La distribución Birnbaum-Saunders es importante como una distribución del tiempo de falla causada en elementos que están bajo cargas cíclicas. En este artículo se desarrollan estimaciones por intervalo para los diferentes parámetros de la distribución Birnbaum-Saunders vía verosimilitud relativa y se comparan con el procedimiento de estimación de máxima verosimilitud. También se ilustran las diferentes situaciones mediante la aplicación de dicha distribución en el análisis de un conjunto de datos apropiado. El método de simulación de Monte Carlo se utiliza para comparar el comportamiento de todos estos estimadores. Se evalúan tanto las probabilidades de cobertura de los Intervalos de Confianza (IC) como las longitudes de los mismos para diferentes tamaños muestrales.The Birnbaum-Saunders distribution is important as a failure time distribution to study fatigue failure caused under cyclic loading. In this work we developed interval estimators for the different parameters of the Birnbaum-Saunders distribution by means of the relative probability and we will compare them with other procedures using Monte Carlo’s method. The coverage probabilities of the confidence intervals as well as the lengths for different sizes samples are also evaluated

Correa, Juan Carlos

Pérez, Raúl Alberto

Spanish

Universidad Nacional De Colombia - Repositorio Institucional UN

Revista Colombiana de EstadísticaJunio 2008, volumen 31, no. 1, pp. 85 a 94Intervalos de confianza vía verosimilitud relativade los parámetros de la distribuciónBirnbaum-SaundersConfidence Intervals for the Parameters of the Birnbaum-SaundersDistribution via Relative likelihoodRaúl Alberto Péreza, Juan Carlos CorreabEscuela de Estadística, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia,Medellín, ColombiaResumenLa distribución Birnbaum-Saunders es importante como una distribucióndel tiempo de falla causada en elementos que están bajo cargas cíclicas. Eneste artículo se desarrollan estimaciones por intervalo para los diferentesparámetros de la distribución Birnbaum-Saunders vía verosimilitud relativay se comparan con el procedimiento de estimación de máxima verosimilitud.También se ilustran las diferentes situaciones mediante la aplicación de dichadistribución en el análisis de un conjunto de datos apropiado. El método desimulación de Monte Carlo se utiliza para comparar el comportamiento detodos estos estimadores. Se evalúan tanto las probabilidades de coberturade los Intervalos de Confianza (IC) como las longitudes de los mismos paradiferentes tamaños muestralesPalabras clave: distribución de Birnbaum-Saunders, simulación de MonteCarlo, verosimilitud relativa.AbstractThe Birnbaum-Saunders distribution is important as a failure time dis-tribution to study fatigue failure caused under cyclic loading. In this work wedeveloped interval estimators for the different parameters of the Birnbaum-Saunders distribution by means of the relative probability and we will com-pare them with other procedures using Monte Carlo’s method. The coverageprobabilities of the confidence intervals as well as the lengths for differentsizes samples are also evaluated.Key words: Birnbaum-Saunders distribution, Monte Carlos’s method, rel-ative likelihood.aProfesor asistente. E-mail: raperez1@unalmed.edu.cobProfesor asociado. E-mail: jccorrea@unalmed.edu.co8586 Raúl Alberto Pérez & Juan Carlos Correa1. IntroducciónLa distribución Birnbaum-Saunders (BS) fue propuesta por Birnbaum & Saun-ders (1969b), como una distribución del tiempo de falla para fatigas causadas bajocargas cíclicas, en que se asumió que la falla se debía al desarrollo y crecimientode una fractura dominante.Una derivación más general de dicha distribución fue dada por Desmond (1985),basada en un modelo biológico. Desmond también fortaleció la justificación físicapara el uso de esta distribución relajando las suposiciones hechas por Birnbaum ySaunders. Desmond investigó las relaciones entre la distribución BS y la distribu-ción inversa gaussiana.La función de distribución acumulada (FDA) de una variable T distribuida BScon parámetros α y β puede ser escrita comoFT (t; α, β) = Φ[1α{(tβ)1/2−(βt)1/2}], 0 < t < ∞, α, β > 0 (1)donde Φ(·) es la FDA de la normal estándar, y su función de densidad de proba-bilidad (FDP) esfT (t; α, β) =12√2παβ[(βt)1/2+(βt)3/2]×exp{− 12α2(tβ+βt− 2)}, t > 0, α, β > 0 (2)Los parámetros α y β son llamados parámetros de forma y escala, respectivamente.Se sabe que la función de densidad de probabilidad de la distribución BS esunimodal y aunque la tasa de azar no es una función creciente de t, la tasa mediade azar es cercanamente una función no-decreciente de t (Mann et al. 1974).Los estimadores de máxima verosimilitud (EMV), fueron discutidos original-mente por Birnbaum & Saunders (1969a), y sus distribuciones asintóticas fueronobtenidas por Engelhardt et al. (1981). Aunque, los EMV tienen varias propiedadesóptimas, se necesita resolver una ecuación no lineal en β para obtener sus valores.Para este propósito, Birnbaum y Sunders sugirieron algunos esquemas iterativospara resolver la requerida ecuación no lineal.Tampoco está disponible la distribución exacta de los EMV. Más aún, paraconstruir los intervalos de confianza de los parámetros desconocidos α y β, debeemplearse la distribución asintótica de los EMV. Sin embargo, no se conoce cómose comportan estos intervalos de confianza asintóticos en el caso de tamaños demuestras pequeñas. Incluso los estimadores mediante el método momentos con-vencionales también tienen una dificultad debido a que no siempre existen, y aúnsi existieran, podrían no ser únicos.En este artículo se realizará una comparación de los estimadores de los pará-metros de la distribución Birnbaum-Saunders vía verosimilitud relativa con losestimadores de dichos parámetros mediante el método de máxima verosimilitud.Revista Colombiana de Estadística 31 (2008) 85–94Intervalos de confianza para la distribución Birnbaum-Saunders 872. Estimadores de máxima verosimilitudDada una muestra aleatoria t1, t2, . . . , tn de observaciones de tamaño n de ladistribución BS con función de densidad de probabilidad f(ti) dada por (2), setiene que la función de verosimilitud relativa (FVR) está dada porL(α, β) =n∏i=1f(ti) = (αβ1/2)−nn∏i=1(ti + β) exp{− 12α2βn∑i=1(ti − β)2ti}(3)de donde el log de la FVR está dado porl(α, β) = −n log(α) − n2log(β) +n∑i=1log(ti + β) −12α2n∑i=1[tiβ+βti− 2](4)Para hallar los EMV, se resuelve el par de ecuaciones simultáneas dado porS(α, β) =[S1(α, β)S2(α, β)]=[∂l∂α∂l∂β]=[00](5)Para que exista un máximo relativo en (α̂, β̂), se debe cumplir en este caso quela matriz información debe ser definida positiva, es decirℑ(α, β) =[ℑ11(α, β) ℑ12(α, β)ℑ12(α, β) ℑ22(α, β)]=[− ∂2l∂α2 −∂2l∂αβ− ∂2l∂αβ −∂2l∂β2](6)evaluada en (α̂, β̂), ℑ(α̂, β̂), debe ser definida positiva, lo cual quiere decir queℑ̂11 > 0, ℑ̂22 > 0 y ℑ̂11ℑ̂22 − ℑ̂12 > 0, con ℑ̂ij = ℑij(α̂, β̂).Luego de derivar (4) con respecto a α e igualar a cero, se obtiene que α̂(β) estádado por:α̂ =[sβ̂+β̂r− 2]1/2(7)Para hallar β̂, se deriva nuevamente (4) con respecto a β y, luego de igualar acero, se divide todo entre n y se resuelve para β. Se obtiene la ecuaciónβ2 − β[2r + K(β)] + r[s + K(β)] = 0 (8)donde la media muestral y la media armónica están definidas pors =1nn∑i=1ti, r =[1nn∑i=1t−1i]−1(9)respectivamente, y la función media armónica K(x) se define comoK(x) =[1nn∑i=1(x + ti)−1]−1, para x ≥ 0 (10)así, que r = K(0).Revista Colombiana de Estadística 31 (2008) 85–9488 Raúl Alberto Pérez & Juan Carlos CorreaEl EMV de β, denotado por β̂, puede ser obtenido como la única raíz positivade la ecuación (8).Como la ecuación dada en (8) no es una ecuación lineal en β, se necesita usarprocesos iterativos para resolver dicha ecuación para β̂. Birnbaum y Saunderspropusieron dos procesos iterativos (uno simple y uno complejo) para calcular β̂de la ecuación dada en (8), pero se notó que el proceso simple funciona muy bienpara α pequeño (digamos < 12 ), y que no puede trabajar bien para todo α grande(digamos α > 2), mientras que el proceso complejo no trabaja en ciertos rangosdel espacio muestral. En este trabajo se utilizó el método de Newton-Rapson parael cálculo de los EMV.Engelhardt et al. (1981) mostró que la distribución conjunta asintótica de α̂ yβ̂ es normal-bivariada y está dada por[α̂β̂]∼ N2[[αβ],[α22n 00 β2n[0.25+α−2+I(α)]]](11)dondeI(α) = 2∫∞0{[1 + g(αx)]−1 − 0.5}2dφ(x)yg(y) = 1 +y22+ y(1 +y24)1/2Es interesante observar que α̂ y β̂ son asintóticamente independientes entre sí.Los intervalos de confianza asintóticos de α pueden obtenerse fácilmente de (11) yel intervalo de confianza asintótico de β para un α dado también puede obtenersede (11).Para hallar la solución de (8) mediante el método de Newton, se procedió dela siguiente forma.Sea g(β) = β2 − β[2r + K(β)] + r[s + K(β)]. Se trata de resolver la ecuacióng(β) = 0, para la cual su ecuación iterativa esβi+1 = βi −g(βi)g′(βi)(12)dondeg′(β) = (β − r)[2 − K ′(β)] − K(β) (13)con K(β) definido en (10), yK ′(β) = K2(β)C(β) (14)conC(β) =1nn∑i=1(β + ti)−2 (15)luego, de esta parte se obtiene la solución de (8) para β, que es el EMV.Revista Colombiana de Estadística 31 (2008) 85–94Intervalos de confianza para la distribución Birnbaum-Saunders 89Para obtener estimadores EMV conjuntos para (α̂, β̂) empleando el método deNewton-Rapson, se procede a resolver mediante iteraciones el siguiente sistema deecuaciones: [α̂β̂]=[α0β0]+[ℑ11 ℑ12ℑ12 ℑ22]−1 [S1S2](16)donde S1(α, β), S2(α, β) son las derivadas parciales de l(α, β) con respecto a α yβ, respectivamente, y ℑij(α, β) están evaluadas en un valor inicial (α0, β0), conℑ11(α, β) = −∂2l∂α2= − nα2+3α4n∑i=1[tiβ+βti− 2]ℑ22(α, β) = −∂2l∂β2= nC(β) − n2β2+nsα2β3ℑ12(α, β) = −∂2l∂α∂β=nα3β2[s − β2r](17)y donde C(x) está definida por (15).Luego la ecuación de iteración del método de Newton-Rapson es[α̂β̂]=[α0β0]+− nα2 +3α4n∑i=1[tiβ +βti− 2]nα3β2[s − β2r]nα3β2[s − β2r]nC(β) − n2β2 +nsα2β3−1×−nα +1α3n∑i=1[tiβ +βti− 2]nK(β) −n2β +ns2α2β2 −n2α2rComo valores iniciales para (α0, β0) se pueden utilizar los estimadores obtenidosmediante el método de los momentos para α y β, dados porβ̂ =T1 + 12 α̂2yα̂2 =2(A − B) ± 2T√B + 3A5B − A (18)donde B = T2y A =(n−1n)S2, con T y S2 media muestral y varianza muestralde la variable T distribuida BS.3. Verosimilitud relativa y contornos deverosimilitud para (α, β)La función de verosimilitud relativa (FVR) conjunta de (α, β) está definida porR(α, β) =L(α, β)L(α̂, β̂) (19)Revista Colombiana de Estadística 31 (2008) 85–9490 Raúl Alberto Pérez & Juan Carlos Correaclaramente, 0 ≤ R(α, β) ≤ 1 y R(α̂, β̂) = 1. La verosimilitud relativa de un par devalores (α0, β0) esR(α0, β0) =L(α0, β0)L(α̂, β̂) (20)y se interpreta de la siguiente forma: si R(α0, β0) es cercano a cero, quiere decir queel par de valores (α0, β0) es inviable para estimar (α, β), ya que existen otros paresde valores de los parámetros para los cuales los datos son mucho más probables.La FVR conjunta, R(α, β), organiza los pares de valores (α, β) de acuerdo con suviabilidad a la luz de los datos.Ahora, el log de la FVR conjunta de α y β está dado porr(α, β) = log R(α, β) = logL(α, β)L(α̂, β̂) = l(α, β) − l(α̂, β̂)(21)donde l(α, β) está dada por (4).Una región de verosimilitud del 100p % para (α, β) es el conjunto de valores delos parámetros (α, β) tales que R(α, β) ≥ p, o equivalentemente r(α, β) ≥ log(p).La curva R(α, β) = p, que forma la frontera de la región de verosimilitud, se llamacontorno de verosimilitud del 100p % para (α, β).4. Verosimilitud relativa máximaPara realizar estimaciones acerca de un solo parámetro, α o β, se utiliza elenfoque de verosimilitud relativa máxima.Si solo estamos interesados en la información concerniente al parámetro β,entonces se utiliza la función de verosimilitud relativa máxima de β, está dada porRmáx(β) = máxαR(α, β) = R(α̂(β), β) =L(α̂(β), β)L′(α̂, β̂) (22)donde α̂(β) es el EMV de α dado β, el cual se puede hallar resolviendo ∂l∂α = 0.El log de la FVR máxima esrmáx(β) = log R(α̂(β), β) = l(α̂(β), β) − l(α̂, β̂)(23)De esto se obtiene que un intervalo de verosimilitud máximo del 100p % para βes el conjunto de todos los valores de β tales que Rmáx(β) ≥ p, o equivalentementermáx(β) ≥ log(p).Ahora, remplazando α̂(β) dado en (7), en la expresión dada en (4), se tienequel(α̂(β), β) = −n2log[sβ+βr− 2]− n2log(β)+n∑i=1log(β + ti) −12(sβ +βr − 2)n∑i=1(tβ+βt− 2)(24)Revista Colombiana de Estadística 31 (2008) 85–94Intervalos de confianza para la distribución Birnbaum-Saunders 91y a partir dermáx(β) = l(α̂(β), β) − l(α̂, β̂)(25)resolviendo la desigualdad, rmáx(β) ≥ log(p), se obtiene un intervalo de verosimili-tud relativa máximo del 100p % para β. Similarmente, la función de verosimilitudrelativa máxima de α está dada porRmáx(α) = máxβR(α, β) = R(α, β̂(α))=L(α, β̂(α))L(α̂, β̂) (26)y el log de la FVR máxima esrmáx(α) = log R(α, β̂(α))= l(α, β̂(α))− l(α̂, β̂)(27)Un intervalo de verosimilitud relativa máximo del 100p % para α es el conjunto detodos los valores de α tales que Rmáx(α) ≥ p, o equivalentemente rmáx(α) ≥ log(p).5. Ejemplo de aplicaciónEn este trabajo, se utilizó un conjunto de datos considerados por Birnbaum& Saunders (1969a) sobre la fatiga de cupones de aluminios 6061-T6, cortadosparalelamente a la dirección de rodamiento y oscilaron a 18 ciclos por segundo.En la tabla 1 se tienen las 101 observaciones (tiempos de vida en ciclos ×10−3)tomadas con una tensión máxima por ciclo de 31000 psi.Tabla 1: Tiempos de vida para 101 especímenes de aluminio.70 121 134 152 100 124 138 157 107 133 108 130 142166 113 131 144 196 119 139 120 134 151 99 124 137157 105 128 148 130 142 164 112 131 142 174 116 132159 134 151 97 124 136 157 104 128 139 108 141 163112 131 142 170 114 132 146 120 149 96 123 136 156104 124 138 158 129 163 109 131 142 168 114 132 145108 134 90 121 134 155 103 124 138 157 120 141 109130 142 166 114 131 144 212 129 148 162A continuación se presentan los resultados obtenidos.Como valores iniciales para hallar los EMV de α y β se utilizaron los estima-dores obtenidos por el método de los momentos cuyos valores, estimados junto conlos EMV, están dados en la tabla 2. En la tabla 3 se tienen intervalos de confianzaasintóticos del 90, 95 y 99 % para α y β, al igual que sus respectivas longitudes.De la gráfica de contornos de verosimilitud conjunto (figura 1), se tiene que losintervalos de confianza aproximados vía verosimilitud relativa, del 90, 95 y 99 %(o intervalos de verosimilitud máxima del 10, 5 y 1 %) para α y β están dados enla tabla 4. De la figura 2 se tiene que los intervalos de confianza aproximados del90, 95 y 99 % (o intervalos de verosimilitud máxima del 10, 5 y 1 %) para β estándados en la tabla 5.Revista Colombiana de Estadística 31 (2008) 85–9492 Raúl Alberto Pérez & Juan Carlos CorreaTabla 2: Estimadores de los momentos y EMV para α y β.ParámetrosEstimadores delos momentosEstimadores demáx. verosimilitudα 0.1657993 0.1703847β 131.9194795 131.8188000Tabla 3: Intervalos de confianza asintóticos del 90, 95 y 99 % para α y β.Nivel deconfianzaI de confianzaasintóticos para αLongitud delintervaloI de confianzaasintóticos para βLongitud delintervalo90 0.1506641 0.1901053 0.03944126 128.1557 135.4818 7.3260995 0.1468878 0.1938816 0.04699384 127.4543 136.1833 8.7289799 0.1395030 0.2012664 0.06176330 126.0826 137.5550 11.47236Tabla 4: Intervalos de confianza aproximados vía verosimilitud relativa del 90, 95 y 99 %(o I.V. máxima del 10, 5 y 1 %) para α y β.Prob. de coberturao nivel de confianzaI de confianzaaproximados para αLongitud delintervaloI de confianzaaproximados para βLongitud delintervalo90 0.1475 0.1999 0.0524 127.05 136.75 9.7095 0.1447 0.2046 0.0599 126.38 137.49 11.1199 0.1395 0.2145 0.0750 125.08 138.95 13.87Tabla 5: Intervalos de confianza aproximados del 90, 95 y 99 % (o I.V. máxima del 10,5 y 1 %) para β.Nivel I de Confianza para β Longitud del Intervalo90 127.05 136.75 9.7095 126.38 137.49 11.1199 125.08 138.95 13.876. ConclusionesAnalizando los resultados anteriores se puede concluir:1. Los intervalos de confianza asintóticos tienen menor longitud que los inter-valos de confianza aproximados, lo cual era de esperarse ya que los intervalosaproximados se calculan a partir de la región conjunta de verosimilitud paraα y β.2. Los intervalos de confianza asintóticos contienen valores con mayores verosi-militudes relativas que los intervalos aproximados vía verosimilitud relativa,lo cual se debe a la forma en la que fueron calculados estos últimos.3. La probabilidad de cobertura de los intervalos de confianza aproximadosvía verosimilitud relativa es mayor que la probabilidad de cobertura de losintervalos de confianza aproximados.Revista Colombiana de Estadística 31 (2008) 85–94Intervalos de confianza para la distribución Birnbaum-Saunders 93αβ0.14 0.16 0.18 0.20 0.22125130135140125.08138.95126.38137.49127.05136.750.13950.21450.14470.20460.14750.1999Figura 1: Contornos de verosimilitud conjuntos del 10, 5 y 1% (o regiones de confianzadel 90, 95 y 99 %) para α y β.126 128 130 132 134 136 138−4−3−2−10βrmáx(β)0.10.050.01127.05136.75126.38137.49125.08138.95Figura 2: Función de verosimilitud relativa máxima para β.Revista Colombiana de Estadística 31 (2008) 85–9494 Raúl Alberto Pérez & Juan Carlos CorreaAgradecimientosEste trabajo se ha estado realizando con el apoyo de la vicedecanatura deinvestigación de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional, sede Medellín,y la Escuela de Estadística de dicha Facultad, por lo cual les agradecemos su valiosacolaboración. Además, agradecemos a los árbitros designados para la revisión delartículo por las sugerencias y comentarios, los cuales fueron tenidos en cuenta parala versión final del mismo.[Recibido: octubre de 2007 — Aceptado: mayo de 2008]ReferenciasBirnbaum, Z. W. & Saunders, S. C. (1969a), ‘A New Family of Life Distribution’,J. Applied Prob. 6, 319–327.Birnbaum, Z. W. & Saunders, S. C. (1969b), ‘Estimation for a Family of LifeDistributions with Applications to Fatigue’, J. Applied Prob. 6, 328–347.Desmond, A. F. (1985), ‘Stochastics Models of Failure in Random Environments’,Canad. J. Statis. (13), 171–183.Engelhardt, M., Bain, L. J. & Wright, F. T. (1981), ‘Inference on the Parame-ters of the Birnbaum-Saunders Fatigue Life Distribution Based on MaximumLikelihood Estimation’, Technometrics 23(3), 251–256.Mann, N. R., Schafer, R. E. & Singpurwalla, N. D. 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