Doutriaux, J.

Zind, R. G.

French

Research Papers in Economics

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Note
 
R. G. Zind et J. Doutriaux
L'Actualité économique, vol. 54, n° 1, 1978, p. 104-110.
 
 
 
Pour citer cette note, utiliser l'information suivante :
 
URI: http://id.erudit.org/iderudit/800761ar
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« Estimation de l’effet de la technologie sur le rendement des facteurs de production »Estimation de l'effet de la technologie 
sur le rendement des facteurs de production 
I. Introduction 
Bien que la technologie ait un effet indéniable sur le rendement des 
facteurs de production, il s'est avéré très difficile de dégager et de mesurer 
cet effet. La difficulté fondamentale réside dans l'absence de facteurs 
quantifiables capables de représenter, à l'échelle macro, les divers états de 
la technologie. Faute de mieux, les économistes ont utilisé le temps, t, 
comme indice de ces états. 
Les rendements des facteurs varient au cours du temps. Selon la 
théorie néo-classique, ces variations sont imputables à la substitution 
entre facteurs (différentes proportions de facteurs utilisées) et à la tech-
nologie. Souvent, la technologie est « biaisée » dans le sens qu'elle favo-
rise un (ou un groupe de) facteur(s) au détriment d'autres. La mesure 
de ce biais a suscité l'intérêt d'un bon nombre de chercheurs. [Voir, par 
exemple, David and Van de Klundert (1965), Nerlove (1967), Sato 
(1970), Takayama (1974) et Doutriaux et Zind (1976)] 
Dans la présente étude, nous examinons ce biais à partir de fonc-
tions de production auxquelles nous incorporons le temps sous deux 
formes. Dans l'une, les facteurs sont mesurés en termes d'unités d'effi-
cacité exprimées uniquement en fonction du temps. Ainsi formulée, la 
fonction de production est stable ; elle ne se déplace pas dans le temps. 
Dans l'autre, le temps entre comme facteur exogène qui fait que la 
fonction se déplace. Les propriétés de ces deux formes nous permettent 
de dériver un ensemble d'équivalences que nous utilisons pour estimer 
séparément, et par régression, l'impact du temps sur les unités d'effi-
cacité et sur les prix des facteurs. Il devient ainsi possible de tester la 
neutralité du progrès technologique et, en cas de biais, de déterminer le 
(ou groupe de) facteur(s) qui a (ont) été le plus favorisé(s). De sur-
croît, une comparaison des résultats obtenus séparément pour les unités 
d'efficacité et pour les prix des facteurs permet de déterminer la consis-
tance des équivalences développées dans cette étude. TECHNOLOGIE ET RENDEMENT  105 
II. Gains technologiques et rendements marginaux des facteurs de 
production 
Nous adoptons une formulation générale de la fonction de pro-
duction, à savoir : 
V = G(L,K;t) (1) 
où V représente le niveau de production (valeur ajoutée), L le niveau 
de la main-d'œuvre et K le niveau du capital et où le passage du temps, t, 
se traduit par un déplacement de la fonction. Nous supposons que G 
est homogène du premier degré. 
D'autre part, nous utilisons les indices a(t) et $(t) pour représenter 
les efficacités respectives de la main-d'œuvre et du capital. Nous avons 
donc : 
L(t) = <x(0 L, main-d'œuvre mesurée en unités d'efficacité, 
et 
K(t) = P(0 K, capital mesuré en unités d'efficacité. 
Dans ce cas, la fonction de production peut s'écrire : 
V = F[a(t)L,Ht)K] = F[l(t),K(t)] (2) 
Il est bien connu que 
V=G(L,K;t)=F[L(t),K(t)] (3) 
si et seulement si les parts relatives des facteurs de production sont en 
fonction uniquement de a. a est l'élasticité de substitution entre la main-
d'œuvre et le capital quand / est maintenu constant (Rose, 1968 ; Sato 
etBeckman, 1968). 
A partir des relations suivantes : 
dV _ 1 dV dV _ 1 dV 
~dL~~~^ ~dL ' ~dK~T ~&K ' 
dl = adL + Lda et dît = $dK + Kd§, 
la dérivée totale par rapport au temps de (3) s'écrit : 
~dt ~dL dt
 
+
 dK dt dt " ~dL Ht ~dK~dt 
da 45 
+ ÔL a
 
+ dK P 
L'hypothèse de marchés compétitifs et de maximisation des profits 
nous permet d'approximer le rendement marginal de la main-d'œuvre 
par le taux de salaire (w) et le rendement marginal du capital par le 
taux d'intérêt (r). 106 L'ACTUALITÉ ÉCONOMIQUE 
Utilisant la notation Gt=dV/dt, nous tirons de l'équation (3à)
 
1
 : 
dV A 
_ =Gt = Lwa + Kr$ (4) 
Le rapport GJG a été défini comme le « taux de croissance total du 
rendement» par David et Van de Klundert (1965, p. 363), et comme 
le « taux de progrès technologique » par Lianos (1971, p. 413). 
Il reste à formuler une relation précisant l'impact de t sur w et r. 
A partir de l'hypothèse que G est homogène du premier degré et du 
théorème d'Euler, nous écrivons : V = Lw + Kr. 
La dérivée totale de cette relation par rapport au temps nous donne : 
V = Lw + wL + &+rK ( 5 ) 
Des équations (3a), (4) et (5) nous obtenons : 
Gt=Lwa + Kr$ = Lw + Kr (6) 
L'expansion des deux termes : dw/dt et dr/dt nous donne (à noter 
que GL = w = dV/dL et GK = r = dV/dK) 
w=GLLL + GLKK+GLt et r = GKKK+ GKLL+GKt. 
La dernière partie de l'équation (6) peut donc s'écrire : 
Liv + Kr^ LGLt + KGKt + (LGLL + KGLK) L + (KGKK + LGLK) K 
Etant donné que : LGLL + KGLK = KG^ + LGLK = 0 l'équation ( 6 ) 
est équivalente à : 
Lw + Kr = LGLt + KGKt (7) 
Des relations (6) et (7) nous obtenons l'équation de base
2 (8) que 
nous utilisons dans cette étude : 
Gt = Lw + Kr = Lwa +Kr$ = LGLt + KGKt (8) 
III. Généralisation au cas dé n facteurs de production 
Considérons les deux fonctions de production à n facteurs équiva-
lentes aux fonctions à 2 facteurs des équations (1) et (2) : 
F=G(L1,...Li,...,Ln;0 (la) 
dx 
A dt 
1. Le chapeau «
A» indique le taux de croissance d'une variable, X =-rr -alors 
. dX
 A 
que le point « • » indique la dérivée par rapport au temps X = —j- . 
2. La fonction de production étant homogène du premier degré, la valeur de G 
devrait être identique à celle de L dw/dt + K dr/dt. Des différences existent à cause 
d'erreurs de mesure et aussi à cause de divergence entre les mesures physiques de w et r 
et les rendements marginaux des facteurs de production. TECHNOLOGIE ET RENDEMENT 107 
V = F(a1(t)L1, ..1al(0V...afc(01J 
= F[L1(0,...,LJ(0,»A(0]. (2a) 
Dans la mesure où G = F (voir l'équation (3) ci-dessus), la dériva-
tion de l'équation de base (8) se généralise aisément quel que soit le 
nombre de facteurs de production. 
Prenons la dérivée totale par rapport au temps de (la) et (2a) : 
T> K
ÔVT A.
W K
dVT^
ÔVr-
i=i ' i=i * i=i * 
Dénotons par w{ le rendement marginal du facteur L{, soit 
La dérivée partielle de V par rapport au temps peut donc s'écrire : 
dV ^ 
-â7-=
Gt=2, 
jL*
w«
a*
 
(4a
) 
i=i 
Etant donné que G est homogène du premier degré, nous obtenons : 
n 
V = 2
L^'et 
» = 1 
n n ^ 
W^^Liwi+^wiLi (5a) 
Combinant (4a) et (5a) comme précédemment, nous avons : 
n n 
Gt = J ^A
 = 2 ^ ^
6a^ 
Finalement, comme 
wi = 2 ^L^ A + GLjt ,i=l,..., n, nous avons : 
n n n ^ n \ 
i=i i=i i=i Vi=i / 
n n 
La dérivée partielle de V = ^ L^ = ^ Lfi^ipax rapport à L{ donne 
i=i i=i 108  L'ACTUALITÉ ÉCONOMIQUE 
dV 
= wi = w,  dL - ~i - ~i+2
 LPhu>
 c,est-
à"
dir
e 
n 
i = i 
Nous obtenons donc : 
2
L^
=2
L^
 
(7a
) 
t=i f=i 
La relation de base généralisée s'écrit alors : 
n n n 
Gt=2
Li
M;i
=2
LiM'
i"
i==2
LiGL"
 
(8a
) 
i=i 1=1 i=i 
IV. Estimations du gain technologique 
Le manque de données adéquates nous a mené à limiter la fonction 
de production aux deux facteurs L et K et, donc, à utiliser la relation (8) 
plutôt que (8a). Pour l'estimation des indices a et |3, nous avons adopté 
un modèle de croissance exponentiel de la forme
 8 : 
a(0=a/
lf
c et P(0=P0/
l
f 
où ct0, a1? |30 et Px sont des constantes. Comme GLt
 = dw/dt = wt et 
Gut — dr/dt = r0 nous obtenons à partir de l'équation (8) : 
Gt = Lw + Kr=axLw + fi.Kr = wtL + r,K (9) 
Pour fins de régression, nous avons utilisé une équation aux diffé-
rences finies équivalente à (9) et l'avons appliquée à des données tirées 
du secteur privé non agricole des Etats-Unis pour les années 1909 à 1960. 
Ces données ont été recueillies par Kendrick et utilisées dans d'autres 
modèles pour estimer le biais technologique [voir, par exemple, Sato et 
Beckman (1968), Sato (1970) et Takayama (1974)]. Nous avons voulu 
tester la fiabilité de notre équation en déterminant si les résultats qu'elle 
nous permet d'obtenir sont compatibles avec ceux déjà obtenus (par 
d'autres chercheurs) à l'aide de modèles différents du nôtre. 
La relation (9) comprend deux sous-équations : 
atLw + ^Kr et wtL + rJfC et comporte deux ensembles de coefficients 
(
aiî Pi)
 
e
t (
wt>
 
rt) ^ estimer. Aucune des sous-équatiqns ne comporte 
d'intercepté. Dans une régression sans intercepte (où le terme constant 
3, Il est d'usage dans la littérature d'adopter un modèle de cette forme [voir, par 
exemple, David and Van de Kliindert (1965), LianoS (1971), Fishelson (1974) et Dou-
triauxetZind (1976)]. TECHNOLOGIE ET RENDEMENT  109 
est arbitrairement évalué à zéro) il n'est pas légitime d'utiliser les tests 
statistiques de fiabilité. Ces tests étant indispensables à notre étude, nous 
avons adopté un modèle de régression avec intercepte et avons testé 
l'hypothèse que la valeur de l'intercepte était nulle. Dans le cas de tous 
les tests effectués, la valeur de l'intercepte s'est avérée ne pas être signi-
ficativement différente de zéro. 
Nous donnons au tableau 1 les résultats des régressions obtenus : 
V. Analyse des résultats et conclusions 
Quand le progrès technologique est neutre, il avantage également 
tous les facteurs de production ; dans le contexte des deux facteurs L 
et K examinés dans cette étude, il se traduit par les égalités a = (3 et 
wt/w = rt/r. Le fait que les valeurs obtenues pour Pa et rt ne soient pas 
TABLEAU 1 
EFFICACITÉ ET TAUX DE CROISSANCE DU RENDEMENT MARGINAL 
Données tirées du secteur privé non agricole aux Etats-Unis, 1909-1960 
Variables dépendantes 
Coefficients de 
régression  Estimations 
G<  a , main-d'œuvre 
Pa, capital 
.026 (e.t. = .008) 
* 
R = .38, Intercepte * = .45 
(e.t. = 2.21 ) 
Lw + Kr  a^ main-d'œuvre 
P , capital 
.027 (e.t. = .008) 
* 
R = .40, Intercepte * = .14 
(e.t. = 1.25) 
Gt  w, salaire 
rt, taux d'intérêt 
.058 (e.t. = .045) 
* 
R = .18, Intercepte * = -3.08 
(e.t. = 3.88) 
Lw + Kr  wv salaire 
r f taux d'intérêt 
.075 (e.t. = .04) 
* 
R = .228, Intercepte* = -4.40 
(e.t. = 3.90) 
* Non-significativement différent de zéro. 110  L'ACTUALITÉ ÉCONOMIQUE 
significativement différentes de zéro alors que celles obtenues pour a1 
et wt le soient semble indiquer un biais en faveur de la main-d'œuvre. 
Ce résultat est conforme à ceux obtenus par Sato et Beckman ( 1968), 
Sato (1970) et Takayama (1974) à l'aide des mêmes données mais 
d'équation différentes des nôtres. 
De plus, la compatibilité des relations équivalentes dérivées dans 
cette étude se trouve confirmée par les estimés des régressions. Cette 
compatibilité exige que les termes o^ — 6X et wt — rt aient le même signe 
algébrique. 
Nous aurions aimé déterminer si au Canada aussi le progrès techno-
logique a été biaisé en faveur de la main-d'œuvre. Les résultats statis-
tiques que nous avons obtenus ne sont pas concluants à cause du 
fait que les données chronologiques disponibles ne sont pas suffisamment 
longues. Dès qu'elles le seront, nous comptons effectuer à nouveau le test. 
R.G. ZIND 
et 
J. DOUTRIAUX, 
Université d'Ottawa. 
RÉFÉRENCES 
DAVID, P.A. et TH. VAN DE KLUNDERT (1965), « Biased Efficiency Growth 
and Labor Substitution in the U.S. 1899-1960», The American Eco-
nomic Review, 55, 357-394. 
DOUTRIOUX, J. et R. ZIND (1976), « Factor Input Efficiency and Techno-
logical Bias with Application to U.S. Agriculture », The Review of 
Economics and Statistics, Vol. 58, No. 3. 
FISHELSON, G. (1974), «Relative Shares of Labor and Capital in Agri-
culture : A Subarid Area Israel, 1952-1969 », Review of Economics and 
Statistics, 56, 343, 352. 
LIANOS, T.P. (1971), «The Relative Share of Labor in the United States 
Agriculture 1949-1968 », American Journal of Agricultural Economics, 
53, No. 3, 411-422. 
NERLOVE, M. (1967), «Recent Empirical Studies of the CES and Related 
Production Functions », in M. Brown, (éd.), The Theory and Empirical 
Analysis of Production, National Bureau, Vol. 31, pp. 96-98. 
ROSE, H. ( 1968), « The Conditions for Factor Augmenting Technical 
Change», Economic Journal, 78, 966, 971. 
SATO, R. (1970), «The Estimation of Biased Technical Progress and the 
Production Function», International Economic Review, 11, No. 2, 179-
207. 
SATO, R. et M. BECKMAN (1968), «Neutral Inventions and Production 
Functions », Review of Economic Studies, 35, 57-66. 
TAKAYAMA, A. ( 1974), « On Biased Technological Progress », The American 
Economic Review, 64, 631-639. 

Estimation de l’effet de la technologie sur le rendement des facteurs de production

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