В роботі розглядається квазіодновимірна задача про осідання частин, що агрегують, в тонкій довгій

трубці в неоднорідному вздовж вісєї трубки полі відцентрових сил. Досліджено вплив реологічних

властивостей крові та умов проведенння теста на процеси, які відбуваються при осіданні в центрифузі.

Надана методика чисельної оцінки швидкості агрегації еритроцитів на підставі аналізу часу

досягнення максимальної швидкості осідання

Дацок, О.М.

Жолонский, Е.Н.

Кизилова, Н.Н.

Central Scientific Library

Двухфазная модель оседания эритроцитов в неоднородном поле сил

Електронного архіву Харківського національного університету імені В.Н.Каразіна (Electronic Archive V.N. Karazin Kharkiv National University)

Вестник Национального Технического Университета «ХПИ»Сборник научных трудов. 2002. Т.7,№9,С.61-66.УДК 624.29+УДК 532.529ДАЦОК О.М.,  ЖОЛОНСКИЙ Е.Н.,  КИЗИЛОВА Н.Н., канд. физ.-мат. наукДВУХФАЗНАЯ МОДЕЛЬ ОСЕДАНИЯ ЭРИТРОЦИТОВ ВНЕОДНОРОДНОМ ПОЛЕ СИЛВ роботі розглядається квазіодновимірна задача про осідання частин, що агрегують, в тонкій довгійтрубці в неоднорідному вздовж вісєї трубки полі  відцентрових сил.  Досліджено вплив реологічнихвластивостей крові та умов проведенння теста на процеси, які відбуваються при осіданні в центрифузі.Надана методика  чисельної  оцінки  швидкості  агрегації  еритроцитів  на  підставі  аналізу  часудосягнення максимальної швидкості осідання.Оседание  агрегирующих  частиц  исследуется  в  механике  суспензий  дляанализа поведения неньютоновских технических и биологических сред [1], причемзначительная часть исследований посвящена агрегации и движению эритроцитовкрови.  Модель  крови  как  многофазной  суспензии  в  применении  кгравитационному  оседанию  эритроцитов  построена  в  [2].  В  [3]  проведенообобщение  модели  для  оседания  эритроцитов  в  неоднородном  вдоль  осиседиментационной трубки поле сил.  Путем осреднения  уравнений движения попоперечному  сечению  трубки  получена  система  уравнений,  описывающаяквазиодномерное  оседание  агрегирующих  частиц,  и  исследованы  условия  накомпоненты  внешней  силы,  при  которых  движением  и  агрегацией  частиц  вплоскости сечения трубки можно пренебречь. Проведение  оседания  эритроцитов  вцентрифуге  позволяет  автоматически  получатьседиментационные кривые и существенно ускоряетвремя  исследования  крови.  При  этом  в  качестведиагностического  показателя  можетиспользоваться  тот  же  параметр,  что  и  пристандартном проведении теста – время достижениямаксимальной  скорости  перемещения  границыраздела между зонами чистой плазмы и оседающихагрегатов [4]. Для  исследования  влияния  реологическихсвойств  крови  и  условий  проведения  теста  напроцессы,  происходящие  при  оседании  вцентрифуге,  а  также  на  значение  параметров,которые можно использовать в целях диагностикив данной работе рассматривается квазиодномернаязадача об оседании агрегирующих частиц в тонкойдлинной  трубке  в  неоднородном  по  оси  трубкиполе центробежных сил (рис.1).Будем  рассматривать  кровь  как  двухфазную  суспензию,  состоящую  изнесжимаемых  частиц  (эритроциты,  фаза  1),     взвешенных  в    несжимаемойньютоновской жидкости (плазма крови, фаза 2). Уравнения, следующие из законовсохранения массы и импульсов фаз,  а  также балансовое уравнение для полногочисла агрегатов N в единице объема среды имеют вид [2,3]:0111=∂∂+∂∂xutρρ  0222=∂∂+∂∂xutρρ11111 )( RxGxpdtdu++∂∂−= ρρ                                                                              (1)22222 )( RxGxpdtdu++∂∂−= ρρ                                  φ=∂∂+∂∂xNutN 1Здесь  2,1ρ ,  2,1u ,  2,1p  – плотности, скорости  и давления фаз,  )(xG  – полецентробежных сил,  2,1R  -  силы межфазового  взаимодействия,  φ  -    скоростьобразования   агрегатов.  Исходя  из  особенностей  конструкции  прибора,  будемсчитать 2)()( ωaxxG += , piνω 2= , где ν - частота вращения диска с капиллярами, a=1 см. Вводя истинные плотности эритроцитов и плазмы sρ  и fρ , запишем: sHρρ =1          (2)( ) fH ρρ −= 12где  H – объемная  концентрация  эритроцитов.  Выражения  длякомпонент   тензоров  напряжений   и  сил  межфазового  взаимодействия   изтермодинамических   соображений   при  отсутствии  температурных   идеформационных  явлений принимают вид  [1]:Hpp =1( ) pHp −= 12         (3)( )tHpuuFRR∂∂+−−=−= 2121  где  p – феноменологический коэффициент, имеющий  смысл и размерностьдавления. Выражение для F , исходя  из теории  размерностей, получено в  [2]:Рис.1.( ) ( )HfNHNF 3/1/µ=        (4)где  µ - вязкость плазмы,   а безразмерная функция  ( )Hf  на основаниирезультатов вискозиметрии крови может быть записана в виде [5]:( ) 521 .)H(Hf −−=        (5)При оседании в центрифуге скорость агрегации может меняться по сравнениюсо  скоростью  агрегации  при  гравитационном  оседании  за  счет  деформацииэритроцитов, что имеет место в случае gG 500≥  [6], где g  - ускорение свободногопадения.  Поскольку  рабочий  диапазон  используемого  прибора  существенноменьше [4], будем далее считать, что скорость агрегации эритроцитов не зависитот ν  и положим 2kN−=φ , как и в случае гравитационного оседания [2]. Подставляя (2) в первые два уравнения (1), получим:0xHutH 1=∂∂+∂∂H1Huu12−−=              (6)Исключая  p  из уравнений  (1) с  учетом  (3)  и (6), получим:( )[ ] ( )HFuxHGHdtHudHH fs−−−=+−1)(1)(111δρρρ                             (7)где  fs ρρδρ −= .  Решение  уравнения   (7)   с   условием  0)x,t(u0t1==описывает  начальное   ускорение   и   последующий   переход   скорости   наквазистационарное  значение:        ( ) F/)x(HGH1)x(u 21 −δρ=                                             (8)Далее  будем  рассматривать  установившееся  оседание  эритроцитов,  дляописания  которого  из  (1),  (4)-(8)  имеем  систему  квазилинейных   уравненийпервого  порядка  в  частных  производных:kHxwutw 1=∂∂+∂∂0xHutH 1=∂∂+∂∂        (9)( )µ−δρ=)x(GwH1u3/25.41 ,где  N/Hw =  - средний объем агрегатов. Начальные  и  граничные  условияимеют  вид:           ( ) 0,0 HxH = ,  ( ) 0,0 wxw = при Lx ≤≤0 ;            (10)             ( ) 0, =Ltu                        при  0≥t  ,                                         (11)где L - начальная  высота  столба  оседающих  эритроцитов (рис.1). В матричной записи система (9) имеет вид:∂∂−=∂∂∂∂+∂∂+∂∂xuHkHHwxHuuHuwuHuHwt1111101001  ,      а  ее  решение  может  быть  найдено  методом  характеристик.  Введембезразмерные  величины  LxX /= ,  TtuT /0= ,  0/ wwW = ,  )/( 00uwkLK = ,0/ uuU = ,  где  µδρ /3/200 wu =  -  скорость  оседания,  а  0w  -  объемодиночного эритроцита.Тогда уравнения характеристик и условия на них примут вид:I.   KHdtdW=       вдоль          ( )XbWHdTdX+−= 3/25.4)1(ς                    (12)II. 3/25.4)1( WHHdTdH−−= ς     вдоль           ( )XbWHfdTdX+⋅= 3/2)(ς                                   где 5,3)1)(5.51()( HHHf −−= , gL /2ως = , Lab /= . Решение системы (9)-(11) может быть найдено методом характеристик вобласти,  ограниченной характеристиками семейств  I  и  II  в  (12),  выходящих  източек О(0,0), А(0,1) и отрезком ОА координатной оси (рис.2а). Точки О и А соответствуют вершине и дну седиментационной трубки. На ОАвыполняются условия (10) в безразмерном виде: ( ) 0,0 HxH =   ( ) 1,0 =xW .Система  (9)-(10)  допускает  разрывы,  условия  на  которых  в  безразмерныхпеременных имеют вид:βα WW = ))(())(( UHUHUHUH −=− ββαα ,                     (13)где  индексы  α  и  β относятся  к  движению  по  разные  стороны  разрыва,движущегося со скоростью  U .  Один разрыв,  отделяющий верхний слой чистойплазмы ( 0=αH ) и слой оседающих агрегатов ( 0>βH ),  имеет место всегда. Из(12)  следует,  что  траектория  этого  разрыва  совпадает  с  характеристикой  ОВсемейства I. Для характеристик первого семейства 0)/( >IdTdX , поскольку 1<H .Наклон кривой IIdTdX )/(  сильно зависит от начальной концентрации эритроцитовв пробе крови 0H . Зависимость )(Hf  показана на рис.2б.   а бРис.2Через каждую точку ОА проходит пара характеристик обоих семейств. Если*0 HH >  (рис.3),  то  в  точке  А  берет  начало  семейство  характеристик,  наклонкоторых непрерывно уменьшается от  )( 0Hf  до  )( maxHf , где  maxH  соответствуетмаксимально  возможной  упаковке  эритроцитов  в  осадке.  При  *0 HH <  наклонхарактеристик  вначале  растет  с  ростом  концентрации  ( 0/ >dTdX ),  а  затемуменьшается  ( 0/ <dTdX ),  то  есть  решения  задачи  в  областях  ОВА  и  САВDнепрерывно  не  стыкуются  и  в  точке  А  имеет  место  разрыв,  определяемыйсоотношением  (13).  После  образования  разрыва  при  *XX = следует  искатьрешение системы (9)-(11) на интервалах ],0[ *XX ∈  и  ]1,[ *XX ∈  отдельно, а затемсшивать решения, используя (13) и условие UdTdX =/*   [2,3]. Для  характеристик  второго  семейства  0)/( <IIdTdX  только  при  182.0>H .При стандартном разведении крови антикоагулянтом (4:1) это условие нарушаетсятолько  при  крайне  низких  исходных  показателях  гематокрита  ( %7.22<Ht ).Следовательно,  во  всем  диапазоне  физиологических  концентраций  эритроцитоврешение  задачи  (9)-(11)  существует  и  может  быть  исследовано  методомхарактеристик.  В случае нормальных концентраций эритроцитов при %4845~ −Htпосле стандартного разведения получим *0 HH > , что соответствует непрерывномурешению в точке А. Численное исследование задачи (9)-(11) проводилось методом характеристикс последующим уточнением решения по методике, подробно изложенной в [7]. Врезультате  получены  распределения  концентраций  ),( XTH  и  объема  агрегатов),( XTW  в  области  ОАВ,   положения  характеристик  обоих  семейств  )(TX I  и)(TX II ,  а также значение параметра  BT  - момента времени, начиная с котороговлияние  дна  капилляра  сказывается  на  движении  границы  раздела  зон  чистойплазмы  и  оседающих  агрегатов.  Физически  это  означает,  что  зона  оседающихагрегатов при BTT >  отсутствует  и  ниже зоны чистой плазмы расположена толькокомпактная  зона,  в  которой  происходит  уплотнение  агрегатного  остова  ифильтрация захваченной плазмы в верхнюю зону. При  BTT >  движение границыраздела замедляется, поэтому  BT  есть время достижения максимальной скоростиоседания–  диагностически  значимый  параметр.  Если  рассмотреть,  следуя  [2,3]приближенное  решение  (9)-(11)  при  HHkN /02−=φ ,  что  соответствуетпереопределению скорости агрегации эритроцитов ( HkH /0  вместо k ), то из (12)получим, что в области АОВTKHW 01+=а скорость перемещения границы раздела слоя плазмы и агрегатов:3/205.40 )1()1)(( TKHHXbU +−+= ςТогда значение BT  может быть найдено из условия (рис.2):1115.500=−−+ ∫∫ BBTTUdtHHUdt                                   (14)Подставляя  в  (14)  значения  BT ,  полученные  из  кривых  )(TX  оседанияэритроцитов  в  центрифуге  по  методике,  представленной  в  [4],  и  решая  затемуравнение (14), получим значения К для исследуемого образца крови. Учитывая,что скорость агрегации изменяется при патологиях на насколько порядков [2], аконцентрация  эритроцитов  в  капилляре  меняется  в  пределах  одного  порядка  (]1,[ 0HH ∈ ), то приближенное решение не будет качественно отличаться от точного,а в области АОВ будет с ним совпадать. Использование параметра  BT  в  клинической практике позволяет на основепредложенной  выше  методики  численно  оценивать  скорость  агрегацииэритроцитов  К.  При одновременном проведении теста  с  набором  капилляров  вцентрифуге  возможно  введение  дополнительных  диагностических  показателей,связанных с разбросом значений К, вычисленных для разных капилляров. Список  литературы:  1.  Регирер  С.А. К  вопросу  о  континуальных  моделях  суспензий.  –Прикл.математика  и  механика.  –  1978.  –  т.42,№4.  –  С.379-388.  2.  Лосев  Е.С.  Некоторые  задачигидромеханики  суспензий  с  переменной  плотностью:  приложение  к  крови.  –  Дисс…канд.физ.-мат.наук. – М., - 1984. – 135с. 3. Кизилова Н.Н. Влияние некоторых физических полей на механическиепроцессы в биологических тканях. - Дисс.  ... канд.физ.-мат.наук. - Харьков:ХГУ. - 1993.   - 161c. 4.Дацок  О.М.  Компьютерный  комплекс  исследования  центробежной  седиментацииэритроцитов.//Вестник национального технического университета "ХПИ". – Харьков: НТУ "ХПИ". –2001.- №4.- с. 47 - 50.     5. Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови. – М.:Медицина. –1982. – 272с. 6. William D. Corry, Herbert J.Meiselman. Deformation of humаn erythrocytes in centrifugalfield. //Biophys.J. – 1978. – v.21. – p.19-34. 7. Березин И.С. Жидков Н.П. Методы вычислений. в 2-х тт. -М.Наука. - 1960.Поступила в редколлегию 10.04.02

http://dspace.univer.kharkov.ua/bitstream/123456789/3515/2/%d0%9a%d0%b8%d0%b7%d0%b8%d0%bb%d0%be%d0%b2%d0%b0_%d0%94%d0%b0%d1%86%d0%be%d0%ba_1.pdf

Двухфазная модель оседания эритроцитов в неоднородном поле сил

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Central Scientific Library

Електронного архіву Харківського національного університету імені В.Н.Каразіна (Electronic Archive V.N. Karazin Kharkiv National University)