The multidimensional stock control that functions in a random Markov environment is considered. The mathematical formalization of this model was considered with the use of sums of the random variables defined on the Markov chains. The authors introduce a definition of risk function of the type of downside risk measures and find the explicit formulas for its determinations. The example of the application of these formulas is provided: the tasks of the reliability and optimal configuration for the queueing problem are regarded. The formulas defining the function by the system parameters were obtainedstock control, multidimensional model, risk function, Markov chain, queueing system

Aleksandra Wojna

Aneta Klodzinska

Polish

Research Papers in Economics

BADANIA OPERACYJNE I DECYZJE
Nr 2 2005
Aleksander WOJNA*
Aneta KŁODZIŃSKA*
WIELOWYMIAROWE MODELE STEROWANIA ZAPASAMI
I ICH ZASTOSOWANIE
W artykule przeprowadzono matematyczną formalizację wielowymiarowych modeli sterowania zapa-
sami z wykorzystaniem procesów sum zmiennych losowych określonych na łańcuchu Markowa. Na
podstawie tej formalizacji określono funkcję ryzyka funkcjonowania wielowymiarowych modeli sterowa-
nia zapasami. Rozpatrzono również zagadnienie analizy niezawodności funkcjonowania oraz ustalenia
optymalnej struktury specjalnego systemu obsługi Markowa za pomocą określenia jego funkcji ryzyka.
Słowa kluczowe: sterowania zapasami, model wielowymiarowy, funkcja ryzyka, łańcuch Markowa,
system obsługi
Model zaprezentowany w niniejszym artykule uogólnia klasyczne modele stero-
wania zapasami, jak również może się okazać pożytecznym w matematycznej forma-
lizacji niektórych zagadnień teorii ubezpieczeń, teorii niezawodności, teorii obsługi
masowej, matematyki finansowej, teorii ryzyka itp. [1]–[4].
Załóżmy, że na przestrzeni probabilistycznej {Ω, Φ, P} określony został jedno-
rodny łańcuch Markowa z dyskretnym czasem η(n), n = 0, 1, 2, ... i skończonym zbio-
rem stanów E = {1, 2, ... N} oraz że
P = [pij], i ∈ E, j ∈ E; pij =  } ) ( ) 1 ( { i n j n P = = + η η
jest stochastyczną macierzą prawdopodobieństw przejść łańcucha η(n), natomiast
π = {π1, π2, ..., πN}, πi = P{η(0) = i}, i ∈ E
jest jego rozkładem początkowym. Niech 
) (k
j ξ , j = 1, 2, ... N, k = 0, 1, ... będzie rodzi-
ną niezależnych od łańcucha Markowa η(n) nieujemnych zmiennych losowych, nie-
                                                     
* Katedra  Metod  Ilościowych, Wydział Ekonomii i Zarządzania, Politechnika Koszalińska,
ul. E. Kwiatkowskiego 6E, 75-343, Koszalin, avoina@hotmail.com, anetaklodzinska@wp.plA. WOJNA, A. KŁODZIŃSKA 84
zależnych między sobą dla różnych k oraz takich, iż rozkłady zmiennych losowych
) (k
j ξ  nie zależą od k. Oznaczmy  } { ) (
) ( x P x U
k
j j < = ξ  dystrybuantę zmiennej losowej
) (k
j ξ  (j = 1, 2, ..., N). Załóżmy dalej, iż τ1, τ2, ... są niezależnymi, nieujemnymi zmien-
nymi losowymi o tym samym rozkładzie:
H(t) = P{τi < t}, t ≥ 0.
Zmienne te są niezależne zarówno od łańcucha Markowa η(n), jak i od zbioru
zmiennych losowych 
) (k
j ξ . Natomiast
S(n) = τ1 + τ2 + ... + τn, (S(0) = 0)
jest prostym procesem odnowy. Niech νn(j), j = 1, 2, ..., N oznacza liczbę trafień łań-
cucha Markowa η(t) w stan j ∈ E w interwale czasu [0, n], tzn.
νn(j) = ∑
=
=
n
k
j k
0
] ) ( [η χ ,   j = 1, 2, ..., N,
gdzie χ[Α] indykator zdarzenia losowego Α. Ponadto
ξ(n, j) = ∑
=
=
n
k
k
j j k
1
) ( ] ) ( [η χ ξ  =  ∑
=
) (
1
) (
j
k
k
j
n ν
ξ ,   j = 1, 2, ..., N.
Niech Z = {Z1, Z2, ..., ZN} będzie N-wymiarowym wektorem o dodatnich współ-
rzędnych. Wtedy moment czasu µ(Z), określony równością
µ(Z) =  )} , ( { min
,..., 1
j Z j
N j
µ
=
,
gdzie µ(Zj, j) = min{n: ξ(n, j) > Zj} będziemy nazywać momentem przekroczenia
wielowymiarowego stochastycznego procesu.
Funkcja
R(t, Z) = P{S(µ(Z)) < t}, t ≥ 0 (1)
może być traktowana jako funkcja ryzyka dla następującego wielowymiarowego mo-
delu sterowania zapasami.
Rozpatrzmy magazyn, w którym magazynowane są towary N typów, których
wstępny zapas określa się wektorem Z = {Z1, Z2, ..., ZN}. Zgłoszenia wpływają do
modelu w przypadkowych momentach czasu: S(1), S(2), ..., S(k), ..., przy czym inter-
wały czasu τ1 = S(1), τ2 = S(2) – S(1), ..., τk = S(k) – S(k – 1), ...  pomiędzy kolejnymi
zgłoszeniami są niezależnymi, nieujemnymi zmiennymi losowymi o takim samym
rozkładzie prawdopodobieństwa. Magazyn funkcjonuje w środowisku, które może się
znajdować w jednym spośród N różnych stanów. Jeżeli w momencie S(k) wpłynięcia
k-tego zgłoszenia środowisko znajduje się w stanie j, to k-te w kolejności zgłoszenieWielowymiarowe modele sterowania zapasami ... 85
wymaga towaru j-tego typu w ilości 
) (k
j ξ , (j = 1, 2, ..., N, k = 0, 1, 2, ...). Zmiana sta-
nów zewnętrznych środowiska odbywa się w sposób przypadkowy. Jeżeli η(1), η(2),
..., η(k) są stanami środowiska w momentach S(1), S(2),  ..., S(k) wpłynięcia kolejnych
zgłoszeń, to rozkład stanu środowiska η(k + 1) w momencie S(k + 1), pod warunkiem,
że wartość η(k) jest znana, zależy tylko od η(k) i nie zależy od wartości η(1), η(2), ...,
η(k – 1). Załóżmy, że magazyn istnieje po to, by realizować zapotrzebowanie na roz-
ważane dobra w przedziale czasu [0, T]. Będziemy mówili, że w momencie S(k) ∈
[0, T] w rozważanym modelu powstaje sytuacja „awarii”, jeżeli zgłoszenie, które
wpłynęło, nie może być zrealizowane w pełnym wymiarze.
Funkcją ryzyka dla rozważanego modelu będziemy nazywali prawdopodobieństwo
ϕ(T, Z1, Z2, ..., ZN) powstania sytuacji „awarii” w przedziale czasu [0, T] pod warun-
kiem, że wstępny zapas poszczególnych dóbr określa się wektorem Z = {Z1, Z 2, ...,
ZN}. Łatwo można się przekonać, że
ϕ(T, Z1, Z2, ..., ZN) = R(T, Z),
natomiast funkcja
ϕ*(T, Z1, Z2, ..., ZN) = 1 – R(T, Z)
określa prawdopodobieństwo skutecznego funkcjonowania magazynu.
Ponieważ zmienne losowe 
) (k
j ξ , j = 1, 2, ..., N, podobnie jak i τk są nieujemne,
można wprowadzić odpowiednie transformacje Laplace’a uj(s), j = 1, 2, ..., N, h(w)
dla rozkładów Uj(x), j = 1, 2, .., N, H(t) rozpatrywanych zmiennych losowych:
∫
∞
− − = =
0
) ( ) ( ) (
) (
x dU e e E s u j
sx s
j
k
j ξ ,( 2 )
h(w) =  ∫
∞
− − =
0
) ( ) ( t dH e e E
wt w k τ .( 3 )
Oznaczmy przez
r*(w, Z1, Z2, ..., ZN) = ∫
∞
−
0
2 1 ) ..., , , , ( n t
wt Z Z Z t R d e ,( 4 )
r(w, s1, ..., sN) = ∫∫ ∫
∞∞ ∞
− − −
00
1
0
1
... ..., , ) ..., , , ( * ...
1 1 dZ dZ Z Z w r e N N
Z s Z s N N .( 5 )
Twierdzenie 1. Prawdziwa jest następująca równość:
r(w, s1, s2, ..., sN) = πP[E – Φ(w, s1, s2, ..., sN)]
–1D(s1, s2, ..., sN)I,( 6 )A. WOJNA, A. KŁODZIŃSKA 86
gdzie E – jednostkowa macierz wymiaru N × N; Φ(w, s1, s2, ..., sN) = [Φij(w, si)],
i, j = 1, 2, ..., N – macierz wymiaru N × N, której elementy są określone równością
Φij(w, si) = pij h(w) ui(si);
D(w, s1, s2, ..., sN) = diag[Dii(w, s1, s2, ..., sN)], i = 1, 2, ..., N – diagonalna macierz
wymiaru N × N, na której głównej przekątnej znajdują się funkcje postaci:
Dii(w, s1, s2, ..., sN) = 
N
i i
s s s
s u
w h
⋅ ⋅
−
...
) ( 1
) (
2 1
;
oraz I – wektor kolumnowy wymiaru N złożony z jedynek.
Aby wykazać prawdziwość relacji (6), wprowadzimy macierz Θ(T, Z) = [Rij(T, Z)],
i ∈ E, j ∈ E, złożoną z warunkowych rozkładów momentów powstania w magazynie
pierwszej awaryjnej sytuacji. Indeksy j ∈ E, i ∈ E rozkładu Rij(T, Z) oznaczają, iż
sytuacja awaryjna została spowodowana brakiem towaru j-tego rodzaju, pod warun-
kiem, że η(0) = i. Określimy również zbiór warunkowych dystrybuant:
) ,..., , ( { 1
) (
N
n
ij Z Z T F , i ∈ E, j ∈ E},   n = 0, 1, ...,
gdzie:
) ,..., , ( 1
) (
N
n
ij Z Z T F  = P{S(n) < T, ξ(n, 1) < Z1,
..., ξ(n, N) < ZN, η(n + 1) = j/η(0) = i};
oraz zbiór warunkowych wartości oczekiwanych, określonych wzorem
) ,... , (
~
1
) (
N
n
ij s s w F =
) , ( ... ) 1 , ( ) ( 1 [
N n s n s n wS N e e E
ξ ξ − − − − ]] ) 0 ( / ) 1 ( [ i j n = = + η η χ .
Rozważając podobnie jak przy wyprowadzeniu twierdzenia w [5], otrzymujemy
równość:
) ,..., , (
~
1
) (
N
n s s w F = ) ..., , , (
~
1
) 1 (
N
n s s w F
− Φ(w, s1, ..., sN),
gdzie  ) ,..., , (
~
1
) (
N
n s s w F  = [ ] ) ..., , , (
~
1
) (
N
n
ij s s w F , i ∈ E, j ∈ E, n = 0, 1, ..., przy czym
) ,... , , (
~
2 1
) 0 (
N s s s w F  = P. Na podstawie warunkowych rozkładów R ij(T, Z ), i ∈ E ,
j ∈ E, określimy funkcje rij*(w, Z1, Z2, ..., ZN) (podobnie do funkcji r*(w, Z1, ..., ZN)
(4)) oraz rij(w, s1, s2, ..., sN) (podobnie do funkcji r(w, s1, s2, ..., sN) (5)). Wprowadzimy
macierz  ) ,... , , (
~
2 1 N s s s w Θ  = [rij(w, s1, s2, ..., sN)], i ∈ E, j ∈ E. Wtedy, analizując fakt
zajścia w tym samym czasie zdarzeń S(µ(Z)) < T, oraz η(µ(Z)) = j, występujących
w definicji rozkładu Rij(T, Z), otrzymujemy następującą równość:Wielowymiarowe modele sterowania zapasami ... 87
) ,... , , (
~
2 1 N s s s w Θ =∑
∞
=
−
1
2 1 2 1
) 1 ( ) ,... , , ( ) ,... , , (
~
n
N N
n s s s w s s s w F D .
Biorąc pod uwagę oczywistą relację R(T, Z) = πΘ(T, Z1, ..., ZN)I oraz wynikającą
z założeń modelu zbieżność szeregu macierzowego ∑
∞
=0
2 1 ) ,... , , (
n
n
N s s s w Φ , dostaniemy
ostateczne uzasadnienie równości (6).
Załóżmy teraz, że mamy do czynienia z systemem obsługi Markowa, który może
funkcjonować w dwóch trybach: 1) trybie „pasywnym”, gdy system jest pusty i czeka
na  kolejne zgłoszenie oraz 2) trybie „aktywnym”, gdy system wykonuje kolejne zgło-
szenie. Intensywności strumienia wpływających do systemu zgłoszeń oraz procesu
obsługi zgłoszeń są równe odpowiednio λ oraz µ. Funkcjonowanie systemu potrze-
buje pewnego surowca i wstępnie posiadana ilość jego zapasu jest równa M. Prawdo-
podobieństwo tego, iż w interwale czasu [t, t + ∆t] powstanie konieczność wykorzy-
stania jakiejś ilości posiadanego zapasu wynosi ν∆t + o(∆t), gdzie ν > 0 jest dodatnią
liczbą, natomiast symbol o(∆t) oznacza, iż  . 0
∆
) ∆ (
lim
0 ∆
=
→ t
t o
t
 Ilość ta jest zmienną loso-
wą, której rozkład zależy od trybu, w którym system się znajduje w momencie t. Dla
trybu 1) jest to zmienna losowa ξ o dystrybuancie K(x), dla trybu 2) natomiast –
zmienna losowa ζ o dystrybuancie D(x). Należy zatem łączny zasób surowca M po-
dzielić na dwie części Z1 oraz Z2, które mogą być wykorzystane odpowiednio w trybie
1) oraz 2).
System musi funkcjonować w przedziale czasu [0, T] oraz R(T, Z 1, Z2) oznacza
prawdopodobieństwo powstania sytuacji „awarii” systemu, czyli sytuacji, gdy w ja-
kimś momencie t ∈ [0, T] zabraknie surowca.
Wprowadzimy punktowy proces stochastyczny S(k), k = 1, 2, ... momentów kolej-
nych tankowań systemu, zakładając, że S(0) = 0. Oznaczmy również przez τk = S(k) –
S(k – 1), k = 1, 2, ... interwały czasu między kolejnymi tankowaniami. Przy założeniach
przyjętych wobec badanego systemu, τ1, τ2, ..., τk, ... będą niezależnymi zmiennymi lo-
sowymi o takim samym rozkładzie wykładniczym z parametrem ν. Oznacza to, iż
H(t) = 1 – e
–νt,  t ≥ 0
oraz
h(w) =
w
e E
k w
+
=
−
ν
ν τ ) ( .
Oznaczmy przez m(t), t ≥ 0 tryb, w jakim znajduje się system w czasie t. Wtedy
m(t), t ≥ 0 będzie jednorodnym łańcuchem Markowa z ciągłym czasem, o dwóch
ewentualnych stanach: m(t) ∈ [1, 2], („1” oznacza tryb 1), „2” oznacza tryb 2). NiechA. WOJNA, A. KŁODZIŃSKA 88
pij(t) = P{m(t) = j/m(0) = i},   i, j ∈ [1, 2]
oznacza funkcję przejść procesu m(t), oraz
η(n) = m(S(n)),   n = 1, 2, ...
Wtedy η(n), n = 1, 2, ... będzie jednorodnym łańcuchem Markowa z dyskretnym
czasem o dwóch stanach: η(n) ∈ [1, 2]. Ponieważ moment S(1) = τ1 jest niezależną
od procesu m(t) zmienną losową o wykładniczym rozkładzie z parametrem ν, stosując
więc wzór określający prawdopodobieństwo całkowite, otrzymujemy
pij =  } ) ( ) 1 ( { i n j n P = = + η η  = P{m(τ1) = j/{m(0) = i}= ∫
∞
−
0
) ( dt t p e ij
t ν ν .
Zatem
pij = ) ( ~ ν ν ij p ,   i, j = 1, 2,
gdzie  ∫
∞
− =
0
) ( ) ( ~ dt t p e s p ij
st
ij , i, j = 1, 2 są transformacjami Laplace’a funkcji przejść
procesu m(t). Zapisując dla funkcji przejść pij(t) procesu m(t) układ różniczkowych
równań Kołmogorowa, a później dokonując w tym układzie transformacji Laplace’a,
otrzymujemy dla macierzy P = [pij], i, j = 1, 2, prawdopodobieństw przejść łańcucha
η(n), następujący wzór:
P = 












+ +
+
+ +
+ + + +
+
λ µ ν
λ ν
λ µ ν
µ
λ µ ν
λ
λ µ ν
µ ν
.
Przyjmijmy dla przykładu, że zmienna losowa ξ ma rozkład wykładniczy z para-
metrem k, a zmienna losowa ζ ma rozkład wykładniczy z parametrem d. Wtedy od-
powiednio U1(x) = K(x) = 1 – e
–kx, u1(s) = E(e
–sξ) =
s k
k
+
 oraz U2(x) = D(x) = 1 – e
–dx,
u2(s) = E(e
–sζ) =
s d
d
+
. Jest oczywistym, że spełnione zostały wszystkie założenia
twierdzenia 1. Na jego podstawie za pomocą bezpośrednich obliczeń otrzymujemy
następujące twierdzenie:
Twierdzenie 2. Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład wykładniczy z parametrem k,
zmienna losowa ζ ma rozkład wykładniczy z parametrem d oraz w momencie czasu
t = 0 system znajduje się w trybie 1), to funkcjęWielowymiarowe modele sterowania zapasami ... 89
r(w, s1, s2) = ∫∫ ∫
∞∞ ∞
− − −








00
1 2
0
2 1 ) , , (
2 2 1 1 dZ dZ Z Z t R d e e t
wt Z s Z s
można przedstawić wzorem:
r(w, s1, s2) =
) , , ( ) )( ( ) (
] ) )( [(
2 1 2 1
2
2
2
s s w V s d s k w s
d B s d w
+ + +
− + +
ν
ν ν ν
) , , ( ) )( )( )( ( 2 1 2 1 1 s s w V s d s k w w s
k B
+ + + +
+
λ ν
νλ ,
gdzie
V(w, s1, s2) = 1 –
w + ν
ν
⋅
) )( )( (
) )( ( ) )( (
2 1
2 1
s d s k
s d k s k d
+ + + +
+ + + + +
µ λ ν
µ ν λ ν
2
3
) ( w +
+
ν
ν
⋅
) )( ( 2 1 s d s k
kd
+ +
,
oraz
µ λ ν
ν
+ +
= B .
Będziemy mówili, iż rozpatrywany system ma optymalną strukturę, jeżeli podziału
M = Z1 + Z2 posiadanego zasobu surowca dokonano w taki sposób, który maksymalizuje
prawdopodobieństwo skutecznego funkcjonowania systemu. Znajomość funkcji ryzyka
R(T, Z1, Z2) pozwala sprowadzić zagadnienie określenia optymalnej struktury badanego
systemu do znalezienia minimum funkcji s(x) = R(T, x, M – x) w przedziale x ∈ [0, M].
Warto również podkreślić, że twierdzenie 2 ma bardziej ogólny charakter i po-
zwala określić funkcję ryzyka R(T, Z 1, Z 2) nie tylko dla wykładniczego rozkładu
zmiennych losowych ξ i ζ. Zastępując funkcje u1(s), u2(s) przez transformacje Lapla-
ce’a dla innych rozkładów, otrzymamy odpowiednie dla tych rozkładów wnioski.
Bibliografia
[1] MANIKOWSKI A., TARAPATA Z., Ocena projektów gospodarczych, Difin, Warszawa 2001, 299 s.
[2] NOWAK E. (red.), Ocena efektywności przedsięwzięć gospodarczych, Akademia Ekonomiczna, Wro-
cław 1998.
[3] RONKA-CHMIELOWIEC W., Ryzyko w ubezpieczeniach – metody oceny, Akademia Ekonomiczna,
Wrocław 1997.A. WOJNA, A. KŁODZIŃSKA 90
[4] STEVENSON W.J., Introduction to management science, IRWIN, INC., Boston 1989, 844 s.
[5] VOINA A.A., KŁODZINSKA A., Risk functions in multidimensional stock control models that function
in a random Markov environment, // Kibernetika i Sistemny Analiz., 2004, nr 4, 150–155.
The multivariate models of the reserves control and their applications
The multidimensional stock control that functions in a random Markov environment is considered. The
mathematical formalization of this model was considered with the use of sums of the random variables de-
fined on the Markov chains. The authors introduce a definition of risk function of the type of downside risk
measures and find the explicit formulas for its determinations. The example of the application of these for-
mulas is provided: the tasks of the reliability and optimal configuration for the queueing problem are re-
garded. The formulas defining the function by the system parameters were obtained
Keywords: stock control, multidimensional model, risk function, Markov chain, queueing system

The multivariate models of the reserves control and their applications

http://www.ioz.pwr.wroc.pl/boid/artykuly/2-2005/art-6-wojna.pdf

The multivariate models of the reserves control and their applications

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Research Papers in Economics