Se presentan aplicaciones recientes del Método de los Elementos de Contorno al cálculo de impedancias de cimentaciones en terrenos viscoelásticos, haciendo especial hincapié en el tratamiento de medios estratificados para problemas con simetría de revolución y en la forma de tratar zapatas flexibles

Alarcón Álvarez, Enrique

Benito Muñoz, Juan José

Dominguez Abascal, José

Gómez Lera, Sagrario

Servicio de Coordinación de Bibliotecas de la Universidad Politécnica de Madrid

IMPEDANCIAS DINAMICAS EN ZAPATAS RIGIDAS Y FLEXIBLES SOBRE MB-
DIOS VISCÓELASTICOS 
J.J. Benito*, M~ S. Gómez~Lera**, E. Alarcón** y J. Dominguez*** 
* INITEC, Madrid 
** Universidad Politécnica de Madrid 
*** Universidad de Sevilla 
RESUMEN 
Se presentan aplicaciones recientes del Método de los Ele-
mentos de Contorno al cálculo de impedancias de cimentaciones 
en terrenos viscoelásticos, haciend~ especial hincapié en el tr~ 
tamiento de medios estratificados para problemas con simetría 
de revolución y en la forma de tratar zapatas flexibles. 
INTRODUCCION 
La determinación de la respuesta de cimentaciones sometidas 
a cargas dinámicas constituye un problema de interés en sí mismo 
para el cálculo de cimientos de máquinas y es además una parte 
importante dentro de un campo ~ás general que se conoce como in-
teracción dinámica suelo-estructura. 
La interacción dinámica suelo-estructura se ocupa de la co~ 
sideración del sistema suelo-estructura como un todo cuya res-
puesta dinámica debe ser determinada. No puede suponerse que es-
tructuras de gran responsabilidad que se ~poyan o entierran en 
el suelo se encuentran unidas a un medio indeformable ya que la 
deformabilidad del suelo, no sólo es evidente, sino que además 
de ella depende la respuesta del conjunto y por tanto de la es-
tructura sobre él cimentada. El primer problema que se trató de~ 
tro de lo que llamamos interacción dinámica suelo-estructura es 
el de los cimientos de máquinas sometidas a solicitaciones diná-
micas. Es evidente aquí la importancia de la deformabilidad del 
suelo. Los edificios al tos sujetos a solicitaciones de viento 
son otro ejemplo de problemas donde la deformabilidad del suelo 
es importante y dÓnde la excitación es externa. En los últimos 
viente anos han adquirido gran importancia los problemas en los 
que la excitación dinámica proviene del propio suelo, normalmen-
te un movimiento sísmico. 
En todos los casos antes citados es de gran importancia la 
determinación de la impedancia del cimiento: es decir, la matriz 
que relaciona el vector de fuerzas y momentos aplicados al ci-
miento, y los desplazamientos y giros que en él se producen. Tan 
209 
to las fuerz~s como los desplazamientos se suponen armónicos en 
el tiempo siendo la matriz de impedancias una función de la fre-
cuencia. Para el cálculo de impedancias, se supone con frecuen-
cia qu~el. cciimmiento es un sólido rígido y sin masa. Una vez obt~ 
nida la ~z de impedancias se determina la respuesta de la 
estructura y la masa del ~imiento colocadas sobre unos •resortes 
y amortiguadores• cuya impedancia es la calculada. La respuesta 
a excitaciones no armónicas puede obtenerse mediante· la transfoE 
mada de Fourier. 
En los casos en que la rigidez del cimiento no es grande, 
debe suponerse este como un sólido deformable, aumentando el nú-
mero de grados de libertad de la matriz de impedancias. 
METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA EL CALCULO DE IMPEDAN-
CIAS DE CIMENTACIONES 
El Método de los Elementos de Contorno (MEC) es muy adecua-
do para la resolución de problemas que implican medios infinitos 
o semi-infinitos como es el caso de suelos. La formulación del 
método en elastodinámica fue desarrollada en 1968 [ 1] y desde 
entonces se han estudiado numerosas aplicaciones empleando, la 
transformada de Laplace [1,2], transformada de Fourier [3] o tr~ 
bajando en el dominio del tiempo [ 4, 5] • El MEC ha sido empleado 
también para el cálculo de impedancias de cimentaciones rígidas 
en casos de dos .Y tres dimensiones [6,7]. 
En este trabajo se presentan algunas aplicaciones que re-
cientemente han sido estudiadas por los autores dentro del cálc~ 
lo de impedancias de cimentaciones. 
CIMENTACIONES CIRCULARES 
Los problemas que presentan simetría de revolución pueden 
ser modelados utilizando únicamente elementos monodimensionales. 
En el ca$o estático, esto puede realizarse empleando una solu-
ción fundamental de tipo carga anular [a] o integrando la solu-
ción de la carga puntual en tres dimensiones no sólo sobre la 
linea del elemento sino también a lo largo de la circunferencia. 
En el caso dinámico es la segunda de las opciones la única que 
resulta realizable sin excesivo coste numérico ya que no existe 
expresión explícita para la carga anular armónica. 
Cuando las condiciones de contorno no presentan simetría 
de revolución, el pro~lema puede aún tratarse como bidimensional 
desarrollando desplazamientos y tracciones en serie de Fourier 
a lo largo de la dirección circunferencial [9]. Por ejemplo, en 
el caso de cimentaciones circulares a las que se prescribe un 
desplazamiento horizontal o de cabeceo en torno a un eje horizo~ 
tal, para el cálculo de los correspondientes términos de la ma-
triz de impedancias, los desplazamientos en dirección radial y 
vertical varían como cos e y los desplazamientos en dirección 
circunferencial varían como sen e. 
210 
p1 1. 7•1 o3 Kg/m3 
El l. 768 to
6 N/m2 
"t 0.3 
p2 2 • 103 Kg/m3 
E2 = 1.25 • 10
7 N/m2 
"2 = 0.25 
111 
111 
(111 
H/R • l 
1 -- Luco 
N 
* 
B. E.M. 
.e 
M + Chape! 
~ 
' 1 ,.., N 
N 
~ 
• Q: 111 
111 
ai 
111 
• 
¡a.ll8 2.118 4.118 8.118 
F"requency HR/Cs 
111 
111 
N 
• H/R - l 11'1 
.e -- Luco 
M 
* 
B.E.H. ~ 
' 
+ Chape! ,.., 
o 1 a: 
' N N 
~ 
E 111 
1-4 ~ 
1 
••• 118 2.118 4.88 &.118 
F"requency HR/Cs 
Figura l. Zapata ,circular sobre suelo compuesto de dos 
materiales. 
211 
o 
o. 
' 
o. o 
o 
..• 
o.~ 
0.0 
o 
-
A 
~ ~~~ ~ _........., 
-
--Soluc16nLUCON ~ 
* 
-••.t.c.-
. 
1 1 1- 1 1 1 
-
~ 
-- S.twj&nLUCON 
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~ "* '"'""'"" ... c.c o -
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o.s 
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. 01 o. •.. 1.0 
1.1 •• '·· •·• o.• o.e •.o 1.2 ·-~ 
·. 
Figura 2. Zapata circular sobre suelo estratificado con 
cinco materiales. 
212 
En problemas axisimétricos la precisión de la integraci(m 
numérica puede ser incrementada concentrando puntos de integra-
ción en las proximidades del punto de colocación, lo cual puede 
realizarse con una transformación parabólica de la coordenada 
circunferencial [1~ 
e= 1!. <n + ll 2 
4 
-1 < n < 1 ( 1) 
Se ha estudiado una zapata rígida circular sobre un semies-
pacio elástico con un estrato de suelo en la parte superior. Las 
propiedades del suelo son las mismas empleadas por Chapel [11] 
con objeto de comparar con resultados también obtenidos mediante 
el MEC. En la figura 1 se indican las propiedades de los materi~ 
les y se representan, en función de la frecuencia adimensional, 
los valores de las partes real e imaginaria de la impedancia veE 
tical normalizada respecto 911 valor estático de la impedancia 
horizontal. El modelo de elementos de contorno empleado consta 
de 8 elementos consantes (tensión y desplazamientos constantes) 
bajo la zapata, 7 en la superficie libre del suelo y 8 en el co~ 
torno interno entre el estrato de suelo y la base rocosa. Los 
resultados son comparados con los de Chapel [11] y Luco [12], 
y como puede verse existe buen acuerdo con ellos, en particular 
con los de Luco. 
En la figura 2 se muestra la discretización empleada para 
el cálculo de las impedancias de una zapata circular en la supeE 
ficie de un suelo estratificado con cinco materiales viscoelás-
ticos diferentes. Las propiedades de los materiales y otros deta 
lles geométricos pueden verse en [13]. Tanto la discretizació;; 
como los resultados mostrados en la figura corresponden a una 
frecuencia adimensional a
0 
= 1.4. Los valores de las partes real 
e imaginaria de las impedancias horizontal y vertical son compa-
rados· con otros presentados por Luco [12] para este mismo probl~ 
ma. 
CIMENTACIONES FLEXIBLES 
Se realiza a continuación un análisis de la respuesta diná-
mica de una losa flexible situada sobre el semiespacio .elástico 
homogéneo tridimensional. En el proceso de ~álculo, se forma la 
matriz de rigidez dinámica del sistema suelo-cimentación, a par-
tir de la de la losa obtenida por aplicación del Metodo de los 
Elementos Finitos, y la de impedancias del terreno calculada me-
diante el Método de los Elementos de Contorno en el dominio de 
la frecuencia. 
El proceso seguido en la formación de la matriz de rigidez 
del sistema (ZSIST(W)) puede verse esquemáticamente representado 
en la figura 3. 
Como se explicará más adelante, la matriz de impedancias 
213 
MATRICES DE RIGIDEZ Y MASA 
DE LA LOSA 
OETENCION DE LAS "ATRICES DE RIGIDEZ 
EL.EMENTALES. K~ M; 
l MONTAJE DE LOS TERMINO$ DE LA MATRIZ GLOBAL DE LA LOSA 
?;:~?,~ 
KL ML 
l CONDENSACION DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ DE LA LOSA PARA ELIMINAR LOS GIROS. 
MATRIZ DE IMPEDANCIAS DEL TERRENO 
DIICIIITIZACIOII DIL IUILO I'AIIA LA o•TIIICION 
DI •u IU T IIIZ DI IMI'IDAIICIAI. 
AL DAII MOVIIIIIIMTO UNIDAD A CADA UNO DI 1L LOS 
IIIAIITIIIIINDD NULOI TODOI LOI Dt:IIIAI. 
OITINCION DE LA IIIATIIIZ DI IIII'IDAIICIAI 1'011 
INTIIIIACIOII DlL Vo\LOII DI Lo\ TINIION IOIIIE 
IL AIIIA DI CADA ILIIIIIIITD. 
~ ~Zau (w) 
MO~'TAJE DE LA MATRIZ DE IMPEDANCIAS DEL 
SISTEMA SUI!LO- CIMENTACION. 
ZIITL (W)• l<cL(tiJ )+ z .. 111 (W) 
Figura 3. Formación de la matriz de rigidez 
del sistema suelo-cimiento. 
214 
del terreno (ZSU(W)), se obtiene para los grados de libertad veE 
ticales; por otra parte, en .la matriz de rigidez de la losa se 
han considerado tres grados de libertad por nodo, por lo que se 
ha realizado una condensación mediante un proceso estandar de 
Gauss, obteniéndose: 
K' - M w
2 
CL CL ( 2) 
Siendo: KCL( W) la matriz de rigidez condensada de la losa en 
función de la frecuencia 
KCL la matriz de rigidez condensada de la losa 
MCL la matriz de masa de la losa 
w la frecuencia. 
Siempre que se utilice la misma numeración para los modos 
de la cimentación y los elementos de la superficie del terreno, 
la matriz de rigidez del sistema, será: 
ZSIST( W) ( 3) 
/ 
Si se considera una excitación en el dominio de la frecuen-
cia ( F SIST ( w)), podremos obtener los desplazamientos, sin mas 
que: 
( 4) 
A continuación, se presentan los resultados OQtenidos para 
el caso de una losa cuadrada situada sobre el semiespacio elást! 
co homogéneo tridimensional, considerando un módulo de Poisson 
del suelo de Vs = 0.3, una discretización de la losa con 36 ele-
mentos (6x6), lo cual supone 49 elementos para la interfase sue-
lo-cimentación (figura 4), y para el caso de carga puntual en 
su centro. 
En la figura 5, se ha representado la amplitud de los des-
plazamientos verticales en tres puntos de una losa sin masa, pa-
ra el caso de una carga de tipo senoidal y una relación de rigi-
deces de K = 0.004. En la misma figura, se recogen los resulta-
dos obtenidos por Whittaker y Christiano [14] ( 64 elementos) y 
Beskos y Karabalis [15] (36 elementos). 
En la figura 6, se presentan los resultados correspondien-
tes al caso anterior, pero cuando la relación es M = 0.5, pudié~ 
dose apreciar como aumenta la amplitud de la respuesta para fre-
115 
y 
z 
Figura 4. Discretización de losa mediante elementos finitos y 
suelo mediante elementos de contorno. 
cuencias próximas a a
0 
= 2, lo que pone de manifiesto un fenóme-
no de resonancia a esas frecuencias. 
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Num. Meth. Eng., Vol. 19, 73-91, (198.3). 
216 
11 
1.2 
1.1 
.9 
7 
6 
·' 
.4 
o 
o 
.4 
.o 
\ .4 
I~ESKOS Y KARABALIS(6x61 
¡=::::=-------------o-.. __...-BEM l6x6) 
. 7--0 0BTENI~~~~~~-;~;~~;~ 
---o Y C HRISTIANO (8x 8) 
y 
z 
. 2 -·-:4 
.6 .a ¡:- \2 1.4 1.6 1.8 2 . 
(o) EN EL CENTRO DE LA LOSA(I) 
~=-------------~-r------- __ _L WHITT~;~R Y CHRISTIANO ( 8x8) ~ 
BEM (6x 6 1 \BESkOS Y KARABALIS (6x 61 
!bl EN EL CENTRO DEL LADO DE LA LOSA(2) 
1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3. a o 
\C) EN LA ESQUINA DE LA LOSA (3) 
Figura 5. Amplitud del desplazamiento vertical en una 
losa cuadrada sin masa para K = 0.004 con 
un carga puntual armónica en su entorno. 
217 
1.4 
L 3 
1.2 
11 
2i l. 
.9 
.e 
. 7 
.6 
.5 
.4 
.2 
.1 
p(t 1•200 Sen..,~ 
y 
z 
w'O 
__________ ....,__ ___ ~-~- .... --------·-~-..,--·--·-... ---'T"-------._~ e; 
.2 .4 .6 .6 l. 1.2 1•1 1.6 1.8 2. 2.2 2.4 1.6 2.11 3 5.2 
( 1)) E•l EL CENTHO DE LA LOSA 
(il) EN EL CENTR~ DEL LAPO DE LA LOSA 
. -
~EM(6x6) 
----
(C l) EN lA ESQUINA IIE lA LOSA. 
Figura 6. Amplitud del desplazamiento vertical en una 
cimentación cuadrada con masa (M = 0.5} pa-
ra (K = 0.004) y carga puntual armónica en 
el centro. 
218 
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219 


Impedancias dinámicas en zapatas rígidas y flexibles sobre medios viscoelásticos

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