En el  presente trabajo se estudia el problema de Cauchy para cierta ecuación parabólica degenerada. Se obtiene la regularidad Hölder de las soluciones viscosas imponiendo condiciones al exponente $m$

Rendón Arbeláez, Leonardo

Romero Polo, Pedro

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Revista Colombiana de MatemáticasVolumen 45(2011)1, páginas 19-30Regularidad de soluciones viscosas deuna ecuación parabólica degeneradaRegularity of Viscose Solutions of a Degenerated ParabolicEquationPedro Romero Polo1, Leonardo Rendón Arbeláez21Universidad del Magdalena, Santa Marta, Colombia2Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, ColombiaResumen. En el presente trabajo se estudia el problema de Cauchy para cier-ta ecuación parabólica degenerada. Se obtiene la regularidad Hölder de lassoluciones viscosas imponiendo condiciones al exponente m.Palabras y frases clave. Solución viscosa, principio del máximo, continuidadHölder.2000 Mathematics Subject Classification. 35K55, 35K65.Abstract. In this paper we study the Cauchy problem for certain degeneratedparabolic equation. We obtain the Hölder regularity of the viscose solutionsimposing conditions over the exponent m.Key words and phrases. Viscose Solution, Maximum Principle, Hölder Conti-nuity.1. IntroducciónSe estudia el problema de Cauchy para la ecuaciónut = u∆u− γ|∇u|2 + kum, en Ω = RN × R+ (1)con valor inicialu(x, 0) = u0(x), en RN , (2)donde γ,m, k ∈ R con γ ≥ 0 y el dato inicial u0 satisfaceu0 ∈ C(RN)∩ L∞(RN)y u0 ≥ 0, en RN . (3)1920 PEDRO ROMERO POLO & LEONARDO RENDÓN ARBELÁEZLa ecuación (1) surge en algunas aplicaciones en Bioloǵıa y en F́ısica [1, 2, 5].u∆u es el término de difusión, −γ|∇u|2, es el término de disipación y kum sedenomina término de reacción. Esta es una ecuación parabólica degenerada enlos puntos donde u se anula.El problema de Cauchy (1), (2) en general, no tiene soluciones clásicas y esnecesario llegar a interpretaciones en el sentido de soluciones viscosas.Este problema es una versión general del problema desarrollado por Lu yQian [4], el cual es dado por:{ut = u∆u− γ|∇u|2, en Ω = RN × R+;u(x, 0) = u0(x), en RN .(4)Definición 1. Una función u ∈ L∞(Ω)⋂L2Loc([0,+∞];H1Loc(RN )) es llamadasolución débil de (1), (2) si u ≥ 0 en casi todas partes (c.t.p) en Ω y para todaT > 0, la ecuación integral∫RNu0ψ(x, 0) dx+∫∫Ω(uψt−u∇u ·∇ψ−(1+γ)|∇u|2ψ−kumψ)dx dt = 0, (5)se cumple para cualquiera ψ ∈ C1,1(Ω)con soporte compacto en Ω.2. Método de viscosidadSe construye la solución débil por el método de viscosidad. Sea wε(x, t) la únicasolución en C2,1(Ω)∩C(Ω)∩L∞(Ω) del problema de Cauchy con la ecuación (1)reemplazada porut = u∆u− γ|∇u|2 + kum + ε∆u, (6)donde ε > 0, m ∈ R y k ∈ R.Es decir:wεt = wε∆wε − γ|∇wε|2 + k(wε + ε)m + ε∆wε. (7)Entonces uε = wε + ε es una solución clásica del problema de Cauchy conu0 reemplazado por u0ε = u0 + ε{ut = u∆u− γ|∇u|2 + kum;u(x, 0)ε = u0(x) + ε.(8)Volumen 45, Número 1, Año 2011ECUACIÓN PARABÓLICA DEGENERADA 21uε(x, t) ∈ C2,1(RN × R+), uε es solución clásica entonces uε es solución débildel problema (8), la cual verifica∫RN(u0(x) + ε)ψ(x, 0) dx+∫∫Ω(uε(x,t)ψt(x, t)−∇uε(x, t)∇ψ(x, t)−(1 + γ)|∇uε(x, t)|2ψ(x, t)− kumε (x, t)ψ(x, t))dx dt = 0, (9)para cualquier función ψ(x, t) ∈ C1,1(Ω)con soporte compacto.Por el principio del máximo se tiene que uε ≥ ε > 0, convirtiendo esteproblema en estrictamente parabólico. Siguiendo las ideas de [1], vemos que enla región uε ≥ ε > 0, se tiene queu(x, t) = ĺımε→0uε(x, t) = ĺımε→0wε. (10)Se observa que u(x, t) es solución débil del problema de Cauchy (1), (2).Definición 2. La solución débil de (1), (2) construida por el método de vis-cosidad es llamada la solución viscosa.Ahora para estudiar la regularidad de la solución viscosa del problema deCauchy (1), (2) utilizamos el método desarrollado por Lu y Quian [4].En este trabajo, además de la condición γ ≥√2N − 1, centraremos laatención en el exponente m, y estableceremos condiciones para m con el objetode conseguir los mismos resultados de regularidad obtenidos en [4].3. Estimativos del gradienteTeorema 1 (Teorema principal). Sean γ ≥√2N−1, N ≥ 8, α 6= −2, tales queα2+(γ+1)α+N2 ≤ 0 y u0 ∈ C(RN)∩L∞(RN), u0 ≥ 0 tal que∣∣∣∇u1+α/20 ∣∣∣ ≤M ,con M constante positiva. Si(i) Si k < 0, m > γ+14 +√(γ+1)2−2N4 , γ ≥ 3, o(ii) Si k > 0, 1 ≤ m < γ+14 −√(γ+1)2−2N4 , 3 < γ <N+44 ,entonces existe una solución débil u(x, t) del problema de Cauchy (1), (2) lacual satisface el estimativo |∇u1+α/2| ≤M .Demostración. Sea {uε}, una sucesión de soluciones clásicas del problema (8)la cual no es necesariamente monótona, pero tal que uε → u uniformemente ensubconjuntos compactos de Ω, entonces podemos probar que u es una soluciónRevista Colombiana de Matemáticas22 PEDRO ROMERO POLO & LEONARDO RENDÓN ARBELÁEZdel problema (1), (2) y u ∈ C(Ω), con tal que se pueda aplicar el Lema 6.1 [1],es decir, u(1)ε = uε, y aśı 0 ≤ uε ≤M en Ω yuε(x, 0)→ u0(x), en L∞Loc(RN ), cuando ε→ 0.Sea K ⊂ RN compacto. Entonces para cualquier n > 0 existe δn, εn, tn > 0 talque para cualquier x0 ∈ K, ε > εn,|u1ε(x, t)− u0(x0)| < n, para x ∈ Bδn(x0) y 0 ≤ t < tn.Esto origina estimativos uniformes para las derivadas de uε en Bδn(x0)× [0, tn).Por el Teorema de Arzela-Ascoli podemos extraer una subsucesión que con-verge uniformemente a una función u en cada cilindro Bδn(x0)× [0, tn).Ahora se dan los estimativos uniformes:w =12N∑i=1u2xi =12|∇u|2wt =(12N∑i=1u2xi)t=12N∑i=12uxi(uxi)t =N∑i=1uxi(uxi)t.(11)Como (uxi)t = (ut)xi , entonceswt =N∑i=1uxi(ut)xi =N∑i=1uxi[uxi∆u+ u(∆u)xi −(γ|∇u|2)xi+ (kum)xi]=N∑i=1uxi[uxi∆u+ u(N∑j=1uxixjxj)− γ(2w)xi + kmum−1uxi]=N∑i=1u2xi∆u+ uN∑i=1uxi(N∑j=1uxixjxj)− 2γN∑i=1uxiwxi + kmum−1N∑i=1u2xi= 2w∆u+ u(N∑i,j=1uxiuxixjxj +N∑i,j=1u2xi −N∑i,j=1u2xi)−2γN∑i=1uxiwxi + 2kmum−1w= 2w∆u+ u(∆u−N∑i,j=1u2xixj)− 2γN∑i=1uxiwxi + 2kmum−1w.Entonceswt = 2w∆u+ u∆u− uN∑i,j=1u2xixj − 2γN∑i=1uxiwxi + 2kmum−1w. (12)Volumen 45, Número 1, Año 2011ECUACIÓN PARABÓLICA DEGENERADA 23Seaz = f(u) · w → w = zf(u)−1. (13)Entonceswxi =(f−1)xiz + f−1zxi (14)wxixi =(f−1)xixiz + 2(f−1)xizxi + f−1zxixi . (15)Esto implica que∆w =N∑i=1wxixi =N∑i=1[(f−1)xixiz + 2(f−1)xizxi + f−1zxixi],(f−1)xi= −f−2f′uxi ,(f−1)xixi=(− f−2f−1uxi)xi=[(f−2)xif′uxi + f−2(f ′)xiuxi + f−2f′uxixi],(f−1)xixi= −[− 2f−3f′uxif′uxi + f−2f′′uxiuxi + f−2f′uxixi]= −2f−3f′2u2xi − f−2f′′u2xi − f−2f′uxixi=2ff′2u2xi − f2f′′u2xif4− f′f2uxixi=(2f′2 − ff ′′f4)fu2xi −f′f2uxixi .Luego∆w =N∑i=1{[(2f′2 + ff′′f4)fu2xi −f′f2uxixi]z+2(− f−2f′uxi)zxi + f−1zxixi}= f−1N∑i=1zxixi − 2f−2f′N∑i=1uxizxi+(2f′2 − ff ′′f4)fN∑i=1u2xiz −f′f2N∑i=1uxixiz.Revista Colombiana de Matemáticas24 PEDRO ROMERO POLO & LEONARDO RENDÓN ARBELÁEZEntonces∆w = f−1∆z − 2f−2f′N∑i=1uxizxi + 2(2f′2 − ff ′′f4)z2 − f′f2z∆u. (16)De (12), (13) y (16) se obtienezt = f′utw + f(u)wt = f′(u∆u− 2γw + kum)w + f(u)wt= f′(u∆u− 2γw + kum)w + f(u)[2w∆u+ u∆w − uN∑i,ju2xixj−2γN∑i=1uxiwxi + 2kmum−1w]= f′(u∆u− 2γw + kum)w + 2f(u)w∆u+ f(u)u∆w−uf(u)N∑i,ju2xixj − 2γf(u)N∑i=1uxiwxi + f(u)2kmum−1w= f′(u∆u− 2γw + kum)w + 2f(u)w∆u+ f(u)u∆w − uf(u)N∑i,ju2xixj−2γf(u)N∑i=1uxi[− f−2f′uxiz + f−1zxi]+ 2kmf(u)um−1w= f′u∆uf−1z − 2γf′f−2z2 + f′kumw + 2f(u)f−1z∆u+f(u)u∆w − uf(u)N∑i,j=1u2xixj + 2γf(u)f−2f′zN∑i=1u2xi−2γf(u)f−1f′zN∑i=1uxizxi + 2kmf(u)um−1f−1z.Entonceszt = u∆z −(2f−1uf′+ 2γ) N∑i=1uxizxi +(4uf′2f3− 2uf′′f2+2γf′f2)z2+(2∆u+ 2kmum−1)z − uf(u)N∑i,j=1u2xixj + kumf′f−1z. (17)Si escogemosf(u) = uα, (18)Volumen 45, Número 1, Año 2011ECUACIÓN PARABÓLICA DEGENERADA 25dado que,N∑i,j=1u2xixj ≥1N(∆u)2, (19)de (17), (18) y (19) se tiene quezt ≤ u∆z − 2(u−αuαuα−1 + γ) N∑i=1uxizxi+(4uα2u2α−2u3α− 2uα(α− 1)uα−2u2α+2γαuα−1u2α)z2+(2∆u+ 2kmum−1 + αkum−1)z − u · uα 1N(∆u)2= u∆z − 2(α+ γ)N∑i=1uxizxi+(4α2u−α−1 − 2α2u−α−1 + 2αu−α−1 + 2γαu−α−1)z2+2(∆u+ kmum−1 + αkum−1)z − uα+1 1N(∆u)2.Luegozt ≤ u∆z − 2(α+ γ)N∑i=1uxizxi + 2α(α+ γ + 1)u−α−1z2+2(∆u+ kmum−1 + αkum−1)z − uα+1N(∆u)2. (20)Para γ ≥√2N − 1, si α satisfaceα2 + (γ + 1)α+N2≤ 0, (21)entonces2α(α+ γ + 1)u−α−1z2 + 2z∆u− uα+1N(∆u)2= 2(α2 + (γ + 1)α)u−α−1z2 + 2z∆u− uα+1N(∆u)2≤ 2(− N2)u−α−1z2 + 2z∆u− uα+1N(∆u)2= −(Nu−α−1z2 + 2z∆u− uα+1N(∆u)2)Revista Colombiana de Matemáticas26 PEDRO ROMERO POLO & LEONARDO RENDÓN ARBELÁEZ≤ −(N2z2 − 2Nuα+1z∆u+ u2α+2(∆u)2Nuα+1)≤ − (Nz − uα+1∆u)2Nuα+1≤ 0, puesto que u ≥ 0, N > 0.Luego2α(α+ γ + 1)u−α−1z2 + 2z∆u− uα+1N(∆u)2 ≤ 0. (22)Por lo tanto, de (20) y (22) tenemoszt ≤ u∆z − 2(α+ γ)N∑i=1uxizxi + (2m+ α) kum−1z. (23)Antes de aplicar el principio del máximo, se buscan condiciones para que elcoeficiente (2m+ α)kum−1 sea negativo.1) Si k < 0 entonces 2m+ α > 0, es decir m > −α2 , y comoα ∈[− γ + 12−√(γ + 1)2 − 2N2,−γ + 12+√(γ + 1)2 − 2N2]entonces−α2∈[γ + 14−√(γ + 1)2 − 2N4,γ + 14+√(γ + 1)2 − 2N4].Aśı m > γ+14 +√(γ+1)2−2N4 , γ ≥√2N − 1. Si N ≥ 8 entonces γ ≥ 3 y porlo tanto m ≥ 1.2) Si k > 0 entonces 2m+α < 0 y aśı m < −α2 . Luego m <γ+14 −√(γ+1)2−2N4 ,γ ≥√2N − 1.Si N ≥ 8 entonces 3 ≤ γ ≤ N+44 y por lo tanto 1 ≤ m <γ+14 −√(γ+1)2−2N4Aplicando el principio del máximo en (23) se tiene |z|∞ ≤ |z0|∞.Volumen 45, Número 1, Año 2011ECUACIÓN PARABÓLICA DEGENERADA 27De (11), (13) y (18), si ei es el vector dirección, entonces∣∣∇(u1+α/2)∣∣2 = ∣∣∣∣∣N∑i=1(u1+α/2)xiei∣∣∣∣∣2=N∑i=1[(1 + α/2)uα/2uxi]2= (1 + α/2)2uαN∑i=1u2xi = (1 + α/2)2uα2w= (1 + α/2)22z = 2(1 + α/2)2z = βz,donde β = 2(1 + α/2)2. También∣∣∣∇(u1+α/2o )∣∣∣2 = βz0.Ahora tenemosβz ≤ β|z|∞ ≤ β|z0|∞ = β∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∇(u1+α/2o )∣∣∣2β∣∣∣∣∣∣∣∞∣∣∣∣∇(u1+α/2o )∣∣2∣∣∞ ≤ |M2|∞ = M2.Luego∣∣∣∣∇(u1+α/2o )∣∣2∣∣∞ ≤M2, entonces |∇u(1+α/2)|∞ ≤M . XPor este teorema, podemos fácilmente deducir algunas conclusiones acercade la suavidad de u si γ ≥√2N − 1, m ≥ 1.4. Continuidad Hölder de las soluciones viscosasCorolario 2. Bajo las mismas condiciones del teorema anterior, la soluciónviscosa u(x, t) de las ecuaciones (1) y (2) es Lipschitz continua con respectoa x.Considerando el problema (1) y (2), a partir de la prueba del teoremaprincipal se tiene la existencia de un α ∈ R con α2 + (γ+ 1)α+ N2 ≤ 0, α 6= −2tal que∣∣∣∇(u1+α2 )∣∣∣ ≤M en Ω, bajo las hipótesis γ ≥ √2N−1, ∣∣∣∇(u1+α20 )∣∣∣ ≤M ,y m ≥ 1.De la desigualdad α2 + (γ + 1)α+ N2 ≤ 0, se deduce que α < 0, ya queα ∈[− γ + 12−√(γ + 1)2 − 2N2, −γ + 12+√(γ + 1)2 − 2N2].Revista Colombiana de Matemáticas28 PEDRO ROMERO POLO & LEONARDO RENDÓN ARBELÁEZEn consecuencia, como α < 0 y tomando α 6= −2, el estimativo siguientetiene sentido∣∣∣∇(u1+α2 )∣∣∣ ≤M ⇐⇒ ∣∣∣∣(1 + α2 )uα2∇u∣∣∣∣ ≤M ⇐⇒ ∣∣∣1 + α2 ∣∣∣∣∣uα2 ∣∣∣∣∇u∣∣ ≤M.Entonces, como u ≥ 0,∣∣∇u∣∣ ≤ ∣∣1 + α2 ∣∣−1u−α2 M ≤ M1 en Ω, puesto que ues acotada y −α2 > 0.Por el teorema del valor medio, tenemos:u(x1, t)− u(x2, t) = ∇u(x1 + θ(x2 − x1), t)· (x1 − x2), para algún θ ∈ (0, 1).Luego,∣∣u(x1, t)− u(x2, t)∣∣ ≤ ∣∣∇u(x1 + θ(x2 − x1), t)∣∣|x1 − x2|≤M1|x1 − x2|, para todo (x1, t), (x2, t) ∈ Ω.Aśı se tiene que u(x, t) es Lipschitz continua en x.Ahora, aplicamos el resultado de Gilding [3], para conseguir la continuidadHölder en la variable t.Sea uε la solución clásica de (8) con uε ε C2,1(Ω)∩C(Ω)∩L∞(Ω). Se sabeque u(x, t) = ĺımε→0uε(x, t).Ahora, ∣∣∇(u0 + ε)1+α2 ∣∣ = ∣∣∣(1 + α2)(u0 + ε)α2∇u0∣∣∣=∣∣∣1 + α2∣∣∣(u0 + ε)α2 |∇u0|≤∣∣∣1 + α2∣∣∣uα20 |∇u0|=∣∣∣(1 + α2)uα20 ∇u0∣∣∣ = ∣∣∣∇(u1+α20 )∣∣∣ ≤M.Por lo tanto, aplicando el mismo procedimiento de la prueba del teoremaprincipal se tendŕıa que uε es Lipschitz continua respecto a la variable espacial,con constante M . Es decir,∣∣uε(x1, t)− uε(x2, t)∣∣ ≤M |x1 − x2|, para todo (x1, t), (x2, t) ∈ Ω. (24)Consideremos el operador parabólicoL(z) = uε∆z − γN∑i=1uεxi zxi + kum−1ε z − zt = 0; (25)Volumen 45, Número 1, Año 2011ECUACIÓN PARABÓLICA DEGENERADA 29entonces z = uε, satisface la ecuación (25) en Ω. Ahora, para cada R > 0 yT > 0, de (25) se tiene que,zt = uε∆z − γN∑i=1uεxi zxi + kum−1ε z, en B2R(0)× (0, T ],donde B2R(0) es la bola abierta de centro en 0 y radio 2R en RN .Nótese que uε ∈ C2,1(B2R(0)× (0, T ]).Ahora, uε es acotada en B2R(0)× (0, T ] y también lo es ∇uε. Luego, existeuna constante µ > 0 para todo (x, t) ∈ B2R(0)× (0, T ] tal queN∑i=1uε(x, t) = Nuε(x, t) ≤ µ,(N∑i=1(γuεxi)2) 12≤ µ, es decir∣∣γ∇uε∣∣ ≤ µ,y también∣∣kum−1ε (x, t)∣∣ ≤ |k| µm−1Nm−1 , m > 1 en B2R(0)× (0, T ].De (24), tenemos también la continuidad Hölder en la variable x, es decir,∣∣z(x1, t)− z(x2, t)∣∣ ≤M |x1 − x2|, para toda (x, t) ∈ B2R(0)× (0, T ].Luego, se cumplen todas las hipótesis de la primera parte del Teorema enGilding [3]. En consecuencia, podemos afirmar la existencia de δ = δ(µ,R) > 0y K = K(µ,R,M) > 0 tal que∣∣z(x, t)− z(x, t0)∣∣ ≤ K|t− t0| 12 ,para todo (x, t), (x, t0) ∈ BR(0)× (0, T ] con |t− t0| < δ.Dado que K es independiente de ε, haciendo ε↘ 0 obtenemos∣∣u(x, t)− u(x, t0)∣∣ ≤ K|t− t0| 12 ,para todo (x, t), (x, t0) ∈ BR(0)× (0, T ] con |t− t0| < δ.Es decir, la solución viscosa u es localmente Hölder continua respecto a lavariable temporal con exponente 12 .Referencias[1] Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, and Maura Ughi, Discontinuous Vis-cosity Solutions of a Degenerate Parabolic Equation, Trans Amer. Math.Soc. 320 (1990), no. 2, 779–798.[2] Michiel Bertsch and Maura Ughi, Positivity Properties of Viscosity Solu-tions of a Denerate Parabolic Equation, Nonlinear Anal. TMA. 14 (1990),no. 7, 571–592, MR 92a:35006.Revista Colombiana de Matemáticas30 PEDRO ROMERO POLO & LEONARDO RENDÓN ARBELÁEZ[3] B. H. Gilding, Hölder Continuity of Solutions of Parabolic Equations, J.Landon Math. Soc., 13 (1976), 103–106.[4] Yun Guang Lu and Liwen Qian, Regularity of Viscosity Solutions of a De-generate Parabolic Equation, Proc. American Mathematical Society 130(2001), no. 4, 999–1004.[5] Maura Ughi, Degenerate Parabolic Equation Modelling the Spread of anEpidemic, Ann. Mat. Pura Appl. 143 (1986), 385–400, MR 88g:35105.(Recibido en abril de 2010. Aceptado en mayo de 2011)Facultad de IngenieŕıaUniversidad del MagdalenaCarrera 32 N 22-08Santa Marta, Colombiae-mail: polopedro@gmail.comDepartamento de MatemáticasFacultad de CienciasUniversidad Nacional de ColombiaCarrera 30, calle 45Bogotá, Colombiae-mail: lrendona@unal.edu.coVolumen 45, Número 1, Año 2011

Regularidad de soluciones viscosas de una ecuación parabólica degenerada

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