In this work we make a traditional portfolio analysis using the Sharpe ratio to identify the market portfolio. This measure of investment performance was compared with those obtained with bootstrapping the Sharpe ratio. The results indicate that the choice of market portfolio is greatly affected by the uncertainty regarding the estimation of expected returns and the variance-covariance matrix of returns, i.e. the estimation risk associated with these parameters.Análisis de portafolio; bootstraping

Gonzales, Rolando

Spanish

Research Papers in Economics

AnÆlisis de Portafolio con Ratios de Sharpe
Remuestrados Mediante Bootstrapping
Rolando Gonzales
Universidad de AlcalÆ
Resumen
En este trabajo se realiza un anÆlisis de portafolio tradicional em-
pleando el ratio de Sharpe para identi￿car el portafolio de mercado. Es-
ta medida del desempeæo de la inversi￿n se compara con las obtenidos
con remuestras bootstrapping del ratio de Sharpe. Los resultados in-
dican que la elecci￿n del portafolio de mercado se ve muy afectada por
la incertidumbre respecto a la estimaci￿n de los retornos esperados
y la matriz varianza-covarianza entre los retornos, i.e. el riesgo de la
estimaci￿n asociado a estos parÆmetros.
Palabras Clave: AnÆlisis de portafolio, Bootstrapping
Clasi￿caci￿n JEL: G11, C15
1. Introducci￿n
En este trabajo se aplican tØcnicas de anÆlisis de portafolio con las coti-
zaciones mensuales al cierre de las acciones de Thermal Energy International
Inc. (tmg.v), Crew Energy Inc (cr.to), KV Pharmaceutical Co. (kv-a) y
N-Viro International Corp. (nvic.ob), desde noviembre de 2004 a mayo de
2010 (67 observaciones).
El objetivo del trabajo es identi￿car la composici￿n del portafolio de
mercado que ofrece la inversi￿n mÆs e￿ciente en tØrminos de rendimiento-
riesgo entre los portafolios ￿ptimos de la frontera e￿ciente. Para encontrar
este portafolio, se emplea el ratio de Sharpe (1964) y se compara Øste con
los resultados de remuestras con bootstrapping.
La parte 2 del trabajo describe la metodolog￿a, la parte 3 son los resul-
tados y la parte 4 concluye.
12. AnÆlisis de portafolio con Ratios de Sharpe Re-
muestreados
La teor￿a de selecci￿n de portafolio basada en el anÆlisis media-varianza
toma en cuenta solamente los dos primeros momentos de la distribuci￿n de
los retornos de los activos. Def￿nase ￿ = [E[r1]];E[r2];:::;E[ri]]T como el
vector de retornos esperados y ￿ la matriz de covarianza de los retornos
con ￿2
i = V ar[ri] y ￿kl = Cov[rk;rl] de un portafolio de i activos con pesos
w = [w1;w2;:::;wi]T, que representan la fracci￿n del total de la inversi￿n de
capital colocada en el activo i. Por de￿nici￿n, wT1 = 1. El retorno esperado
y la varianza del portafolio son simplemente,
E[rp] = wT￿;V ar[rp] = wT￿w:
Si no se incluye activos libres de riesgo y asumiendo ventas a corto ili-
mitadas, el portafolio de m￿nima varianza resuelve el problema de minimi-
zaci￿n,
m￿ ￿n
w2R
wT￿w s.a. ￿p;i = wT￿;wT1 = 1
para un retorno esperado del portafolio ￿p.
Si se quiere encontrar el portafolio de mercado entre los portafolios que
forman la frontera-e￿ciente, puede utilizarse el ratio de Sharpe (S),
Si =
wT
i ￿ ￿ rf
q
wT
i ￿wi
y escoger aquel portafolio que tenga el mayor ratio de Sharpe, con el
wT
i ￿ rendimiento, wT
i ￿wi la varianza y los wi pesos del i-portafolio, dada
una rf tasa libre de riesgo.
Sin embargo, los retornos esperados y la desviaci￿n estÆndar del portafo-
lio no son observables y tienen que ser estimados ￿ normalmente mediante el
promedio de los retornos hist￿ricos y la matriz varianza-covarianza muestral￿
por lo que el ratio de Sharpe es estrictamente una variable aleatoria que ten-
drÆ un estimador puntual,
b Si =
wT
i b ￿ ￿ rf
q
wT
i b ￿wi
Es decir, debido a que b ￿ y b ￿ son estimadores, b Si es una variable aleatoria
con un funci￿n de distribuci￿n de probabilidad, que resulta de interØs para
2medir la incertidumbre en la estimaci￿n de Si. Si bien existen resultados
anÆliticos para los momentos de esta distribuci￿n ￿ vØase por ejemplo Bao
y Ullah (2005)￿ , Vinod y Morey (2001) sugirieron aproximar la funci￿n de
distribuci￿n de b Si mediante bootstrapping. En lugar de asumir una distribu-
ci￿n paramØtrica para b Si, con la metodolog￿a de remuestreo bootstrapping
se aproxima emp￿ricamente la distribuci￿n muestral de b Si investigando la
variaci￿n de b Si en un gran nœmero de pseudo-muestras de tamaæo n. (El
remuestreo implica tomar una muestra aleatoria con reemplazamiento de la
muestra, como si Østa se tratara de una poblaci￿n ￿nita de tamaæo n.)
Si para cada i-activo se calculan e S1;i; e S2;i;:::; e SB;i meta-estimadores del
ratio de Sharpe con b = 1;2;:::;B remuestras bootstrap de tamaæo n, un
estimador de la desviaci￿n estÆndar de b Si serÆ,
b ￿b S;i =
v u u
t(B ￿ 1)
￿1
B X
b=1
￿
e Sb;i ￿ e Si
￿2
N￿tese que la estimaci￿n b Si de Si s￿lo puede obtenerse en una ocasi￿n
con una muestra de tamaæo n, por lo que el meta-estimador bootstrap e SB;i
proporciona informaci￿n sobre la variaci￿n de b Si (no de Si), y b ￿b S;i puede
ser interpretado como el riesgo de estimaci￿n del ratio de Sharpe. Si dos
portafolios tienen ratios de Sharpe muy pr￿ximos, un inversor elegirÆ el
portafolio con menor riesgo de estimaci￿n en el ratio de Sharpe (menor
b ￿b S;i).
Vinod y Morey (2001) sugirieron tambiØn construir un ratio de Sharpe
doble para evaluar un portafolio. Este ratio de Sharpe doble es el cociente
entre el ratio de Sharpe b Si y su riesgo de estimaci￿n b ￿b S;i, b Si=b ￿b S;i:
Por œltimo, el bootstrapping percent￿lico provØe un 1 ￿ ￿ intervalo de
con￿anza no-paramØtrico para Si a partir de la distribuci￿n emp￿rica que
resulta de las muestras bootstrap
￿
e S1;i ￿ b Si;:::; e SB;i ￿ b Si
￿
, escogiendo ￿=2
y 1 ￿ ￿=2 cuantiles:
h
e S (1 ￿ ￿=2) ￿ b Si; e S (￿=2) ￿ b Si
i
;
por lo que:
P
￿
e S (1 ￿ ￿=2) ￿ b Si < Si ￿ b Si < e S (￿=2) ￿ b Si
￿
= P
￿
e S (1 ￿ ￿=2) < Si < e S (￿=2)
￿
￿ 1 ￿ ￿:
VØase Kvam y Vidakovic (2007).
33. Resultados
En la ￿gura 1 se observa (i) una ca￿da en los precios de cotizaci￿n de
las acciones de Thermal Energy International Inc. y de KV Pharmaceutical
Co. en las œltimas observaciones de la muestra, y (ii) que los rendimientos
de Crew Energy Inc. y N-Viro International Corp. son mÆs volÆtiles que los
rendimientos de Thermal Energy International Inc. y de KV Pharmaceutical
Co. Con los rendimientos de las acciones de estas empresas se calcul￿ el
vector de retornos esperados estimado b ￿ = [0.0020;0.0089;-0.0383;0.0036]T,
la matriz varianza-covarianza muestral,
b ￿ =
0
B
B
@
0.0672 0.0079 0.0154 0.0090
0.0079 0.0284 0.0152 -0.0015
0.0154 0.0152 0.0982 0.0162
0.0090 -0.0015 0.0162 0.0407
1
C
C
A;
y se simularon mil portafolios con composici￿n aleatoria (￿gura 2). Se
construy￿ ademÆs la frontera-e￿ciente, con los portafolios que producen la
asignaci￿n ￿ptima en tØrminos de rendimiento-riesgo. El portafolio ￿ptimo
de menor riesgo tiene un rendimiento de 7.40%, y un riesgo de 42.58%
(Tabla 1).
Asumiendo rf = 2% (anual), el portafolio con mayor ratio de Sharpe
es el portafolio nœmero 7, (b S7 = 0;0443, vØase la Tabla 1). El rendimiento
anualizado de este portafolio es 9.55%, y su riesgo es de 49.26%. La com-
posici￿n que corresponde a este portafolio es w7 = [0,0.828,0,0.172]T; 0%
para Thermal Energy International Inc., 0% para KV Pharmaceutical Co.,
82,8% para Crew Energy Inc. y 17.2% para N-Viro International Corp. Los
resultados de mil remuestras con bootstrapping del ratio de Sharpe para
este portafolio muestran sin embargo que existe bastante incertidumbre re-
specto al valor de la estimaci￿n puntual de b S7 =0.0443, ya que b ￿b S;7 =0.1128
y el intervalo de con￿anza del 95 por ciento incluye al cero, por lo que no
puede rechazarse estad￿sticamente que el ratio de Sharpe de este portafo-
lio sea nulo (vØase la ￿gura ?? y la tabla 1). Considerando las medidas de
remuestreo, el portafolio 9 tiene la menor desviaci￿n estÆndar del ratio de
Sharpe (menor riesgo de estimaci￿n), igual a b ￿b S;9 =0.0986, por lo que tiene
el mayor ratio de Sharpe doble comparado con el resto de los portafolios. En
este portafolio la asignaci￿n es w9 = [0,0.942,0,0.0573]T; 94,27% para Crew
Energy Inc. y 5.73% para N-Viro International Corp.
En todos los portafolios, los l￿mites inferiores de los intervalos de con￿an-
za del 95 por ciento son negativos, sugiriendo que el desempeæo del activo
4libre de riesgo podr￿a ser superior al de las inversiones en las acciones de las
empresas analizadas.
4. Conclusi￿n
En este trabajo se utiliz￿ el ratio de Sharpe como medida del desempeæo
de la inversi￿n para escoger la composici￿n ￿ptima entre los portafolios que
forman la frontera e￿ciente. Debido a que el ratio de Sharpe se basa en
los retornos esperados y la desviaci￿n estÆndar del portafolio para su cÆl-
culo ￿ parÆmetros que son desconocidos y requieren ser estimados￿ , existe
un riesgo de estimaci￿n asociado al ratio de Sharpe. Mediante tØcnicas de
remuestreo con bootstrapping, se aproxim￿ el valor de este riesgo y se utiliz￿
los datos para construir intervalos de con￿anza y ratios de Sharpe dobles.
Los resultados muestran que la incertidumbre en la estimaci￿n del ratio de
Sharpe puede modi￿car la elecci￿n del portafolio de mercado y sugieren que
en algunos casos el desempeæo del activo libre de riesgo puede ser igual o
superior al de las inversiones en las acciones del portafolio con riesgo.
Referencias
[1] Bao, Yong, Aman Ullah (2006). Moments of the estimated Sharpe ratio
when the observations are not IID, Finance Research Letters, Volume 3,
Issue 1, March 2006, pp. 49-56.
[2] Kvam, Paul, Brani Vidakovic (2007), Nonparametric Statistics
with Applications to Science and Engineering, Wiley Series in
Probability and Statistics, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jer-
sey, pp. 446.
[3] Sharpe, William F. (1964), Capital Asset Prices: A Theory of Market
Equilibrium under Conditions of Risk, The Journal of Finance, Vol. 19,
No. 3 (Sep., 1964), pp. 425-442.
[4] Vinod, H.D., Morey, M.R. (2001). A double Sharpe ratio. En: Lee, C.F.
(Ed.), Advances in Investment Analysis and Portfolio Management, vol.
8. JAI/Elsevier Science, New York, pp. 57￿ 65.
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6Figura 1: Cotizaciones y rendimientos de los activos analizados
7Figura 2: Frontera e￿ciente, portafolios aleatorios y portafolio de mercado
Figura 3: Distribuci￿n del mayor ratio de Sharpe (portafolio 7) obtenida con
bootstrap
8

Portfolio analysis with Sharpe ratios resampled by bootstrapping

Abstract

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