As propriedades de sete modelos não-lineares: Brody, Richards, Von Bertalanffy, duas alternativas de Gompertz e de Logístico foram discutidas. Dados de peso (y) e idade de bovinos Canchim, do nascimento até 40 meses de idade, foram ajustados pelo método de Gauss Newton por meio do procedimento NLIN do SAS, considerando-se os critérios: convergência ou não, coeficiente de determinação e interpretabilidade biológica dos parâmetros, quadrado médio do resíduo. Dois modelos: Gompertz: y = yo.exp[(L/K)(1- e-kt)] e y = A.exp(-be-kt), foram os mais adequados para predizer o crescimento

BARIONI JUNIOR, W.

FREITAS, A. R. de

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APLICAÇÃO DE CURVAS DE CRESCIMENTO EM BOVINOS DE CORTEAlfredo Ribeiro de FreitasEmbrapa Pecuária Sudeste, São Carlos, SP. Bolsista do CNPq. (ribeiro@cppse.embrapa.br)Waldomiro Barioni JrEmbrapa Pecuária Sudeste (barioni@cppse.embrapa.br)RESUMO: As propriedades de sete modelos não-lineares: Brody, Richards, Von Bertalanffy,  duasalternativas de Gompertz e de Logístico foram discutidas. Dados de peso (y) e idade de bovinos Canchim, donascimento até 40 meses de idade, foram ajustados  pelo método de Gauss Newton por meio doprocedimento NLIN do SAS, considerando-se os critérios: convergência ou não, coeficiente de determinaçãoe interpretabilidade biológica dos parâmetros,  quadrado médio do resíduo. Dois  modelos: Gompertz: y =yo.exp[(L/K)(1- e-kt)] e y = A.exp(-be-kt), foram os mais adequados  para predizer o crescimento.Palavras-chave: Brody, curvas de crescimento, Gompertz, Logístico, modelos não-lineares, von Bertalanffy1. INTRODUÇÃODentre as várias aplicações dos modelos não-lineares que relacionam os pesos (y) e as idades (t) dosanimais (Davidian e Giltinan, 1996),  destacam-se: a)  resumir em três ou quatro parâmetros, ascaracterísticas de crescimento da população, pois alguns  parâmetros dos modelos não-lineares utilizados,possuem interpretabilidade biológica; b) estudar o perfil de respostas de tratamentos ao longo tempo; c)estudar as interações de respostas das subpopulações ou tratamentos com o tempo; d) identificar em umapopulação os animais mais pesados em idades mais jovens por do relacionamento entre o parâmetro k dascurvas de crescimento, que expressam a taxa de declínio na taxa de crescimento relativa, e o peso limite doanimal ou peso assintótico (Davidian e Giltinam, 1996); e) obter a variância entre e dentro de indivíduos, degrande interesse nas avaliações genéticas (Mansour et al., 1991).O estudo de curvas de crescimento em bovinos, é ainda mais atraente, uma vez que os modelos não-lineares são bastante flexíveis para se considerar nos dados peso-idade, características, tais como: a) aspesagens são irregulares no tempo, isto é, o intervalo entre duas medidas consecutivas quaisquer, não éconstante; b) possuem estrutura incompleta; c) as avaliações adjacentes são mais estreitamentecorrelacionadas do que as demais; d) a resposta dos indivíduos em função do tempo tem variância crescente.Os objetivos do trabalho foram ajustar modelos não-lineares dados peso-idade de bovinos machos daraça Canchim.2. METODOLOGIAa) Origem dos dados:      Foram utilizados dados peso-idade do nascimento até 40 meses de idade de bovinos machos da raçaCanchim, obtidos da Embrapa Pecuária Sudeste São Carlos, SP.b) Aspectos Teóricos dos Modelos Não-linearesb.1) Origem dos modelos Brody, Von Bertalanffy, Logístico, Gompertz e Richards2Estes modelos são gerados  por meio da reparametrização  da equação geral de Von Bertalanffy dadapor:  y1- m = A1- m – βe-Kt, em que A1-m = (η/κ), β = η/κ - y0(1-m) = A1 - m - y0(1- m)  e  k= (1 - m)κ, variando-se oângulo m (Richards, 1959):y1-m  = A1-m (1 + be-Kt ) −=→==+==−==−=−−−−−−variável)   (m                )beA(1         y:Richards 1)(m                      Ae        y:Gompertz    2)(m                        )beA/(1  y:Logística2/3)  (m           )beA(1  y:yBertalanff  Von0)(m                   )beA(1         y:Brody mkttbekt3  ktktktPara  0< m < 1, tem-se  um modelo intermediário entre Brody e Gompertz; para. 1 < m < 2,  o formato sesitua entre  Gompertz  e Logístico; para m > 2, resulta em um modelo similar ao Logístico, porém,assimétrico, com o ponto de inflexão podendo ser alterado para um valor maior do que y = A/2.b.2) Parâmetros A , b, K, mO parâmetro A estima o peso assintótico ou o peso limite quando t →   ∞; quando o peso adulto doanimal não é atingido, A reflete o peso às últimas pesagens; b não possui interpretação biológica, porém éimportante para modelar a curva sigmoidal do nascimento (t = 0) até a idade adulta (t → ∞) do animal,resultando nas expressões A(1-b) < y  < A;   A(1-b)3 < y  < A;  A/(1-b) < y  < A;  Ae-b < y  < A  e A(1-b) m< y  < A, para Brody, Von Bertalanffy, Logístico, Gompertz e Richards, respectivamente. Quando m → 1,como no caso do Gompertz, tem-se b = (yo/A)1-m.  A constante k ou índice de maturidade, é a  razão da taxade crescimento máxima em relação ao tamanho adulto.b.3) Taxa de crescimento absoluta  instantânea – TCIEstima o incremento no peso para cada unidade de tempo t; é dada por: ∂y/∂t = KA be-Kt(1-m)-1(1 +be-Kt )m/(1-m).  Substituindo-se os valores de m, em que o sinal + ocorre para m < 1 e o sinal − para m > 1,obtém-se as expressões da TCI (Tabela 1) para: Brody, Von Bertalanffy, Logístico, Gompertz e Richards,respectivamente. Para o Gompertz, a TCI é obtida para m → 1, quando  lim x → 0 (ax - 1)=logea.b.4) Taxa de crescimento instantânea relativa (TCIR) e absoluta (TCIA)A TCIR no tempo t em relação ao peso do indivíduo é dada:yt-1(∂yt/∂t) =    Kbe-Kt [(1-m)(1 + be-Kt )-1   (    para m > 1; + para m <1)que resulta nas expressões para a TCIR: bKe-Kt/(1-be-Kt),  3bKe-Kt/(1-be-Kt); bKe-kt/(1+be-Kt),  Kyloge(A/y)e  -Kbe-Kt [(1-m)(1 + be-Kt)-1, para Brody, Von Bertalanffy, Logístico, Gompertz e Richards,respectivamente. A TCIA é vizualizada por meio do gráfico de ∂y/∂t, na ordenada e y, na abscissa, a qualaproxima de A assintoticamente.b.5) Ponto de inflexão (PI)É o ponto em que a TCI passa de crescente para decrescente; é dado por yt/A = m1/(1-m),correspondendo à yt/A = 8/27, yt/A = ½, yt/A=1/e e yt/A = m1/(1-m), para Von Bertalanffy, Logístico,Gompertz e Richards, respectivamente.b.6) Taxa de maturidade absolutaÉ a razão de ∂yt/∂t em relação ao peso assintótico A, ou seja, A-1∂yt/∂t; o gráfico A-1∂y/.∂t versusyt/A, representa a taxa de troca em peso do tamanho proporcional em relação ao tamanho global,3variando na escala de 0 a 1. Da mesma forma, quando diferentes curvas são ajustadas ao um conjunto deanimais, pode-se estabelecer uma equivalência entre os k’s e comparar estas curvas variando-se apenas ovalor de m.b.7) Taxa de crescimento no intervalo ti e tj (i < j)Para duas avaliações quaisquer i e j no animal, a taxa de crescimento média é da por 1/(tj - ti)jitt(∂y/∂t) ∂t = (yj - yi) /(tj - ti), enquanto que a taxa de maturidade  absoluta média é dada por  A-1/(tj - ti)jitt∂y/∂t ∂t = A-1(yj - yi) /(tj - ti).c) Modelos analisadosA Tabela 1 apresenta os modelos não-lineares usados algumas propriedades associadas aos mesmos:Além dos cinco modelos do item b.1), foiconsiderado o Gompertz (2a), dado por:  y = yo.exp[(L/K)(1- e-kt)] (Freitas e Costa, 1983), em que yoeL/K e L/K, equivale, respectivamente, aos parâmetros A e b doGompertz (2b), e o Logístico: y = A/(1 + e-kt)m  (Fitzhugh (1976), em que L não tem significado biológico,porém, juntamente com o k compõem o b,  modelam a curva sigmoidal. A escolha dos modelos mais foramfeitas considerando-se: a) convergência ou não; b) coeficiente de determinação dado por 1- (SQR/SQT), emque SQR e SQT é a soma de quadrados do resíduo e total corrigida, respectivamente e c) interpretabilidadebiológica dos parâmetros. O ajuste dos modelos aos dados foi feito  por meio do procedimento NLIN do SASe método iterativo de Gauss-Newton.Tabela 1– Propriedades dos modelos não lineares: Brody (1), Gompertz (2a, 2b),  Logístico (3a, 3b), Richards (4) eVon Bertalanffy (5). Taxa de crescimento instantânea (∂y/∂t), taxa de maturidade absoluta (A-1(∂y/∂t)), taxade crescimento instantânea relativa ((∂y/∂t)/y) e ponto de inflexão (yi;  ti )Modelo:     y    = ∂y/∂t = AbkC1 A-1(∂y/∂t) = bkC1 (∂y/∂t)/y = AbkC1/y (y ; ti )1. A(1-bC1) ∂y/∂A = (1-bC1) ∂y/∂b = -AC1 ∂y/∂K = AbtC1  não  possui2a. yo.e[(L/K)(1- C1)] ∂y/∂yo= e{(L/K)(1- C1)} ∂y/∂K= yLtC1/K ∂y/∂L=y(1- C1)/K 0,368A  ; loge(L/K)/K2b. Aexp(-bC1) ∂y/∂A = exp(-bC1) ∂y/∂b=-yC1 ∂y/∂K = ybtC1 A/e; (logb)/k3a. A/(1 + C1)m ∂y/∂A=1/(1+ C1) m ∂y/∂k=ymtC1/(1+ C1) ∂y/∂m=-yln (1 + C1) A[m/(m+1)]m; logem/K3b. A/(1 + bC1 ) ∂y/∂A = 1/(1+bC1) ∂y/∂b=-yC1/(1+ bC1) ∂y/∂K=ybt/(1 + bC1)C1 A/2; (lnb)/K4. A(1-bC1) m ∂y/∂A = (1-bC1) m ∂y/∂m = y ln(1-bC1)∂y/∂b=-ymC1/(1-bC1) ∂y/∂K=ymbtC1/(1-bC1) Am1/(1-m); ln(b(1-m)-1)/K5. A(1 – bC1) 3 ∂y/∂A = (1-bC1)3  ∂y/∂B=-3AC1(1-bC1)2 ∂y/∂K=3ABT(1-bC1)2 C1 8A/27; loge(3b)/K    C1 = exp(-kt)3. RESULTADOS E DISCUSSÃOA Tabela 2 apresenta as estimativas dos parâmetros dos modelos ajustados aos dados peso-idade donascimento até 40 meses de idade de bovinos  Canchim.4Tabela 2 – Modelo, parâmetros estimados e coeficientes de determinação dos  modelos não-linearesModelos Parâmetros estimados R21. ) Brody:                     y = A(1-bC1)  A =1751,9000;   b=0,9734; K=0,0103 0,92442a) Gompertz:              y = yo,exp[(L/K)(1-C1)] yo = 72,7672,     L= 0,1343  K =0,0566  0,92322b)Gompertz:               y = Aexp(-bC1) A = 780,5950     b= 2,3728  K = 0,0566 0,92323a) Logístico:                y = A/(1 + C1)m A= 731,0000     K = 0,0713 M=3,2265  0,93575  ) Von Bertalanffy: y = A(1 – bC1) 3 A= 872,9000     b=0,5777   K= 0,0413 0,9238C1=exp(-kt)A Figura 1 apresenta  as estimativas de pesos, em kg (esquerda)  e a Taxas de Crescimento Instantânea(TCI, kg/Mês), em função da idade (direita); os índices de 1 a 4, indicam, os  modelos Brody, o Gompertz, oLogístico e Von Bertalanffy. Observando-se o comportamento dos modelos quanto à estimativas de pesos(Figura 1: esquerda), verifica-se que os resultados semelhantes, porém, há diferença entre os mesmos  na faseinicial e às  últimas pesagens. Na fase inicial, o mais indicado foi o Brody, enquanto que os demais tenderama superestimar os pesos. Entretanto, considerando-se todos os pares peso-idade, o Logístico y=A/(1+e-kt)m,seguido de Von Bertalanffy, foram os mais indicados. As estimativas de pesos, em kg,  ao nascimentoobtidas destes  modelos, pela ordem, foram 46,6; 72,7;  89,4 e 78,0, para Brody, Gompertz, Logístico e VonBertalanffy, respectivamente;  superiores ao valor observado (40,2  kg).Figura 1- Estimativas de pesos, em kg (esquerda) e Taxas de Crescimento Instantânea (TCI, kg/Mês), emfunção da idade, em mês,  de bovinos machos Canchim, obtidas dos modelos: y1=A(1-be-kt); y2=Aexp(-be-kt); y3 =A/(1+exp(-kt))m e y4=A(1-be-kt)3. Os  índices dos gráficos e os  dos modelos sãocorrespondentes.Parece existir tendência dos modelos ajustados superestimarem os pesos iniciais, pois nos estudos decrescimento de bovinos (Brown et al, 1976). Através de análise mais detalhada da Figura 1 (direita),verificou-se que os modelos superestimaram os pesos até os dois meses de idade; dos 23 aos 28 e dos 30 aos34 meses de idade e subestimaram dos 6 aos 12 meses.  Aos 40 meses de idade, os pesos estimados, em kg,foram 622,4; 610,0; 609,9  e 613,9 para Brody, Gompertz (Tabelas 1 e 2: 2a e 2b), Logístico y= y=A/(1+e-kt)m e Von Bertalanffy, respectivamente, os quais superestimaram o valor observado (600,2 kg).Quanto à taxa TCI, em kg/mês, verifica-se que do nascimento até o 400 mês, os valores variaram de17,5 a 11,6 kg; 9,8  a 8,5 kg; 9,0 a 7,6 kg e 11,1 a 9,5 para y1 a y4, respectivamente.  Excetuando-se o modeloBrody (y1) que não apresenta ponto de inflexão (PI),  os valores de PI foram: 16,2 kg (160 mês), 16,6 kg5(160 mês) e 16,0 kg (140 mês), para Gompertz, Logístico e Von Bertalanffy, respectivamente.No intervalo do peso ao nascimento (ti) e peso aos 40 meses de idade (tj), a taxa de crescimento médiamensal, em kg, para Brody, Gompertz, Logístico e Von Bertalanffy, foi, respectivamente, 13,80; 12,99;12,89 e 13,22. Por outro lado, a taxa de maturidade absoluta média foi, respectivamente de  0,8%; 1,7%;1,8% e 1,5%. Considerando-se que os pesos observados, em kg,  aos 40 meses de idade foram 622,4; 610,0;609,9 e 613,9 para Brody, Gompertz, Logístico e Von Bertalanffy, respectivamente, e os correspondentesvalores assintóticos (A): 1751,90; 780,59; 731,00 e 872,90 kg, são necessários 126,8; 60,1; 56,7 e 66,0 mesesde idade para se atingir o valor de A. O valor de 1,5% obtido para o modelo Von Bertalanffy, indica que acada mês houve crescimento corporal de 1,5% relativo ao peso assintótico (872,9 kg), o que necessitaria 66,7meses de idade para se atingir o peso à maturidade para a raça, caso o mesmo comportamento docrescimento se mantivesse após os 40 meses de idade. Considerando-se que a estimativa do peso aonascimento é de 46,6 kg, significa que o crescimento pós-nascimento é de 826,3 kg, o que requercrescimento médio de 12,4 kg/mês. Elias (1998), no ajuste de dados de pesos de  fêmeas Nelore, Guzerá eGir,  verificou que o modelos Brody, Logístico, Von Bertalanffy, Gompertz e Richards apresentaram bomajuste aos dados;  no entanto, o Brody foi o mais adequado. Segundo Paz (2002), no ajuste dos modelosBrody, Von Bertalanffy, Richards, Gompertz e Logístico à dados de  pesos ao nascimento, ao desmame emensais dos 8 aos 19 meses de idade de 11 classes de genótipos e três grupos genéticos de bovinos Canchim,o último foi o mais indicado.4. CONCLUSÕESOs dois  modelos Gompertz: y = yo.exp[(L/K)(1- e-kt)] e y = A.exp(-be-kt), foram adequados  para predizer ocrescimento de bovinos. De modo geral, os modelos não-lineares estudados  tenderam a superestimar ospesos iniciais e finais. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASBROWN, J.E.,FITZHUGH Jr, H.A.,CARTWEIGHT,T.C. A comparison of nonlinear models for describingweight-age relationship in cattle. Journal of Animal Science, Champaign,v.42,n.4.p.810-818,1976.DAVIDIAN, M.; GILTINAN. D. M. Nonlinear models for repeated measurement data.  2.ed. London:Chapman Hall, 1996. 359p.ELIAS, A.M. Análise de curvas de crescimento de vacas das raças Nelore, Guzerá e Gir. 1998, 128fl. Tese(Mestrado em Melhoramento Animal) -  ESALQ/USP, Piracicaba..FITZHUGH Jr, H.A. Analysis of growth  curves and strategies for altering their shape. Journal of AnimalScience, Champaign,v.42,n.4.p.1036-1051,1976.FREITAS, A. R. de;  COSTA, C. N. da. Ajustamento de modelos não  lineares a dados de crescimento desuínos. Pesquisa Agropecuária Brasileira., Brasília, v.18, n.10, p.1147-54, out., 1983.MANSOUR, H.; JENSEN, E. L.; JOHNSON, L. P.  Analysis of covariance structure of  repeatedmeasurements  in  holstein  conformation  traits. Journal of Dairy Science, v.74, n.8, p.2757-2766, 1991.PAZ, C. C. P. Associação entre  polimorfismos genéticos e parâmetros da curva de crescimento em bovinosde corte. 2002, 107fl. Tese (Doutorado em Melhoramento Animal) -  ESALQ/USP,Piracicaba.RICHARDS, F. J. A flexible growth function for imprical use. Journal of ExperimentalBotany,  v.10, n.29, p.290-300, 1959.SAS INSTITUTE. SAS/STAT 1999-2001 User’s guide: statistics, version 8, v.2, SAS Cary, NC, USA,1999-2001.

Aplicação de curvas de crescimento em bovinos de corte.

As propriedades de sete modelos não-lineares: Brody, Richards, Von Bertalanffy, duas alternativas de Gompertz e de Logístico foram discutidas. Dados de peso (y) e idade de bovinos Canchim, do nascimento ate 40 meses de idade, foram ajustados pelo método de Gauss Newton por meio do procedimento NLIN do SAS, considerando-se os critérios: convergência o não, coeficiente de determinação e interpretabilidade biológica dos parâmetros, quadrado médio do resíduo. Dois modelos: Gompertz; y = yo.exp[(L/K)(1- e -kt)] e y = A.exp(-be kt), foram os mais adequados para predizer o crescimento

APLICAÇÃO DE CURVAS DE CRESCIMENTO EM BOVINOS DE CORTE Alfredo Ribeiro de Freitas, Waldomiro Barioni Jr Resumo: As propriedades de sete modelos não-lineares: Brody, Richards, Von Bertalanffy, duas alternativas de Gompertz e de Logístico foram discutidas. Dados de peso (y) e idade de bovinos Canchim, do nascimento até 40 meses de irlade, foram ajustados pelo método de Gauss Newton por meio do procedimento NLIN do SAS, considerando-se os critérios: convergência ou não, coeficiente de determinação e interpretabilidade biológica dos parâmetros, quadrado médio do resíduo. Dois modelos: Gompertz: y = yo.exp[(LlK)(l- e·kl)] e y == A.exp(-be·k'), foram os mais adequados para predizer o crescimento. AVALIAÇÃO DE IMPAcrOS AMBIENTAL E SOCL<\.L COM FOCO NO usuÁRIO: UMA ABORDAGEM METODOLÓGICA E PRÁTICA Jesus Fernando Mansilla Baca, Sérgio Gomes Tosto, Elizabeth Santos Brandão, Júlio Roberto Pinto Ferreira da Costa Resumo: Apresenta-se uma metodologia para avaliar impactos ambientais e sociais de tecnologia, produtos ou serviços (entidade avaliada) com foco na visão do usuário. Aplica-se uma estrutura hierárquica-integrativa que permite fazer uma consulta com usuários (avaliadores) da entidade escolhida, tais respostas são codificadas e aplicadas num modelo matemático que permite extrair os pesos (importância) apontada para cada elemento da arvore, também são apresentadas estatísticas e diagramas e uma avaliação global da entidade. Tem sido implemeniado um sistema em planilhas Microsoft Excel com linguagem "Visual Basic Aplication" que permite automatizar todo o processamento dos dados. Nos anos 2002, 2003 e 2004 tem sido feita a aplicação prática de seu emprego para avaliar três produtos da Embrapa Solos que resultaram em avaliações de impactos ambientais que a Embrapa ano a ano faz dos diferentes produtos de seus Centros de Pesquisa. Este tipo de metodologia permite que os usuários dela possam visualizar em forma gráfica, intuitiva e fácil os resultados da avaliação e ter uma noção da "visão" do usuário que elementos considera mais importantes. 86 

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