En este artículo se hace un estudio de los espacios topológicosT(d), se estudian algunas de sus propiedades como preservación por funciones continuas, por subespacios y por productos entre otras. Además se dan algunas caracterizaciones de ellos, utlizando el orden de especialización y se utilizan estos resultados para caracterizar los anillos cuyo espectro primo es T(d')

Rodríguez, Abel Augusto

Ávila, Jesús Antonio

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Avila G., Jesús Antonio

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Espacios topológicos T (delta)

Universidad Nacional De Colombia - Repositorio Institucional UN

Bolet́ın de MatemáticasNueva Serie, Volumen X No. 2 (2003), pp. 84–91ESPACIOS TOPOLÓGICOS T(δ)JESÚS ANTONIO ÁVILA G. (*)ABEL AUGUSTO RODRÍGUEZ (**)Resumen. En este art́ıculo se hace un estudio de los espacios topológicosT (δ), se estudian algunas de sus propiedades como preservación por fun-ciones continuas, por subespacios y por productos entre otras. Ademásse dan algunas caracterizaciones de ellos, utlizando el orden de especia-lización y se utilizan estos resultados para caracterizar los anillos cuyoespectro primo es T (δ′).Abstract. In this paper we study the T (δ) spaces, we give several charac-terizations and some properties of them, we study their discrete structureas poset when it is endowed of the specialization order and we apply theresults obtained to the prime spectrum of a ring, characterizing the ringswhose spectrum is T (δ′).Palabras clave: Espacio topológico, conjunto parcialmente ordenado,punto de acumulación, espectro primo, espacio T (δ).Key Words: Topological space, poset, accumulation point, prime spec-trum, T (δ) space.Matematics Subject Classifications: 54D10, 54A10.1. IntroducciónLa noción de espacio topológico T (δ) fue introducida por Thron y Aull en [5],alĺı por la misma definición se observa que éste es un axioma más fuerte que(*) Jesús Antonio Ávila G., Departamento de Matemáticas y Estad́ıstica Universidad delTolima, Ibagué (Colombia).e-mail: javila@ut.edu.co(**) Abel Augusto Rodŕıguez, Estudiante de Matemáticas con Énfasis en Estad́ıstica, Uni-versidad del Tolima, Ibagué (Colombia).e-mail: abeldat@hotmail.comTrabajo parcialmente financiado por el Centro de Investigaciones de la Universidad delTolima.84ESPACIOS TOPOLÓGICOS T(δ) 85TD y que T1 no implica T (δ). Además se menciona su interesante estructuradiscreta cuando se dota de un orden especial, pero no hace algún desarrollo so-bre el tema. Además es importante mencionar que en la literatura consultadano se encuentra un estudio detallado de las principales propiedades de estos es-pacios, por lo cual el objetivo del presente art́ıculo es estudiar los espacios T (δ)en cuanto a subespacios, productos, preservación por funciones continuas y porhomeomorfismos, mostrar su relación con los espacios T (γ) y TD definidos en[5], utilizar el orden de especialización para hacer algunas caracterizaciones deellos y observar algunas de sus propiedades. Finalmente aplicar estos resultadospara caracterizar los anillos cuyo espectro primo es T (δ′).2. Espacios Topológicos T(δ)En este numeral se introducen los espacios topológicos T (δ) y se hace un es-tudio de algunas de sus propiedades como preservación por subespacios, porproductos, imagen bajo funciones continuas, su relación con los espacios T (γ)y TD, entre otras.Definición 2.1. Sea X un espacio topológico, se dice que A ⊆ X tiene unpunto genérico si A es igual a la adherencia de un punto.Definición 2.2. Un espacio topológico X se llama [5]:a) T (δ) si para todo x ∈ X, {x}′ tiene un punto genérico.b) T (γ) si para todo x ∈ X, {x}′ es unión de conjuntos disyuntos, cada uno delos cuales tiene un punto genérico.c) TD si para todo x ∈ X, {x}′ es cerrado.Obsérvese que todo espacio T (δ) es T (γ) y TD y en consecuencia también T0.Sin embargo como se muestra en el siguiente ejemplo, existen espacios T (γ) yTD que no son T (δ), es decir, T (δ) $ T (γ) ∩ TD.Ejemplo 2.3. Considérese Z con el orden usual en los enteros negativos, elinverso del usual en los enteros positivos, cero como elemento máximo y entreun entero positivo y uno negativo no hay relación. Este conjunto dotado con latopoloǵıa generada por las colas a derecha, es un espacio T (γ) y TD, pero noes T (δ) ya que el conjunto de puntos de acumulación del máximo no tiene unpunto genérico.En la siguiente proposición se dan las condiciones para que un espacio T0 seaT (δ).86 JESÚS ANTONIO ÁVILA G. Y ABEL AUGUSTO RODRÍGUEZProposición 2.4. Si X es un espacio T0, entonces {x}′ tiene un punto genérico,si y sólo si, existe p ∈ {x}′ tal que {x, p}′ = {p}.Demostración.⇒) Como {x}′ tiene un punto genérico, existe p tal que {x}′ ={p}, luego {x, p}′ = {x}′ ∪ {p}′ = {p}.⇐) Veamos que {x}′ = {p}. Si a ∈ {x}′ entonces a ∈ {x, p}′ = {p}. Ahora sib ∈ {p}, entonces b ∈ {x}′ . Corolario 2.5. Sea X un espacio T0. X es T (δ), si y sólo si, para todo x ∈ Xexiste p ∈ {x}′ tal que {x, p}′ = {p}.Ya que los espacios TD están caracterizados como aquellos donde todo punto esla intersección de un abierto con un cerrado, se tiene la siguientecaracterización de los espacios T (δ), cuando el espacio es T0.Proposición 2.6. Sea X un espacio T0. X es T (δ), si y sólo si, para todox ∈ X existe p ∈ {x}′ , tal que {x} = {x} ∩ {p}c.Demostración. ⇒) Como {x}′ = {p}, para algún p, entonces{x} ∩ {p}c= ({x} ∪ {x}′) ∩ {p}c= {x} .⇐) {x}′ = {x}r {x} = {x}r ({x} ∩ {p}c) = {x} ∩ {p} = {p}. Proposición 2.7. Si (X, τ) es T (δ), entonces X es infinito.Demostración. Supóngase que X es T (δ) y X es finito. SeaX = {x1, ..., xn} , entonces para todo i se tiene {xi}′ = {pi}, para algún pi ∈ X.En particular{x1}′ = {xj1}, para algún j1, 2 ≤ j1 ≤ n= {xj1} ∪ {xj1}′, j1 6= 1= {xj1} ∪ {xj2}, j2 6= j1, 1= {xj1} ∪ {xj2} ∪ {xj2}′= {xj1} ∪ {xj2} ∪ {xj3}, j3 6= j2, j1, 1Como el conjunto de ı́ndices es finito, existe un jk, 2 ≤ jk ≤ n, tal que {xjk}′ =∅, luego {xjk}′ no tiene un punto genérico, lo cual es falso. ESPACIOS TOPOLÓGICOS T(δ) 87No todo subespacio infinito de un espacio T (δ) es T (δ), como se muestra en elsiguiente ejemplo. Esta es una propiedad heredada por los subespacios cerrados.Ejemplo 2.8. En Z con la topoloǵıa generada por las colas a derecha, el sub-espacio A = [1,∞) no es T (δ) pues {1}′ = ∅.Proposición 2.9. Todo subespacio cerrado A de un espacio T (δ) es T (δ).Demostración. Si a ∈ A, entonces {a}′A = {a}′X ∩A y como X es T (δ), existep tal que {a}′X = {p}X , entonces {a}′A = {p}X ∩A. Como A es cerrado, p ∈ Ay se tiene que {a}′A = {p}A. El rećıproco de la proposición anterior no es cierto, como se muestra en elsiguiente ejemplo.Ejemplo 2.10. Z con la topoloǵıa generada por las colas a derecha es unespacio T (δ). Ahora, el subespacio 2Z también es T (δ), pero no es cerrado.En los siguientes ejemplos se muestra que ser T (δ) no es estable por productos ytampoco es una propiedad que se preserva por funciones continuas. Sin embargośı es un invariante topológico.Ejemplo 2.11. Z con la topoloǵıa generada por las colas a derecha es unespacio T (δ), pero Z× Z con la topoloǵıa producto no lo es.Ejemplo 2.12. Si f es una función constante de Z con la topoloǵıa generadapor las colas a derecha, en Z con la topoloǵıa de cofinitos, se tiene que f escontinua pero f(Z) no es T (δ), ya que es un conjunto finito.Proposición 2.13. La propiedad T (δ) es un invariante topológico.Demostración. Sea X un espacio T (δ) y f : X → Y un homeomorfismo. Siy ∈ Y existe x ∈ X tal que f(x) = y, entonces {f(x)}′ = f({x}′) = {y}′ .Como existe p ∈ X tal que {x}′ = {p}, entonces f({p}) = f(p) = {y}′ . Portanto Y es T (δ). En el siguiente ejemplo se muestra que la propiedad T (δ) no se preserva porexpansión de la topoloǵıa, propiedad satisfecha por la mayoŕıa de axiomas entreT0 y T1 [5].Ejemplo 2.14. En Z, sea τ la topoloǵıa generada por las colas a derecha. Ahoraconsidérese la base β = {{n, n + 1, ...} | n ∈ Z}∪{{p, p + 2, p + 4, ...} | p ∈ 2Z}∪{{r, r + 2, r + 4, ..., r + 2k, r + 2k + 1,r + 2k + 2, ...} | r ∈ 2Z}, entonces en la topoloǵıa generada por esta base 〈β〉 ,se tiene para p par, {p}′ = {..., p− 3, p− 2, p− 1} y este conjunto no tiene un88 JESÚS ANTONIO ÁVILA G. Y ABEL AUGUSTO RODRÍGUEZpunto genérico, ya que p− 1 = {..., p− 7, p− 5, p− 3, p− 1}. Se tiene entoncesque (Z, τ) es T (δ), τ ⊆ 〈β〉 pero (Z, 〈β〉) no es T (δ).3. Espacios T(δ) y Conjuntos OrdenadosEn este numeral se introduce el orden de especialización sobre cualquier espacioT0 y con esto se observan algunas particularidades de la estructura ordenada delos espacios T (δ), además se caracterizan estos espacios utilizando dicho orden.Proposición 3.1. Sea X un espacio T0. La relación ≤ definida como x ≤ y, siy sólo si, x ∈ {y} es de orden.Nótese que en todo espacio topológico la relación ≤ definida anteriormente,cumple la propiedad reflexiva y transitiva, la antisimétrica se tiene si y sólo siel espacio es T0.El orden anterior se conoce como orden de especialización, el cual ha sido estu-diado en muchos contextos [1], [11], [12]. Nosotros lo utilizaremos para carac-terizar los espacios T (δ), observar algunas de sus propiedades y relacionarlo conel orden de contenencia del espectro primo de un anillo conmutativo unitario.La proposición y los corolarios siguientes permiten establecer algunaspropiedades importantes de los espacios T (δ) como conjuntos ordenados.Proposición 3.2. Sea X un espacio T0, {x}′ tiene un punto genérico, si y sólosi, ({x}′ ,≤) tiene máximo.Demostración. ⇒) Si {x}′ tiene un punto genérico, existe p tal que {x}′ ={p}, lo cual implica que si t ∈ {x}′ entonces t ≤ p.⇐) Si p es el máximo de ({x}′ ,≤), la igualdad {x}′ = {p} se obtiene directa-mente. Corolario 3.3. Sea X un espacio T0. X es T (δ), si y sólo si, para todo x ∈ X,el conjunto ({x}′ ,≤) tiene máximo.Una caracterización similar a la anterior puede hacerse en términos de elemen-tos predecesores ó sucesores [3].Nótese que los espacios T (δ) con el orden definido no tienen elementosminimales, ya que no pueden existir puntos cerrados. Pero śı pueden tenerelementos maximales como por ejemplo el conjunto {...,−3,−2,−1, 0} con latopoloǵıa generada por las colas a derecha.ESPACIOS TOPOLÓGICOS T(δ) 894. Una Aplicación al Espectro Primo de un AnilloEn este numeral consideramos un anillo conmutativo unitario R y su conjuntode ideales primos propios Spec(R), dotado con la topoloǵıa de Zariski [4]. Deesta forma se pueden encontrar anillos que caracterizan ciertas propiedadestopológicas supuestas en su espectro [4], [6], [8]. El objetivo de esta secciónes caracterizar los anillos a los cuales se les puede asociar un subespacio delespectro que es un espacio T (δ) y presentar algunos ejemplos de ellos.Primero debemos notar que para {P} ⊆ Spec(R), se tiene{P} = {Q ∈ Spec(R) | P ⊆ Q}, lo cual indica que el orden de contenen-cia es el orden inverso del orden de especialización. Ahora como el espectroprimo de un anillo tiene elementos maximales (los ideales maximales), en-tonces para todo anillo R, Spec(R) no es un espacio T (δ). Sin embargo podŕıaconsiderarse el subespacio Spec(R)\Max(R), donde Max(R) denota el espec-tro maximal del anillo. Entonces los anillos R, tales que,Spec(R)\Max(R) es un espacio T (δ) están caracterizados directamente porel orden de contenencia y por el Corolario 3.3, teniéndose la siguiente proposi-ción.Proposición 4.1. Sea R un anillo, Spec(R)\Max(R) es un espacio T (δ), si ysólo si, para todo P ∈ Spec(R)\Max(R) el conjunto {P}′ tiene mı́nimo.El resultado anterior conduce necesariamente a que todo primo debe tenerprofundidad infinita, pues de lo contrario se tendŕıan puntos cerrados, estoademás implica que el anillo debe ser de dimensión infinita. Es decir los anillosque caracterizan esta propiedad son aquellos tales que, para todo primo Pexiste un único primo Q tal que P $ Q y no existen ideales primos entre ellos.Lo anterior da origen a la siguiente definición.Definición 4.2. Un anillo conmutativo unitario R se llamará δ−anillo si paratodo primo P no maximal, la intersección de los primos no maximales que locontienen estrictamente es un primo distinto de P .Un ejemplo particular de δ − anillo se tiene tomando el conjuntoX = N ∪ {∞}, donde N se considera con el orden usual e ∞ representa unelemento que no pertenece a N y que es mayor que todo natural. Ahora por elCorolario 3.6 de [10], existe un anillo de valuación V, tal que, Spec(V ) ∼= X. Deigual forma por el Teorema 3.1 de [10] existen dominios de Bézout y de Prüferque son δ − anillos.Y se tiene entonces la siguiente caracterización algebraica de los anillos cuyoespectro es T (δ).90 JESÚS ANTONIO ÁVILA G. Y ABEL AUGUSTO RODRÍGUEZProposición 4.3. Sea R un anillo, Spec(R)\Max(R) es un espacio T (δ), si ysólo si, R es δ − anillo.Demostración. Para todo P ∈ Spec(R)\Max(R) el conjunto {P}′ tiene mı́ni-mo, si y sólo si, existe Q ∈ {P}′ , tal que, Q =⋂T∈{P}′ T, si y sólo si, R esδ − anillo.En los espacios T (δ) no pueden existir puntos cerrados, esto permiteconsiderar un axioma menos fuerte llamado T (δ′) (T (δ) según [3]), el cualse define a continuación.Definición 4.4. Un espacio topológico X se llama T (δ′) si para todo x ∈ X,{x}′ tiene un punto genérico ó es vaćıo.Este “pequeño” cambio en la definición implica alteraciones notables en suspropiedades, pues por ejemplo existen muchos espacios topológicos finitos deesta clase, lo cual no suced́ıa anteriormente. Igualmente se observan cambios enlos anillos que caracterizan esta propiedad, pues ya no es necesario considerarun subespacio sino el espectro primo completo, como se observa a continuación.Definición 4.5. Un anillo conmutativo unitario R se llamará δ′ − anillo sipara todo primo P no maximal, la intersección de los primos que lo contienenestrictamente es un primo distinto de P .Es claro que los anillos donde primos y maximales coinciden, en particularBooleanos y Artinianos, los anillos locales de dimensión uno y los dominios devaluación de dimensión finita son δ′ − anillos. Además por el Teorema 2.10 de[10] pueden construirse δ′ − anillos de cualquier dimensión finita.Z y todo anillo de Jacobson de dimensión mayor ó igual que 1 no sonδ′ − anillos.Finalmente se tiene la caracterización de los anillos cuyo espectro es T (δ′).Proposición 4.6. Sea R un anillo, Spec(R) es un espacio T (δ′), si y sólo si, Res δ′ − anillo.Obsérvese cómo utilizando el espectro y alguna noción topológica, se puedenencontrar anillos con propiedades especiales. A partir de esto, el camino a seguirconsiste en estudiar las propiedades algebraicas de los anillos encontrados. Ennuestro caso se podŕıan estudiar cocientes, fracciones, polinomios, extensionesde los δ − anillos y δ′ − anillos.ESPACIOS TOPOLÓGICOS T(δ) 91Bibliograf́ıa[1] L. Acosta, On Compactness of Concordant Topologies. Preprint, 2001.[2] J. Adámek, H. Herrlich and G. Strecker, Abstract and Concrete Categories: The Joy ofCats. John Wiley & Sons, New York, 1990.[3] S.J. Andima and W.J. 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