Lo scopo di questa tesi è introdurre le due funzioni speciali, la Gamma di Eulero e la Zeta di Riemann, per poter successivamente impiegarle in un contesto della fisica.
Il percorso porta, una volta trattate le due funzioni, a descrivere l'integrale sui cammini di Feynmann e l'oscillatore armonico forzato quantomeccanico, attraverso cui è possibile introdurre l'azione efficace. Una volta introdotta l'azione efficace viene accennata la teoria classica dei campi, per poi poter calcolare l'azione efficace di un campo scalare. Il calcolo di quest'ultima sarà ridotto formalmente al calcolo di un determinante funzionale, ed è qui dove entrano in gioco le funzioni trattate all' inizio del percorso, che permettono di regolarizzare un risultato altrimenti divergente.
In conclusione, dopo aver trovato un metodo per poter calcolare l'azione efficace di un campo scalare si compie l'operazione che sta alla base di esso, ossia calcolare l'operatore nucleo dell'equazione del calore dell'operatore il cui determinante porta all'azione efficace
