The paper aims to evaluate the opportunity of using mathematic estimation models within economic discounting computation. Several approximation models from the numerical methods theory will be considered in order to determine the evolution trend for investment projects’ economic indicators. The paper has a rather theoretical framework and aims to identify new ways of improving existing techniques.update, discount rate, numerical methods, interpolation

CIOLAC Camelia Elena

Romanian

Research Papers in Economics

The Ninth International Conference  
“Investments and Economic Recovery”, May 22 – 23, 2009 
 
 
 
 
Economia seria Management    Vol.12, Nr. 2 special/2009 
 
103 
 
A mathematical estimate within economic 
discounting computations
1 
 
 
O estimare matematică în calculele 
de actualizare economice 
 
 
Camelia Elena CIOLAC, Ph.D. Student 
The Bucharest Academy of Economic Studies, Romania 
e-mail: ciolac_c@yahoo.co.uk 
 
 
Abstract 
The paper aims to evaluate the opportunity of using mathematic estimation models 
within  economic  discounting  computation.  Several  approximation  models  from  the 
numerical methods theory will be considered in order to determine the evolution trend for 
investment projects’ economic indicators. The paper has a rather theoretical framework 
and aims to identify new ways of improving existing techniques. 
 
Keywords: update, discount rate, numerical methods, interpolation 
 
    Rezumat 
Lucrarea isi propune sa studieze oportunitatea estimărilor matematice in cadrul 
calculelor de actualizare economice. Se vor considera diverse modele de aproximare din 
teoria  metodelor  numerice  pentru  determinarea  trendului  indicatorilor  economici  ai 
proiectelor  de  investiţii.  Articolul  are  un  caracter  teoretic  si  isi  propune  sa  identifice 
modalităţi de îmbunătăţire ale tehnicilor utilizate in prezent. 
 
Cuvinte-cheie: actualizare, factor de discontare, metode numerice, interpolare 
JEL Classification: H43, C02 
 
Introducere 
 
ehnicile utilizate in prezent pentru calculul valorii indicatorilor economici 
ai proiectelor de investiţii intr-un moment oarecare de timp t situat intre 
momentul  luării  deciziei  t0  si  momentul  scoaterii  din  funcţiune  a 
capitalului fix tn presupun considerarea poziţiei pe axa timpului a lui t in intervalul [t0, tn]. 
Metodologia  expusa  in  (Vasilescu  et  al.  2000)  reprezintă  un  instrument  eficient  de 
identificare  a  valorii  indicatorilor  economici  ai  proiectului,  considerând  relativitatea 
elementelor  de  „trecut”  si  „viitor”  raportate  la  momentul  de  timp  t  in  care  se  doreşte 
analiza. 
  Metodologia  utilizata  de  practicieni  considera  calculul  valorii  actualizate  a 
indicatorilor economici in cinci puncte de pe axa timpului, din care frecvent  trei prezintă o 
T   The Ninth International Conference 
“Investments and Economic Recovery”, May 22 – 23, 2009 
 
 
Vol.12, Nr. 2 special/2009        Economia seria Management 
 
104 
importanta deosebita, aşa cum este prezentat in (Vasilescu et al. 2000). 
 
Figura 1. Principalele momente de calcul a valorii actualizate a indicatorilor 
economici ai proiectului de investiţii 
 
  Pentru momentul de timp t , valorile investiţiilor si profitului actualizate in t sunt: 
           Σ 0<h<(n-t)+d Ih * 1/(1+a)
h                                   , daca  m <t <n 
              It =    Σ 0<h<n-t Ih * (1+a)
h   +  Σ n-t<h<d Ih * 1/(1+a)
h  , daca  n<t <p 
                        Σ t<h<d+t-1 Ih * (1+a)
h                                        , daca  p <t <v 
 
 
  …..   Σ 0<h<(n-t)+d+D Ih * 1/(1+a)
h                                   , daca  m <t <n 
              Pt=    Σ 0<h<t-p-1 Ih * (1+a)
h   + Σ 1<h<D-(t-p) Ih * 1/(1+a)
h , daca  p<t <v 
                        Σ 0<h<t-1 Ih * (1+a)
h                                               , daca  v =t   
 
unde d = durata de execuţie a investiţiei, D= durata de funcţionare eficienta a obiectivului 
de investiţii, Ih investiţia anuala si Ph profitul anual constant. 
  Un  aspect  de  complexitate  in  prezenta  metodologie  îl  reprezintă  cunoaşterea 
apriori a duratei de funcţionare eficienta a viitorului obiectiv de investiţii D. 
  Utilizam formulele de actualizare propuse în (Vasilescu et al. 2000) in cele cinci 
puncte de referinţa de pe axa timpului, considerate relevante de autori. Obţinem puncte in 
reperul  cartezian  XOY  cu  coordonatele  din  tabelul  1,  pentru  spaţiul investiţiilor  anuale 
totale. 
 
Formule de calcul ale investiţiei si profitului actualizate in cele cinci momente 
(conform Vasilescu et al., 2000) ) 
Tabelul 1 
Moment  It  Pt 
m  Σ n-m+1<h<(n-m)+d Ih * 1/(1+a)
h  Σ 1<h<(n-m)+d+D Ph * 1/(1+a)
h 
n  Σ 1<h<d Ih * 1/(1+a)
h  Σ 1<h<d+D Ph * 1/(1+a)
h 
p  Σ 0<h<d-1 Ih * (1+a)
h  Σ 1<h<D Ph * 1/(1+a)
h 
u  Σ u-p<h<(u-p)+d-1 Ih * (1+a)
h  Σ 0<h<u-p-1 Ph * (1+a)
h   +            
+Σ 1<h<D-(u-p) Ph * 1/(1+a)
h 
v  Σ D<h<D+d-1 Ih * (1+a)
h  Σ 0<h<D-1 Ph * (1+a)
h 
   The Ninth International Conference  
“Investments and Economic Recovery”, May 22 – 23, 2009 
 
 
 
 
Economia seria Management    Vol.12, Nr. 2 special/2009 
 
105 
Metode de interpolare 
 
  In continuare lucrarea încearcă sa evidenţieze oportunitatea utilizării elementelor 
de metode numerice, in particular a interpolărilor, pentru a aproxima valoarea actualizata a 
indicatorilor investiţii si profit la un  moment oarecare de timp, cunoscând perechile de 
valori din tabelul 1. 
  In literatura de specialitate, interpolările sunt utilizate in tehnica discontării pentru 
a aproxima durata de recuperare a investiţiei. Astfel, conform (Covrig & Gheorghe), prin 
interpolare  liniara  intre  valorile  succesive  de  timp  in  care  fluxul  monetar  actualizat  isi 
schimba semnul , se poate deduce T, durata de recuperare a investiţiei. 
  O alta utilizare a interpolărilor in calculele de actualizare este propusa în (Curs de 
specializare in contabilitate) pentru a afla rata interna de rentabilitate (RIR) pornind de la „o 
rata de actualizare aleasa arbitrar pentru care se calculează VNA” si modificând-o succesiv 
pentru a obţine doua valori VNA+ si VNA-, caracterizate prin doua rate de actualizare amin 
si amax care diferă prin cel mult 5 puncte procentuale. 
  Pentru  a  identifica  rata  de  discontare  potrivita  pentru  calculele  de  actualizare, 
James,  Van  Horne  &  Wachowicz  (2005)  propun  o  formula  matematica  bazata  pe 
interpolare, in care intervin RIR si preţul curent al investiţiei. 
  In acest context, lucrarea prezenta încearcă sa ofere o noua modalitate de utilizare 
a  metodelor  numerice  in  calculele  de  actualizare,  si  anume  in  estimare  indicatorilor 
economici ai proiectelor de investiţii intr-un moment de timp oarecare t de pe axa timpului 
reprezentata in figura 1. 
 
Interpolarea cu Polinomul Lagrange 
 
  Se considera formula polinomului Lagrange: 
 
Ln(x)= Σ 0<i<n yi * Π 0<j<n;j<>i (x-xj)/(xi-xj)                      (1) 
 
  Pentru n=5 si punctele din tabelul 1, formula (1) se scrie echivalent: 
 
 
 
Se obţine un polinom de gradul 4 in x. Cum domeniul de definiţie a lui x este 
[0,infinit] , x reprezentând o coordonata de timp , atunci derivata 1 Ln’(x)>0 si derivata    The Ninth International Conference 
“Investments and Economic Recovery”, May 22 – 23, 2009 
 
 
Vol.12, Nr. 2 special/2009        Economia seria Management 
 
106 
a 2-a  Ln’’(x)>0. Prin urmare , Ln(x) este o funcţie strict crescătoare . Din acest punct de 
vedere , Ln(x) poate aproxima It, deoarece ambele grafice au panta pozitiva. 
Eroarea care se comite când se aproximează valoarea actualizata a investiţiei in 
momentul t utilizând Ln(t) este : 
 
             |Ln(t)- Σ 0<h<(n-t)+d Ih * 1/(1+a)
h  |                                  , daca  m <t <n 
  ε  =     | Ln(t)-  Σ 0<h<n-t Ih * (1+a)
h   +  Σ n-t<h<d Ih * 1/(1+a)
h | , daca  n<t <p 
             | Ln(t)-  Σ 0<h<d+t-1 Ih * (1+a)
h   |                                    , daca  m <t <n  
 
Observaţie: interpolarea prin metoda Newton-Gregory nu poate fi aplicata întrucât 
nu este respectata ipoteza de abscise echidistanta. 
 
Interpolarea repetata Aitken-Neville 
 
  Metoda interpolării Aitken-Neville presupune obţinerea iterativa a unui polinom 
care sa aproximeze funcţia. In prima etapa se obţine o formula de interpolare liniara, iar 
apoi se aplica repetat algoritmul si se generează polinoame de interpolare de grad superior. 
  Interpolarea  liniara  intre  2  puncte  (xk,yk)  si  (xk+m,yk+m)  produce  polinomul  de 
gradul 1: 
 
                   yk * (x - xk+m) – yk+m*(x - xk) 
y = y(x) = --------------------------------------- 
                                 xk - xk+m 
   
  Fiind  date  cele  cinci  valori  ale  funcţiei  ce  se  doreşte  a  fi  aproximata  prin 
polinomul de interpolare Aitken-Neville de grad 4 , se parcurg etapele: 
 
Etapa 1: 
         y1
0 (x) = [ Im*(x-n) – In*(x-m) ] / (m – n)     , cu y1
0 (m)=Im, y1
0 (n)=In 
          y1
1 (x) = [ In*(x-p) – Ip*(x-n) ] / (n – p)     , cu y1
1 (n)=In, y1
1 (p)=Ip 
          y1
2 (x) = [ Ip*(x-u) – Iu*(x-p) ] / (p – u)     , cu y1
2 (p)=Ip, y1
2 (u)=Iu 
          y1
3 (x) = [ Iu*(x-v) – Iv*(x-u) ] / (u – v)     , cu y1
3 (u)=Iu, y1
3 (v)=Iv 
 
Etapa 2: 
         y2
0 (x) = [y1
0 (x) *(x-p) – y1
1 (x)*(x-m) ] / (m – p)   
 cu y2
0 (m) =Im, y2
0 (n)=In, y2
0 (p)=Ip 
          y2
1 (x) = [y1
1 (x) *(x-u) – y1
2 (x) *(x-n) ] / (n – u)  
          cu y2
1 (n)=In, y2
1 (p)=Ip, y2
1(u)=Iu 
          y2
2 (x) = [y1
2 (x) *(x-v) – y1
3 (x) *(x-p) ] / (p – v)  
          cu y2
2 (p) =Ip, y2
2 (u)=Iu, y2
2 (v)=Iv 
 
Etapa 3:            
        y3
0 (x) = [y2
0 (x) *(x-u) – y2
1 (x) *(x-m) ] / (m – u)   
cu y3
0 (m) =Im, y3
0 (n)=In, y3
0 (p)=Ip, y3
0 (u)=Iu 
          y3
1 (x) = [y2
1 (x) *(x-v) – y2
2 (x) *(x-n) ] / (n – v)  
    cu y3
1 (n)=In, y3
1 (p)=Ip, y3
1 (u)=Iu, y3
1 (v)=Iv The Ninth International Conference  
“Investments and Economic Recovery”, May 22 – 23, 2009 
 
 
 
 
Economia seria Management    Vol.12, Nr. 2 special/2009 
 
107 
Etapa 4: 
         y4
0 (x) = [y3
0 (x) *(x-v) – y3
1 (x)*(x-m) ] / (m – v)   
cu y4
0 (m) =Im, y4
0 (n)=In, y4
0 (p)=Ip, y4
0 (u)=Iu, y4
0 (v)=Iv 
 
Pentru  a  compara  rezultatele  obţinute  prin  metodele  analizate  se  considera 
următorul studiu de caz. 
Se  considera  o  investiţie  de  modernizare  a  infrastructurii  IT  a  unei  companii 
desfăşurată  pe  parcursul  a  trei  ani  cu  I1=5000  euro  ,  I2=3000  euro  si  I3=2500  euro. 
Elaborarea studiului de fezabilitate si a documentaţiei proiectului se desfăşoară pe parcursul 
unui an. Pentru finanţare se apelează la un credit ce se rambursează începând din al doilea 
an de funcţionare a obiectivului. Durata de funcţionare eficienta este evaluata la 6 ani, iar 
coeficientul de actualizare pentru domeniul investiţiei este evaluat la valoarea de 15%.  
Utilizând calculele de actualizare, se obţin următoarele valori in euro: 
Moment  m=0  n=1  p=4  u=5  v=10 
Valoare It  7184  8263  12562.5  14449  29057.5 
 
Fie p <t <v , t=8  =>  I8= Σ t<h<d+t-1 Ih * (1+a)
h  = Σ 4<h<6 Ih * (1+a)
h =
  21970.5 
Fie p <t <v , t2=9  => I9= Σ t<h<d+t-1 Ih * (1+a)
h  = Σ 5<h<7 Ih *(1+a)
h =
  25266.5 
 
Prin metoda polinomului de interpolare Lagrange se obţine: 
Ln(x) = 35.92* (x-1)(x-4)(x-5)(x-10) -  76.5* x (x-4)(x-5)(x-10) + 174.47* x(x-1)(x-5)(x-
10) – 144.49 * x(x-1)(x-4)(x-10)+10.76* x(x-1)(x-4)(x-5)  
 
Ln(8)=21987.84 
Se observa ca Ln(8) aproximează cu o abatere de 17.34 (e=0.7*10
-3) valoarea I8 
calculata cu tehnica actualizarii. 
Ln(9)=25286.4 
Se observa ca Ln(9) aproximează cu o abatere de 19.9 (e=0.7*10
-3) valoarea I9 
calculata cu tehnica actualizării. 
Analog  se  poate  aproxima  valoarea  actualizata  a  indicatorilor  economici  
(investiţie totala , profit ) intr-un moment oarecare de timp t folosind metoda de interpolare 
repetata Aitken-Neville prezentata. In punctul t=8 se obţine in studiul de caz  enunţat  y4
0 
(8) = 21993 , cu o abatere relativa de 10
-3 faţă de rezultatul obţinut prin aplicarea calculelor 
clasice de actualizare. 
 
Concluzii 
 
Calculele de actualizare in cele cinci puncte de referinţa sunt suficiente pentru a 
estima cu ajutorul metodelor de interpolare , valoarea actualizata in orice punct intermediar. 
Se  îmbunătăţeşte  astfel  timpul  de  calcul  pentru  aplicarea  tehnicii  actualizării  pentru 
subdiviziuni ale anului : semestru, trimestru, decada.  
Din  punct  de  vedere  al  implementării  software  a  algoritmilor,  se  disting 
următoarele rezultate: 
Utilizarea tehnicilor actuale de discontare 
->timp computational O(n)   The Ninth International Conference 
“Investments and Economic Recovery”, May 22 – 23, 2009 
 
 
Vol.12, Nr. 2 special/2009        Economia seria Management 
 
108 
Utilizarea interpolării cu polinomul Lagrange 
-> erori relative sub e=0.7*10-3 
-> timp computational O(n) 
Utilizarea interpolării repetate Aitken-Neville 
-> erori relative sub e=10-3  
-> timp computational O(n*n) 
 
 
Bibliografie 
 
Vasilescu, I., Romanu, I., Cicea, C. (2000). Investiţii, Editura Economica, Bucureşti 
Vasilescu, I. (2006). Pregătirea,  Evaluarea  şi Auditul Proiectelor,  Editura  EficonPress, 
Bucureşti 
Iorgulescu, A. (2001). Metode numerice si programe Pasca”, Editura ASE Bucureşti 
Covrig, M., & Gheorghe, C.– Management de proiect, preluat pe 21.05.2009 de pe pagina 
web  a  Facultăţii  de  Inginerie  Electrica  ,  Universitatea  Politehnica  din  Bucureşti 
http://74.125.77.132/search?q=cache:VQlYhQZTWNEJ:amotion.pub.ro/oferta_educati
onala/download/cristina_gheorghe/MP_2009_Curs10.ppt+interpolare+calcule+discont
are&cd=2&hl=ro&ct=clnk&gl=ro 
Curs de specializare in contabilitate „Factorul timp in calculele de eficienta economica a 
proiectelor de investiţii”, preluat 20.05.2009 de pe pagina http://www.contabilizat.ro/ 
file/cursuri_de_perfectionare/contabilitate_si_gestiune/Gestiunea%20investitiilor/cap6.pdf 
James, C., Van Horne, Wachowicz, J. M. (2005). Fundamentals of financial management, 
Editura Pearson Education  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                
1 Acest articol a fost elaborat ca parte a proiectului “Doctorat şi doctoranzi în triunghiul educaţie-
cercetare-inovare  (DOC-ECI)“,  proiect  cofinanţat  din  Fondul  Social  European  prin  Programul 
Operaţional  Sectorial  Dezvoltarea  Resurselor  Umane  2007-2013  şi  coordonat  de  Academia  de 
Studii Economice din Bucureşti. 
 

A mathematical estimate within economic discounting computations

http://www.management.ase.ro/reveconomia/2009-2s/18.pdf

A mathematical estimate within economic discounting computations

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Research Papers in Economics