Stober, M.

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Zur Refraktion In GrönlandVon Manfred Stob er •Zusammenfassung: Aus gegenseitigen Zenitdistanzen über einem Fjord an der Westküste Grönlands (SondreStroinfjo rd] und über Schnee auf dem grönländischen Inlandeis werden Refraktionskoeffizienten k berechnet.Dber dem Fjord ergibt sich im Mittel k ~ + 0,47. Auf dem Inlandeis zeigt k bei sonnigem Wetter einenslarken Tagesgang, dagegen bei bedecktem Himmel fast konstante Werte.Weiterhin wird die nötige Gleichzeitigkeit gegenseitiger Zenitdistanzen in Abhängigkeit der Zielweite un-tersucht sowie ein Vergleich zwischen Trigonometrischer Höhenmessung und Nivellement angestellt.Summary: The refraction coefficient k i s calculated from reciprocal vertical angle measurements over af iord at the West caast of Greenland (Sendr e Stremfjord) and over snow on the Greenland ice eap. Overth e fiord the average of k .is + 0,47. On the iee eap, a strang diurnal eyde is found when the weather i ssunny, but a ralher constent k when the sky is eovered.In addi tion the necessary simultanity of the observations in relation to the r anqe is investigated, andtrigonometrie levelling is eompared to the geodetie levelling.1. EinleitungAus früheren praktischen und theoretischen Untersuchungen zur Frage des Refraktions-koeffizienten k über Eis, z. B. 111, j31, 141, 151, geht hervor, daß Betrag und Veränderungvon k wesentlich größer sein können als über eisfreier Oberfläche. Dipl.-Ing. A. Karsten,Hamburg, und der Verfasser nutzten die Teilnahme an einer Kampagne der Internationa-len Glaziologischen Grönland-Expedition (EGIG) 1974 zu einem Beitrag zu den speziellenRefraktionsverhältnissen in Grönland, besonders im Hinblick auf den Einsatz der trigo-nometrischen Höhenmessung anstelle des zeitraubenden Nivellements.Die Höhenübertragung im West-Ost-Profil der Expedition geht von Festpunkten im eis-freien Küstenrandgebirge aus, führt dann über die Randgletscher auf das Inlandeis biszur Höhe von ca. 3.200 m über dem Meer, so daß allein schon klimatisch und untergrund-bedingt sehr verschiedenartige Refraktionsverhältnisse zu erwarten sind. Diese Ver-schiedenartigkeit sollte auch in den Untersuchungsgebieten zum Ausdruck kommen, wasinfolge mangelnder Gelegenheit nicht völlig repräsentativ gelungen war. An folgendenOrten wurden gegenseitige Zenitdistanzen gemessen:1. Sondre Stromfjord, Ö = 67°, ), = - 52°: Datum 1. 7. 74; Dauerbeobachtungen von11.15 bis 16.15 Uhr Ortszeit, Strecke 2.045 m, Ziellinie über den Fjord hinweg in ca.10 m über Wasser und Sandbänken.Umgebung der Instrumentenstandpunkte felsig mit teilweise spärlichem Bewuchs.Temperatur + 18° C, Wind ca. 2 rn/sec, leichtes Flimmern, sonnig.2. Inlandeis bei T 46; = 71°,2, t: = - 36°,4Datum 26. 7. 74, Dauerbeobachtung von 14.40 bis 18.40 Uhr Ortszeit. Strecke 858,64 m,Temperatur - 1,5° C.Bis 17.10 Uhr OZ sonnig, leichte Brise; nach 17.10 Uhr Aufzug einer Wolkenfront,bedeckt, leichter Schneefall, Wind stärker.2. Auswertemethoden2.1. Zur Berechnung der Höhenunterschiede L,h und des Refraktionskoeffizienten k ausgegenzeitigen Zenitdistanzen ZA, ZB stehen folgende Formeln zur Verfügung:(1)• Dipl.-Ing. Manfred Stober, Geodätisches Institut der Universität (THJ, 75 Karlsruhe 1, Englerstraße 7.127Bei Annahme gleicher Refraktionswinkel bA( Hm. ZA - ZBzsh = a 1 + -:;--~) tg (--)R 2k = 1 _ ZA + ZB - 1800ybB wird hieraus(2)(3)mit dem mittleren Fehler 1 (2 2)2 mZA + mZBy (3')mit a = Entfernung beider StandpunkteR = Erdradiusy =~ . p ; Hm = mittlere Standpunkthöhe2.2. Der mittlere Fehler mz der Zenitdistanzmessungen kann zweifach ermittelt werden:a) Bei Annahme von loh = const, symmetrischer Refraktion und gleicher mittlererZenitdistanzfehler mZA = mZB aus der Streuung der gefundenen Höhenunter-schiedeIi 2 (ZA - ZB)mz = a COS ~~2~- . m.o" . p mit m.oh = (4)b) Aus dem mittleren Fehler der Indexverbesserung i der Zenitwinkel:Die Indexverbesserung i ist nur langsam veränderlich (z. B. mit der Temperatur),deshalb ergibt sich aus i nach Abspaltung des langzeitigen Trends t die Ver-besserung Vt = i - tm, e ±J~,v~ e m, (5)weil die Fehler der Indexverbesserung im wesentlichen die Fehler der Zenit-winkelmessung widerspiegeln. Auf diese Weise kann mz für beide Standpunktegetrennt angegeben werden.2.3. Prüfung der Voraussetzung, daß die Lichtbahn symmetrisch ist.Trifft die Voraussetzung zu und ändert sich der berechnete Refraktionskoeffizientsignifikant, so muß diese Anderung sich in einer Anderung der Zenitdistanzen aufbeiden Stationen gleichzeitig bemerkbar machen.Aufschluß über diese und ähnliche Fragen gibt der Kreuzkorrelationskoeffizient r(6)zwischen den paarweise beobachteten Variablen ZA und Zn.Andert sich der Refraktionskoeffizient, so wird der statistische Erwartungswert vonr (ZA, ZB) > 0, ändert sich der Höhenunterschied (z. B. wegen Einsinkens), so wirdr (ZA, Zn) < °1282.4. Einblick in das statistische Verhalten einer Beobachtungsreihe Zj ergibt die Auto-korrelationsfunktion r (Z, r}, wobei rein äquidistanzes Zeitintervall ist.(7)mit c = 5,10,15 ... Minuten.3. ErgebnisseFür den Signifikanztest eines Refraktionskoeffizienten wird der Maximalwert t max an-gegeben, welcher für eine Irrtumswahrscheinlichkeit von a = 0,05 gerade noch als Zu-fallswert angesehen werden kann.3.1. Sondre StrernfjordEs wurden 66 gegenseitige Zenitdistanzen ausgewertet, die gleichzeitig oder höch-stens mit 2 Minuten Zeitdifferenz gemessen wurden. Beobachtet wurde ca. alle4 Minuten.In Abb. 1 ist für jeden Standpunkt der zeitliche Verlauf der Zenitdistanzen und desRefraktionskoeffizienten dargestellt.Wir erhalten folgende Werte:3.1.1. HöhenunterschiedAutokorrelationsfunktion r (h, c)MittelAnzahlmittl. Fehlereiner Bestimmung6hm 16,275 ± 0,004 mn 66m., = ± 0,031 mc [min] I r (6h,r) I n Ilrmaxl4 I + 0,30 I 65 0,258 I + 0,12 J 64 0,25I 12~ -0.2513.1.2. Refraktionskoeffizient kMittel km + 0,47 ± 0,02mo ± 0,15mittl. Fehler desEinzelwerts nach (3') ill"" = ± 0,12mittl. Fehler desEinzelwerts aus (4) illko = ± 0,103.1.3. Zenitdistanz Nord ZAAutokorrelationsfunktion r (k, r)r [min] I r (k, rl I I 1 •n jTmax!4 + 0,73 65 I 0,258 + 0,65 64I0,2512 + 0,49 63 0,25r(ZM ~ 4 min) = + 0,48Mittel = 90°29'04;0 ± 0;7± 2,1"m, = ± 5;8 = 17~'43.1.4. Zenitdistanz Süd ZBIrmaxl 0,24Mittel = 99~49878 ± 2~'6m, = ± 22'cr(Zs,r ~ 4 min) = + 0,86Irmaxl 0,24129Z[CC].10-10Zenitdist. NordseiteZ[CCJ.t'10-1012Zenitdist. Südseite13 141156h [mmJ.40030.20.10-10-20-30-40Höhen unter sch i e d lIh__ = Mittelwerte1,00,9O,S0,70,60,50,40,3i12Refraktionskoeffizient k13 14 15Abb. 1: Zeitlicher Verlauf der Zenitdistanzen, des Höhenunterschiedes und des Refraktionskoeffizienten -Sondre Stremf ord.Fig. 1: Variation of vertical angles, of height difference and of the coefficient of refraction as a function oftime - Seridre Stromfjord.130Kreuzkorrelation der Zenitdistanzenfür gemessene Zenitdistanzen:für graphisch geglättete Zenitdistanzen :~A' z,r(ZA, Zs) = + 0,40 If maxI= 0,26r(ZA, ZS) = + 0,943.1.5. DiskussionDas Ergebnis dieses relativ warmen, sonnigen Tages deutet auf starke Refraktionsände-rung bis 12.00 Uhr OZ, danach finden nur noch leichte Schwankungen um den Mittelwertkm = + 0,47 statt. Diese leichten Schwankungen wären in Anbetracht der Genauigkeitder Einzelwerte nicht signifikant, jedoch werden sie erhärtet durch hohe bzw. sehr hochsignifikante positive Kreuzkorrelation der gemessenen bzw. geglätteten Zenitdistanzen,was gleichzeitig ein Indiz für symmetrischen Lichtstrahlenverlauf auf beiden Stationenist. Der Verlauf des Höhenunterschiedes ist allgemein sehr stark streuend (Maximal-abweichung vom Mittel 7 crn l). es läßt sich daher aus seiner Konstanz nichts über dieRealität der Refraktionsänderung bis 12.00 Uhr Oz. schließen.3.2. Inlandeis bei T 46Hier wurden 37 gegenseitige und exakt gleichzeitige Zenitdistanzen beobachtet, teilweiseim 5-Minuten- und teilweise im 15-Minuten-Abstand. Der Zielstrahl führte überall durchLuftschichten in Höhe von ca. 1,5 m. Die Ergebnisse sind Abb. 2 zu entnehmen.Es fällt in Abb. 2 sofort auf, daß um 17.15 Uhr alle Kurven eine plötzliche Veränderungerfahren. Da genau um diese Zeit eine Wolkenfront aufzog, werden die Berechnungen fürbeide Abschnitte getrennt durchgeführt.Die Ergebnisse:3.2.1. Höhenunterschied 6h AutokorrelationskoeffizientGesamtmittelMittel 14.30-17.10Mittel 17.10-18.40= 1.323 ± 0,002 m= 1.333 ± 0,002 m= 1.312 ± 0,002 mf(6hj,6hj+l) Ifmaxl+ 0,66 0,37-0,19 0,42+ 0,19 0,423.2.2. Refraktionskoeffizient kGesamtmittelMittel 14.30-17.10Mittel 17.10-18.40Mittl. Fehler des Einzelwerts nach (3')Mittl. Fehler des Einzelwerts abgeleitet aus (4)kmk'mk"mmkomko+ 0,19 ± 0,05+ 0,08 ± 0,08+ 0,33 ± 0,03± 0,24= ± 0,20Autokorrelationsfunktionen von 6h und k für die Zeitintervalle rr jrnin] r (6h,r) n Irmaxl I r (k, T)5 + 0,66 30 0,37 I + 0,8010 + 0,63 28 0,39 I + 0,7215 + 0,57 32 0,35 I + 0,6620 + 0,71 25 0,40 I + 0,6825 + 0,63 24 0,40 + 0,7230 + 0,64 27 0,38 + 0,66131z[ce]1209060115Mittelwerte16117Standpunkt West12Z m = 90 '05'28;'8......c------------- sonnIgz[ce]7060504030201,340330320310'0~8t+0,7+0,6+0,5+0,4.0,3+0,2+0,1~ G,1-0,2~ 0,3StandpunktRefrak tions k oe ffi z ie n t----Höhenunterschied t::. h- -- :: Verlauf über Meereis nach (5]...15 16 17 18Abb. 2: Zeitlicher Verlauf der Zenitdistanzeu, des Höhenunterschiedes und des Refraktionskoeffizienten -Inlandeis bei T 46.Fig. 2: Variation of verUcal angles, of height difference and of the coefficient of refraction as a Iunctionof time - ice cap near T 46.1323.2.3. Zenitdistanzen WestMittel 90°05'28;8Ost (ZB)99~90547: [min] I rez,d n Tmax r(Z8.') n rmax5 + 0,77 31 + 0,56 30 0,3610 + 0,73 28 + 0,15 27 0,3815 + 0,65 30 0,39 + 0,59 32 0,3520 + 0,66 27 + 0,11 23 0,4225I+ 0,31 24 0,4030 + 0,67 28 + 0,46 26 0,39Kreuzkorrelation der Zenitdistanzen beider StationenZeitraum I feZA. ZB) I n I IrmaxlGesamt + 0,27 37I0,3214.30-17.10 + 0,73 20 0,4517.10-18.40 -0,12 17 I 0,48Indexverbesserung i I West I OstMittel I 68ee 140eemittl. Fehler des Mittels ± 3,Oee 1,3eemittl. Fehler einer Beobachtung 18,3ee 7,8ceAutokorrelation r + 0,06 + 0,20fmax 0,32 I 0,323.2.4. Diskussion der Ergebnisse VC;Il T 46Die Fonnein zur Berechnung der Refraktion beruhen auf der Voraussetzung, daß dasLicht eine Kreisbahn mit lIk-fachem Erdradius R durchläuft. Bis zum Aufzug der Wolken-front um 17.10 Uhr Ortszeit ist die Kreuzkorrelation der Zenitwinkel beider Stationenpositiv und signifikant, danach mitdagegen nicht mehr. Die Hypothese der Kreisbahn oder zumindest symmetrischen Strah-lenverlaufs ist nach 17.10 Uhr OZ abzulehnen.Die unterschiedliche Reaktion beider Zenitwinkel besonders direkt nach Beginn derBewölkung könnte damit erklärt werden, daß beim Standpunkt Ost Fahrzeuge unmittel-bar neben dem Instrument standen, die eventuell das Mikroklima durch Abstrahlungzusätzlich beeinflußt haben. Das Instrument West dagegen befand sich in freier Um-gebung.Bis zur Störung ab 17.10 Uhr herrschten homogene Klimaverhältnisse, die beiden Stand-punkte lagen in meteorologisch gleichen Bedingungen. Dies erkennt man auch klar ander guten Konstanz des Höhenunterschiedes ,6h, trotz der starken Refraktionsänderungvon k = - 0,3 bis + 0,6 in diesem Zeitraum. Die Autokorrelationsfunktion des Refrak-tionskoeffizienten bestätigt den starken zeitabhängigen Trend.133Irmax I= 0,32Die Genauigkeit der Zenitwinkel (1110st = ± 7~c8 bzw, 111Wesl = ± 18~C3) bedingt einen Fehlerim abgeleiteten Refraktionskoeffizienten von mj, = ± 0,24, weshalb kurzfristige Fluk-tuationen nicht nachweisbar sind, sondern nur der langfristige Trend.Einen wichtigen Hinweis erhalten wir aber aus der Kreuzkorrelation des Indexfehlers imit der zugehörigen Zenitdistanz.West rO.z) = - 0,60Ost r(i.z) = + 0,22Auf West ist die Korrelation signifikant, d. h. Änderungen der Zenitdistanz sind aufMeßfehler zurückzuführen und nicht auf eventuelle kurzperiodische Refraktionsschwan-kungen. Auf Ost ist wegen der kleineren Zenitdistanzfehler diesbezüglich keine signifi-kante Aussage möglich.Nach dem oben Gesagten erscheint es berechtigt, die Refraktionswerte graphisch zuglätten und durch eine stetige Kurve zu ersetzen. Eine Unstetigkeitsstelle entsteht nurbei Aufzug der Wolkenfront. Zum Vergleich sind in Abb. 2 noch die Kurvenstücke ein-gezeichnet, die Thiele/Zick 15: bei einer horizontalen Sicht für gleiche Ortszeiten undähnliche Witterungsbedingungen fanden. Wenn auch die Beträge von k verschieden sind,so stimmt doch das generelle Verhalten gut überein. Bei Sonne und leichtem Wind ändertsich k sehr stark im Laufe der Tageszeit, bei bedecktem Himmel ist k niedriger und nurwenig veränderlich.4. Untersuchung der nötigen Gleichzeitigkeit von ZenUdistanzmessungenSchon in 15, wurde die Frage der notwendigen Gleichzeitigkeit der beiden Zenitwinkel-messungen angeschnitten. Da der Anstieg von k mit der Zeit auf dem grönländischenInlandeis nach den allerdings wenigen hier erhaltenen Ergebnissen noch wesentlich stei-ler erfolgt als über Meereis nach :5[, soll hier erneut dieses für die praktische Organisa-tion wichtige Thema diskutiert w~rden.Abgesehen von sehr hochfrequenten zufälligen Änderungen von k entscheidet der An-stieg der Funktion k = k (t) mit t 00 Zeit über die nötige Gleichzeitigkeit.BmUnter Vernachlässigung von - und mitROs = ks . r/2ZA - ZIJ rWird aus (1) zsh = a . tg ( + 4' f'\k) = a . tg(a + da)Eine nach dem 1. Glied abgebrochene Taylor-Entwicklung ergibt weiter:und nach Vereinfachung4Rzsk = Z--h' . d(Lih)a + -134(8)(9)Wir fordern noch, daß der Fehler d(6h) :s; 1 cm bleiben soll und stellen nach (9) eineTabelle der resultierenden 6k zusammen. In Formel (9) bewirkt ein größerer Höhen-unterschied nur bei sehr kurzen Entfernungen einen Einfluß auf 6k, jedoch wird dannauch die zulässige Zeitdifferenz 6 t ohnehin so groß (6 t = 51 min für a = 6h 00 500 m),wie sie in der geodätischen Praxis kaum vorkommt. Es genügt deshalb, 6k als Funktionder Strecke a anzugeben.5 100,01 0,003Auf dem grönländischen Inlandeis bei T 46 ergab sich bei Sonne 6k = 0.1110 min(Abb. 2); um die zulässige Zeitdifferenz 6 t der Zenitwinkelmessungen in Minuten zuerhalten, müssen demnach alle Werte !\,k der Tabelle mit 100 multipliziert werden.Will man nicht streng gleichzeitig beobachten, so stellt sich die Frage nach sinnvollenZeitdifferenzen und Zielentfernungen. Der in i5i genannte Zeitraum von 15 min begrenztdie Entfernung auf 1,3 km. Für Messungen auf dem Inlandeis sollte es im Interesse einesflotten Arbeitsfortschritts möglich sein, 10 min als höchstzulässiges Zeitintervall ein-zuhalten, die zugehörige maximale Entfernung beträgt damit 1,6 km.5. Gesamtfehler der Trig. Höhenmessung und Vergleich mit NivellementWenn Gleichzeitigkeit mit der höchstzulässigen Zeitverschiebung 6t = 10 min angestrebtwird, so kann im Durchschnitt mit t = 5 min ein Simultaneitätsfehler m6t bei vielenHöhenunterschieden als zufälliger Fehler angesehen werden, und es ergibt sich aus (2)und (9) der mittlere Gesamtfehler eines Höhenunterschiedes zu2 (L-.h) 2 2 (a)2 (2 2) 2 (10)ill "''' = - . illa + -2 . illzA + illzB + ill""a pAls Zahlenbeispiel soll die westliche Gletscherrandzone des EGIG-Profils betrachtet wer-den. Die Steigung entspricht 6h/a = 0,013. 1959 wurden 64 km zu Fuß mit 464 Stand-punkten und einem mittleren Fehler von mß.j km = ± 56 mm nivelliertMit m, = 0,10 m, a = 1,6 km, mZA = mZB = 10", m, = m, min = 0,005 mL-.h/a = 0,013wird aus (10) m",,, = ± 0,018 mMit trigonometrischer Höhenmessung bei Streckenlängen von 1,6 km würden sich 40Höhenunterschiede ergeben, woraus man den mittleren Fehlerill61 km ,~ 18 . 140 = ± 114 mm erhält.Verglichen mit der Genauigkeit des Nivellements ist zwar eine Genauigkeits-Minderungum den Faktor 2 festzustellen, die aber noch als ausreichend für die Anschlußmessungangesehen werden kann. Die Vorteile der trig. Messung liegen bei schnellerem undbequemerem Arbeitsfortschritt sowie in der Ersparnis von 2 Personen, die beim Nivelle-ment als Lattenhalter zusätzlich benötigt werden.6. ZusammenfassungDie trigonometrische Refraktion wurde an zwei Standorten mit gleichzeitigen, gegen-seitigen Zenitdistanzen bestimmt:1351.) Sondre Stramfjord, Zielstrahl über Fjord in ca. 10 m Höhe(66 Messungen in ca. 5 Stunden)2.) Inlandeis bei T 46, Zielstrahl über Schnee in 1,5 m Höhe(37 Messungen in ca. 4 Stunden)Die Refraktion über dem Fjord in ca. 10 m Höhe scheint unseren mitteleuropäischen Ver-hältnissen ähnlich zu sein, im Mittel des Beobachtungstages war k = + 0,47. DiesesErgebnis steht im Einklang mit den Untersuchungen von Meier :3[, der in Spitzbergen20 m über Wasser etwa k = + 0,4 fand.Auf dem Inlandeis dagegen zeigt sich besonders bei sonnigem Wetter ein deutlicherTagesgang mit k = - 0,3 bis + 0,6 innerhalb eines Nachmittags; bei bedecktem Himmelbleibt k gegen Abend bei + 0,35 ziemlich konstant. Auch diese relativ wenigen Beobach-tungen stehen im Einklang mit denen anderer Autoren.Uberlegungen über die notwendige Gleichzeitigkeit bei gegenseitigen Zenitdistanzenführten zu dem Vorschlag, bei einem zulässigen Zeitintervall von 10 min die Entfernun-gen auf 1,6 km zu begrenzen. Besonders im stärker geneigten Gletscherrandgebiet stehtdamit die trigonometrische Höhenmessung dem geometrischen Nivellement an Genauig-keit nicht wesentlich nach und ist an Schnelligkeit und Personalbedarf weit überlegen.Literatur111 A TI g U S - L e p pan, P. V.: Refraction over Snow and lee Surfaces. Int. Symposium on TerrestrialElectromagnetic Distance Measurements and Atmospheric Effects on Angular Measurements, Stock-holm 1974.121 M ä I zer, H. : Das Nivellement über das Grönl ändische Inlandeis 1959. Meddelelser om Grönland,Band 173, Nr. 7, Kopenhagen 1954.131 M eie r r S,: In: Die wissenscbeftltcuen Ergebnisse der deutschen Spitzbergenexpedition 1964-1965.Geod. und Geophys. Veröffentlichungen des NKGG, Reihe III, Heft 9, I. Teil.141 Li c h t e , H. : Geodätische Messungen auf dem grönländischen Inlandeis. ZfV 82 (1957), S. 45-50, 65-73.J51 T h i eIe, P, U TI d Z i c k, W. Zur Simultaneität von trigonometrischen Höhenmessungen über Meer-eis. AVN 1973, H. 11, S. 419-425.136

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