique classique; 3) la presence de l’op6rateur Lapla-cien dans le demier terme de 1’equation (13) est satis-faisante dans la mesure ou elle permet d’eviter unamortissement artificiel des solutions en translationuniforme, comme c’est le cas pour 1’hamiltonien deKostin.Si le fluide est soumis a un champ exteme, parexemple un champ de gravitation, il est encore possiblede deduire une equation d’onde equivalente a 1’equa-tion de Navier-Stokes. Pour une force exteme decritepar un terme - pVO dans le second membre de1’equation (10), on trouve qu’il suffit, dans 1’expression(8) du potentiel u, de remplacer 1’enthalpie sp6cifique hpar h + 0.4. Ecoulement rotationnel avec viscosite fin6aire endensite.Dans ce cas decomposons la vitesse v enet substituons cette decomposition dans 1’equationde Navier-Stokes (10), pour laquelle nous supposerons,comme au paragraphe precedent, que les coefficientsde viscosite sont proportionnels a la densite (11). Onaboutit alors a 1’equation suivanteLa decomposition (14) n’est 6videmment definie qu’aune jauge pres : d’addition d’une fonction 0 a x et d’unchamp - V0 a A ne modifie pas le resultat.Supposons que l’on ait trouve une solution de1’equation de Navier-Stokes sous la forme v = VX’+ A’et que la fonctionsoit non nulle. Alors par une transformation de jaugetelle que 1’on aiton voit que l’on peut se ramener aux equationsR6ciproquement si x et A sont solutions des equa-tions (19) et (20), le champ v = Vx + A est solutionde 1’equation de Navier-Stokes. Remarquons que1’equation (18) fixe seulement la derivee temporelle dela jauge et que les solutions de (19) et (20) ne sont doncdefinies qu’a une jauge independante du temps pres.A partir des equations (19) et (20) on peut voir que,dans le cas ou les viscosit6s cin6matiques sont cons-tantes (11), les equations de 1’hydrodynamique (4) et(10) sont equivalentes au systeme suivantou v, qJ et u sont definis par les equations (14), (6) et (8)respectivement. Dans 1’equation (21) p est la notationusuelle pour l’op6rateur - ihV.Il est facile de verifier que 1’equation (21) est inva-riante - comme le systeme (19, 20) - par la transfor-mation de jauge independante du tempsSi l’on excepte le terme de friction, l’equation (21)a la meme forme que 1’equation de Schrodinger pourune particule charg6e dans un champ magnetiqueB = rot A. Par ailleurs 1’equation d’evolution duchamp B, deduite de (22) s’ecritCette equation a la meme forme que 1’equation d76vo-lution du champ magnetique dans un plasma [ 15,16]ou /lo est la permeabilite magnetique du vide et 6 laconductivite du plasma. Comme il est montre dans lareference [151, 1’6quation (25) entraine, à la limite où vtend vers zero, que le flux de B a travers une surfacese d6placant avec le fluide reste constant au cours dutemps.5. Ecoulement a sym6trie sph6rique avec viscositeconstante.L’hypothese (11) d’une viscosite proportionnelle a ladensite pr6sente 1’inconvenient de ne pas entrainernecessairement une decroissance au cours du tempsde 1’energie du fluide316ou e est 1’energie specifique qui satisfait P = p2 dsldpet h = e + P/ p. En effet si on calcule la derivee parrapport au temps de (27) pour un ecoulement irro-tationnel on obtient, en utilisant (11) et (12), la quantitequi peut etre positive ou negative. Le meme incon-venient existe pour 1’hamiltonien de Kostin (2), pourlequel le terme de dissipation quantique n’entraine pasnecessairement une d6croissance de 1’energieE =  T + u &#x3E;. Ces remarques nous ont conduita examiner le cas ou les coefficients de viscosite eux-mêmes ç et q sont constants. Dans ce cas il ne sembleplus possible de construire en general une equationde Schrodinger equivalente a 1’&#x26;quation de Navier-Stokes. Ceci reste possible par contre pour un ecou-lement a sym6trie sph6rique. Ce cas est interessant,notamment lorsque 1’on considere les vibrationsmonopolaires, d’un noyau [17], ou encore lorsque l’oncalcule 1’explosion d’une boule de feu form6e aprescollision de deux noyaux a haute energie [18]. Sup-posons donc que l’on aitD6finissons alors une fonction G(r, t) telle queIl est alors facile de voir que dans ce cas particulier(2) Pour l’hamiltonien de Kostin la valeur moyenne de1’hamiltonien H d6croit bien au cours du temps [4], mais,comme pour 1’equation de Schrodinger cubique,  H )n’est pas 1’energie du fluide car H est non lin6aire.1’equation de Navier-Stokes est equivalente a 1’6qua-tion de Schrodinger suivanteAvec les hypotheses (29) 1’energie (27) decroit toujoursau cours du temps car on a alors6. Conclusion.Nous avons montre que pour un ecoulement potentielavec viscosite cinematique constante il est possiblede deduire une equation de Schrodinger non lineaireequivalente aux equations de 1’hydrodynamique. Cetteequation fait intervenir un terme non invariant parrenversement du temps, analogue au terme pheno-m6nologique propose par Kostin pour introduire unedissipation dans 1’equation de Schrodinger. Nousavons egalement montre que, moyennant l’introduc-tion d’un champ vectoriel suppl6mentaire, il estpossible de decrire un ecoulement rotationnel. Dansce cas l’équation de Schrodinger obtenue ressemblea celle d’une particule dans un champ magnetique,et possede des propri6t6s d’invariance de jaugeanalogues. Enfin, bien que n’ayant pu formuler defar,on generale les equations de 1’hydrodynamiqueavec viscosite constante sous forme d’une equationd’onde, nous sommes parvenus a traiter le cas parti-culier interessant d’un ecoulement a sym6trie sph6-rique.Remerciements. ’Nous souhaitons remercier M. Veneroni pour denombreuses discussions.Bibliographie[1] MADELUNG, E., Z. Phys. 40 (1926) 322[2] BOHM, D., Phys. Rev. 85 (1952) 166.[3] SPIEGEL, E. A., Physica 10 (1980) 236.[4] KOSTIN, D., J. Chem. Phys. 57 (1972) 3589 ; J. Stat.Phys. 12 (1975) 145.[5] KAN, K. K. and GRIFFIN, J. J., Phys. Lett. 50B (1975)241 ;IMMELE, J. K., KAN, K. K. and GRIFFIN, J. J., Nucl.Phys. A 241 (1975) 47.[6] HASSE, R. 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Sur l'équivalence entre des types particuliers des équations de Navier-Stokes et de Schrödinger non linéaire

We derive a Schrödinger equation equivalent to the Navier-Stokes equation in the spécial case of constant kinematic viscosities. This equation contains a non-linear term similar to that proposed by Kostin for a quantum description of friction.Nous étudions plusieurs généralisations de l'équivalence bien connue entre les équations de l'hydrodynamique et l'équation de Schrödinger non linéaire. Pour un fluide visqueux, irrotationnel, de viscosité cinématique constante, nous obtenons une équation de Schrödinger non linéaire, analogue à celle proposée par Kostin pour une description quantique de la friction. Nous traitons également le cas de l'écoulement rotationnel d'un tel fluide, et celui de l'écoulement à symétrie sphérique d'un fluide de viscosité constante

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