The widely used risk measures as standard deviations and value at risk do not always reflect risk preferences accurately. To overcome this problem we show coherent risk approach. For making the overview of the problem of risk measure we propose a coherent risk measure approach. We started from the definition of risk (market and other) and we took a close look at construction of risk measures. We present a set of axioms according to this approach and a collection of coherent risk measures. In particular, we describe quantile risk measures, distortion risk measures with detailed presentation of the most frequent distortion functions in use. The next propositions are risk measures based on lower partial moments. We show some properties of these measures and also discuss limitations of such measures in practical applications.risk, VaR, CVaR, coherent risk measures, distortion risk measure

Grazyna Trzpiot

Polish

Research Papers in Economics

BADANIA OPERACYJNE I DECYZJE
Nr 3–4 2004
Grażyna TRZPIOT*
O WYBRANYCH WŁASNOŚCIACH MIAR RYZYKA
Powszechnie wykorzystywane do pomiaru ryzyka miary, jakimi są odchylenie standardowe oraz
Value-at-risk nie zawsze oddają charakter mierzonego ryzyka. Dla uogólnienia problematyki pomiaru
ryzyka zaproponowano podejście związane z koherentnymi miarami ryzyka. W pracy omówiono ak-
sjomatykę związaną z proponowanym podejściem oraz przegląd miar związanych z omawianą ak-
sjomatyką. Przedstawiono również dyskusję omawianych własności oraz możliwości praktycznych
zastosowań.
Słowa kluczowe: ryzyko, VaR, CVaR, koherentne miary ryzyka, transformujące miary ryzyka
1. Pojęcie ryzyka oraz miar ryzyka
Percepcja ryzyka jest zazwyczaj związana z potencjalnymi stratami naszych inwe-
stycji, zainwestowany kapitał jest wykorzystywany do określenia strat. Kolejne przy-
kłady odniosą się do jakości pomiaru ryzyka przez odchylenie standardowe oraz VaR
(Value-at-risk).
Weźmy dwie inwestycje, które mają normalne rozkłady stopy zwrotu. Jeżeli ocze-
kiwane wartości stopy zwrotu są liczbami przeciwnymi (przykładowo –100 i +100)
oraz rozkłady te mają takie samo odchylenie standardowe (przykładowo 30), przy
interpretacji odchylenia standardowego mamy jednakową ocenę ryzyka obydwu in-
westycji.
VaR koncentruje się na stratach, analizując poziom najmniejszych wartości roz-
kładu stopy zwrotu z inwestycji (dolny ogon rozkładu). Weźmy 100 różnych akcji,
których stopy zwrotu są niezależne oraz takie, że stopa zwrotu przyjmuje wartości:
+5 z prawdopodobieństwem 0,99 oraz –100 z prawdopodobieństwem 0,01. Porów-
najmy ryzyko dwóch portfeli: pierwszy składa się ze 100 akcji, po jednej sztuce
                                                     
* Katedra Statystyki, Akademia Ekonomiczna im. K. Adamieckiego w Katowicach, ul. Bogucicka 14,
40-226 Katowice,e-mail: trzpiot@ae.katowice.plG. TRZPIOT 92
każdej akcji, drugi to 100 sztuk jednej wybranej akcji. Pierwszy portfel jest zdy-
wersyfikowany. Wyznaczając 95% VaR, uzyskamy odpowiednio dla pierwszego
portfela 200, dla niezdywersyfikowanego – 500, co sugeruje, że pierwszy portfel
jest bardziej ryzykowny.
Zdefiniujemy pojęcie ryzyka (rynkowego i nierynkowego) oraz omówimy zarys
analiz prowadzących do skonstruowania miar ryzyka [2]. Przedstawione miary mogą
być wykorzystywane przez uczestników rynku kapitałowego, ubezpieczeniowego oraz
indywidualnych inwestorów chcących alokować swój kapitał.
Ryzyko zdefiniujemy jako zmianę wartości zajętych pozycji (wartości posiada-
nych instrumentów) pomiędzy dwoma momentami w czasie. Ryzyko ma opisywać
zmianę przyszłych wartości posiadanych instrumentów na skutek zmian na rynku lub
bardziej ogólnie – niepewnych wydarzeń. Zajmujemy się więc tylko przyszłymi war-
tościami. Ryzyko jest zatem określone jako zmienna losowa. Przedmiotem badań jest
zmienna losowa, która jest zbiorem stanów natury w przyszłości, interpretowana jako
możliwe przyszłe wartości posiadanych instrumentów lub portfeli.
Dla przykładu weźmy przedział czasu (0, T), pomiędzy dwoma momentami
w czasie 0 i T, oraz portfel składający się z instrumentów rozliczanych w różnych
walutach. Niech ei będzie losową wielkością jednostek waluty i (1 ≤ i ≤ I), Ai(T) na-
tomiast wielkością przychodu w walucie i w momencie czasu T. Ryzyko to przyszła
wartość netto ∑
=
I
i
i i T A e
1
) ( .
Pierwszą możliwością pomiaru ryzyka posiadanych instrumentów jest ustalenie
zbioru dopuszczalnych przyszłych wartości posiadanych instrumentów, który jest
podzbiorem wszystkich możliwych przyszłych wartości. Jest to taki zbiór, w którym
ryzyko jest akceptowane przez decydentów takich jak regulatorzy, zarządzający port-
felami czy rozliczający – podzbiór akceptowalnego ryzyka.
Zbiór stanów natury zapiszemy jako Ω. Zakładamy, że jest to zbiór skończony.
Ponieważ jest to zbiór wyników pewnego eksperymentu, wyznaczymy więc wszystkie
możliwe wartości na zajętych pozycjach (posiadanych instrumentów). To jest zmien-
na losowa, którą oznaczymy jako X. Dodatkowo zapiszemy jako X
− = max(–X, 0)
oraz supremum X
– jako 
– X .
Zbiór ryzyk zapiszemy jako G. Jest to zbiór wszystkich funkcji o wartościach rze-
czywistych zdefiniowanych na Ω (zmiennych losowych). Ponieważ zakładamy,  że
zbiór Ω jest skończony, można przyjąć, że G = R
n, gdzie n = card(Ω). Stożek dodat-
nich elementów G zapiszemy jako L+, natomiast ujemnych L–.
Zapiszemy jako Ai,j zbiór przyszłych wartości netto wyrażonych w i-tej walucie,
która w kraju i jest akceptowana przez regulatorów j, oraz A = j Ai,j.
Przedstawimy poniżej zbiór aksjomatów dla podzbioru akceptowalnego ryzy-
ka [2].O wybranych własnościach miary ryzyka ... 93
Aksjomat A. Zbiór akceptowalnego ryzyka A  zawiera L+.
Aksjomat B. Zbiór akceptowalnego ryzyka A  nie ma części wspólnej z L– – okre-
ślonego jako
L– – = {X: X(ω) < 0, ω ∈ Ω}.
Często ten aksjomat jest zastępowany mocniejszym założeniem.
Aksjomat B2. Zbiór akceptowalnego ryzyka A spełnia warunek A ∩ L– = {0}.
Kolejny aksjomat odnosi się do awersji do ryzyka części decydentów, a następny
ma najmniej intuicyjny charakter.
Aksjomat C. Zbiór akceptowalnego ryzyka A  jest wypukły.
Aksjomat D. Zbiór akceptowalnego ryzyka A  jest homogenicznie dodatnio okre-
ślonym stożkiem.
Zbiór akceptowalnego ryzyka jest punktem wyjścia do opisu obszaru akceptacji
lub odrzucenia ryzyka. Przejdziemy do zdefiniowania w sposób naturalny miary ryzy-
ka poprzez określenie położenia zajmowanej pozycji (ryzyka posiadanego instru-
mentu) w stosunku do zbioru akceptowanego ryzyka.
Definicja 1. Miara ryzyka jest odwzorowaniem ρ określonym z G  w R.
W przypadku znanego rozkładu prawdopodobieństwa, mówimy o miarach ryzyka
zależnych od modelu (model–dependent) lub o miarach niezależnych od modelu (mo-
del–free). Jeżeli wartość ρ(X) jest dodatnia, jest interpretowana jako minimalna do-
datkowa wpłata, która musi być wykonana, aby utrzymać pozycję (zrekompensuje
straty do pozycji rynkowej). Jeżeli wartość ρ(X) jest ujemna, jest to poziom możliwej
wypłaty, która może być alokowana w dodatkowe instrumenty.
Definicja 2. Miara ryzyka związana ze zbiorem akceptowalnego ryzyka.
Jeżeli stopa zwrotu instrumentu wolnego od ryzyka wynosi r, miara ryzyka związana
ze zbiorem akceptowalnego ryzyka A jest odwzorowaniem z G w R określona jako
ρ(X) = inf{k: k ⋅ r + X ∈ A}.
Definicja 3. Zbiór akceptowalnego ryzyka związany z miarą ryzyka.
Zbiór akceptowalnego ryzyka związany z miarą ryzyka ρ jest określony jako
Aρ = {X ∈ G: ρ(X) ≤ 0}.
2. Własności miar ryzyka
Rozkłady stóp zwrotu dwóch ryzykownych instrumentów (zajmowanych pozycji)
zapiszemy jako X oraz Y. Porównamy przykładowo dwie inwestycje: pierwsza zawie-G. TRZPIOT 94
ra instrumenty ryzykowne oraz instrument wolny od ryzyka (ze stopą zwrotu r), druga
tylko instrumenty ryzykowne. Instrument wolny od ryzyka przynosi pewien stały
zysk, który rekompensuje ewentualne straty, mogące przynieść inwestycje w instru-
menty ryzykowne. Straty są redukowane wysokością kapitału zainwestowanego
w instrument wolny od ryzyka.
Aksjomat 1. Translacja inwariantna
Dla dowolnego X ∈ G i α ∈ R zachodzi ρ(X + α⋅r) = ρ(X) – α.
Jeżeli zatem ρ(X) = α, to mamy ρ(X+ρ(X)⋅r) = 0, co pozwala wyznaczyć kapitał
niezbędny dla pokrycia ryzyka inwestycji.
Gdy porównujemy dwie ryzykowne inwestycje, wówczas porównujemy zysk (wy-
bierając większy) oraz ryzyko, które chcemy minimalizować. Te relacje mają jedynie
stochastyczne znaczenie, ponieważ obserwujemy wysokość zysków (stopy zwrotu)
oraz dodatkowo prawdopodobieństwo, z jakim występują.
Aksjomat 2. Monotoniczność
Dla dowolnego X, Y ∈ G, jeżeli X ≤ Y, to ρ(Y) ≤ ρ(X).
Dywersyfikacja portfela redukuje ryzyko, stąd dołączenie dodatkowego instru-
mentu do portfela nie powinno zwiększyć ryzyka. Ryzyko portfela nie może zatem
przekraczać ryzyka sumy jego składników.
Aksjomat 3. Subaddytywność
Dla dowolnego X, Y ∈ G, ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y).
Warunki inwestycji oraz oczekiwania inwestora często radykalnie się zmieniają,
gdy zmienimy skalę inwestycji. W tym przypadku dywersyfikacja ma mniejsze zna-
czenie i ryzyko rośnie wraz ze skalą inwestycji.
Aksjomat 4. Dodatnia homogeniczność
Dla dowolnego X ∈ G  i λ ≥ 0, ρ(λX) = λρ(X).
Powyższe cztery aksjomaty są oczekiwanymi własnościami dobrej miary ryzyka.
Definicja 4. Koherencja [2]  Mówimy,  że miara ryzyka jest koherentna, jeżeli
spełnia aksjomaty 1–4.
Spośród znanych miar ryzyka nie wszystkie spełniają powyższy układ warunków.
Odchylenie standardowe nie spełnia aksjomatów 1 i 2, VaR nie spełnia aksjomatu 3
1.
Obydwie te miary nie są koherentne. Również klasa miar wykorzystujących semi-
wariancję znanych z analizy portfelowej nie jest koherentna.
                                                     
1 Wartość VaR jest stratą, która na ustalonym jednostronnym poziomie ufności nie może być prze-
kroczona w ustalonym okresie czasu: VaRα (X ) = – inf {x: P(X ≤ x) > α}.
Dla rozkładu normalnego mamy: VaR = – (E(X ) + Φ
−(α) ⋅ σ(X )), brak subaddytywności.O wybranych własnościach miary ryzyka ... 95
Przykładowo aksjomat o monotoniczności wyklucza miarę ryzyka określoną jako
ρ(X) = –E(X) + α⋅σ(X), gdzie α > 0. Aksjomat o subaddytywności wyklucza nato-
miast miary typu semiwariancja ρ(X) = –E(X) + α⋅σ((X – E(X)
–).
3. Kwantylowe koherentne miary ryzyka
Pomimo iż VaR nie jest miarą koherentną, jest miarą stosowaną w praktyce. Wła-
sność, która decyduje o tym – to koncentracja uwagi na potencjalnych stratach. Za-
proponowano miarę, która jest średnim poziomem strat, jeżeli poziom strat przekracza
VaR. Tak określona miara nazywa się Expexted shortfall (ES) [1, 6], dolna warunko-
wa średnia (tail conditional expectation – TCE) lub warunkowe Var (CVaR) zapisy-
wane jako
CVaRα = ESα(X) = –E{X | X ≤ – VaRα(X)},
lub uwzględniając stopę wolną od ryzyka r
TCEα(X ) = – inf E{X/r| X/r ≤ – VaRα (X)}.
CVaR jest definiowany jako średnia z kwantyli najgorszych realizacji wartości
stóp zwrotu. Taka definicja zapewnia, że VaR nie przekracza CVaR, czyli portfel
z najmniejszym CVaR musi mieć również najniższą wartość VaR. CVaR jest funkcją
wartości α dla ustalonego X.
Udowodniono [6], że CVaR jest koherentną miarą ryzyka, ma własność przechod-
niości, jest dodatnio homogeniczna, wklęsła, monotoniczna zachowuje własność domi-
nacji oraz stochastycznej rzędu pierwszego i drugiego (FSD, SSD).
Analogiczną konstrukcją charakteryzuje się kolejna koherentna miara ryzyka, od-
nosząca się do potencjalnych strat – najgorsza warunkowa średnia (worst conditional
expectation), określona następująco:
WCEα(X) =  – inf {E(X/r|A): P(A) > α}.
Stwierdzenie [2]. Pomiędzy określonymi powyżej miarami zachodzi nierówność
TCEα(X) ≤ WCEα(X).
Studia empiryczne prowadziły inną drogą do analitycznych własności miar domi-
nujących wartość VaR, mających porównywalne wartości i lepsze własności.
Twierdzenie [2]. Dla każdego rozkładu ryzyka X zachodzi
VaRα(X) = – inf {ρ(X): ρ jest koherentna i ρ ≥ VaRα}.G. TRZPIOT 96
4. Transformujące miary ryzyka oraz dolny moment cząstkowy
Funkcja transformująca (distortion function) jest rosnącą funkcją g: [0, 1] → [0,
1] taką, że g(0) = 0 oraz g(1) = 1. Zadaniem tego odwzorowania jest transformacja
dystrybuanty zmiennej losowej tak, aby wyższe wagi odpowiadały większym stratom.
Wykorzystując powyższe określenie funkcji transformującej oraz dystrybuantę
rozkładu stopy zwrotu ryzykownego instrumentu F(⋅), możemy zdefiniować trans-
formujące miary ryzyka (distortion risk measure) ρ(⋅) następująco:
∫
∞ −
− =
0
)) ( 1 ( ) ( dt t F g X ρ .
Najczęściej wykorzystywane funkcje transformujące zebrano w tabeli 1 [4].
Tabela 1 
Przykłady miar ryzyka wykorzystujących funkcje transformujące*
Miara ryzyka Funkcja transformująca Założenia
Transformacja beta dt t t
b a
X g
b
x
a 1
0
1 ) 1 (
) , (
1
) (
− − ∫ − =
β a ≤ 1, b ≥1
Proporcjonalna transformacja
funkcji hazardu
1
a x x g = ) ( a ≤ 1
Dualna funkcja mocy
1 a x x g ) 1 ( 1 ) ( − − = a ≤ 1
Zasada Giniego
2 ) 1 ( ) ( ax x a x g − + = 0 ≤ a ≤ 1
Transformacja Wanga )) ( ) ( ( ) (
1 1 c x x g
− − − = Φ Φ Φ
Expected shortfall
 



− ≤ ≤
−
≤ ≤ −
=
c x
c
x
x c
x g
1 0 ,
1
1 1 , 1
) (
Value at risk
2



− ≤ ≤
≤ ≤ −
=
c x
x c
x g
1 0 , 0
1 1 , 1
) (
* c oznacza kwantyl rzędu  c dystrybuanty rozkładu  X,  dt t t b a
b a 1
1
0
1 ) 1 ( ) , (
− − ∫ − = β ,  Φ (⋅) oznacza
dystrybuantę rozkładu normalnego, 1 – proporcjonalna transformacja funkcji hazardu oraz dualna funkcja
mocy są szczególnymi przypadkami transformacji beta, 2 – Value at risk nie jest koherentną miarą ryzyka.
Wirch i Hardy [10] pokazali, że tak określona miara ryzyka jest koherentna, jeżeli
funkcja transformująca jest wklęsła. Wiadomo, że to założenie towarzyszy zastosowaniom
SSD (dominacji stochastycznych rzędu drugiego) i jest równoważne z awersją do ryzyka
potencjalnych inwestorów. CVaR nie ma ściśle wklęsłej funkcji transformującej. Miary
ryzyka, które nie są koherentne, takie jak VaR czy odchylenie standardowe, również mają
specyficzne założenia dotyczące preferencji potencjalnych inwestorów.O wybranych własnościach miary ryzyka ... 97
Na przykład pokazano [3], że dla dolnej semiwariancji  ∫
∞ −
− =
0
2 2
2 ) ( )) ( ( X dF X E X σ ,
odpowiednia miara ryzyka określona jako
2 ) ( ) ( σ ρ a X E X − − = ,     dla 0 ≤ a ≤ 1
jest koherentna.
Ta miara jest łatwa do zastosowania przez wykorzystujących metodologię VaR,
ponieważ przy założeniu rozkładu normalnego stóp zwrotu powyższe wyrażenie jest
wyznaczane analogiczne do VaR. Podstawowa różnica polega na tym, że dolna semi-
wariancja uwzględnia jedynie straty, a nie wszystkie możliwe stopy zwrotu.
Stwierdzenie [3]. Wypukła kombinacja koherentnych miar ryzyka w L
p jest ko-
herentną miarą ryzyka w L
p.
Oczywiście możliwe jest włączenie do tego typu miar ryzyka również wyższych
momentów cząstkowych tak, aby urealnić preferencje inwestorów. Definiujemy dolny
moment cząstkowy rzędu-n jako
∫
∞ −
− =
0
) ( )) ( ( X dF X E X
n n
n σ ,
dla całkowitych n ≥ 1. Wówczas dla takiego ciągu, że an ≥ 0 oraz ∑
=
N
n
n a
1
≤ 1, dla pew-
nego 0 ≤ N ≤ ∝ miara ryzyka
∑
=
− − =
N
n
n n a X E X
1
) ( ) ( σ ρ
jest koherentna.
Możemy interpretować tę miarę jako ważoną średnią pierwszych N dolnych mo-
mentów cząstkowych, gdzie wartości wag an odpowiadają znaczeniu danego dolnego
momentu cząstkowego rzędu n. Im wyższa jest wartość n, tym większa waga jest na-
dana największemu ujemnemu odchyleniu od ustalonej wartości krytycznej w wyzna-
czanym dolnym cząstkowym momencie.
Podsumowanie
Transformujące miary ryzyka znalazły zastosowanie do wyznaczenia premii za
ubezpieczenie. W zarządzaniu ryzykiem finansowym nie mają powszechnego zasto-
sowania. Miary koherentne krytykuje się w związku z aksjomatem 3 (subaddytyw-G. TRZPIOT 98
ność). Ten aksjomat można też zinterpretować tak, że ryzyko dużej zdywersyfikowa-
nej inwestycji (firmy) może być mniejsze niż kilku małych niezależnych inwestycji
(firm). Pojawiają się argumenty za tym, że w zastosowaniach VaR jest optymalną
miarą dla inwestorów, natomiast CVaR jest optymalną miarą dla regulatorów, poziom
strat, które doprowadzają do bankructwa nie jest bowiem bezpośrednim przedmiotem
rozważań inwestorów.
Bibliografia
[1] ALBRECHT P., Normal and Lognormal Shortfall Risk, [in:] Proccedings, 3rd AFIR International
Colloquium, Rome, 1993, 2, 417–430.
[2] ARTZNER P., DELBAEN F., EBER J. -M., HEATH D., Coherent Measure of Risk, Mathematical Finance,
9, 1999, 203–228.
[3] FISCHER T., Coherent risk measures depending on higher moments, University of Heidelberg, 2001.
[4] KRAUSE A., Coherent Measure of Risk: an introduction, Balance Sheet, 10, 2002, 13–17.
[5] OGRYCZAK W., RUSZCZYŃSKI A., Dual Stochastic Dominance and Quantile Risk Measures, Interna-
tional Transactions in Operational Research, 9, 2002, 661–680.
[6] PFLUG G. Ch., Some Remarks on the Value-at-Risk and the Conditional Value-at-Risk, [in:] Proba-
bilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications, Kluwer Academic Publishers,
2000.
[7] ROCKAFELLAR R. T., URYASEV S., Optimization of Conditional Value-at-Risk, Journal of Risk, 2,
2000, 21–41.
[8] SIU T. K., YANG H., Subjective risk measure: Bayesan predictive scenarious analysis, Insurance:
Mathematics and Economics, 25, 1999, 157–170.
[9] TRZPIOT G., Kwantylowe miary ryzyka, Prace Naukowe AE Wrocław 1022, Taksonomia 11, 2004,
420–430.
[10]WIRCH J. L., HARDY M. R., Distortion Risk Measure: Coherence and Stochastic Dominance, work-
ing paper, University of Waterloo, 2001.
Some properties of risk measures
The widely used risk measures as standard deviations and value at risk do not always reflect risk
preferences accurately. To overcome this problem we show coherent risk approach. For making the over-
view of the problem of risk measure we propose a coherent risk measure approach. We started from the
definition of risk (market and other) and we took a close look at construction of risk measures.
We present a set of axioms according to this approach and a collection of coherent risk measures. In
particular, we describe quantile risk measures, distortion risk measures with detailed presentation of the
most frequent distortion functions in use.
The next propositions are risk measures based on lower partial moments. We show some properties
of these measures and also discuss limitations of such measures in practical applications.
Keywords: risk, VaR, CVaR, coherent risk measures, distortion risk measure

Some properties of risk measures

http://www.ioz.pwr.wroc.pl/boid/artykuly/3-4-2004/art-7trzpiot.pdf

Some properties of risk measures

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Research Papers in Economics