Este artículo se divide en tres partes. La primera parte es un repaso rápido de las ideas y la terminología de la teoría de caracteres de grupos finitos. En la segunda parte se explica lo que es un hipergrupo y se presenta la teoría básica

Roth, Richard L.

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130letill de' '\!atematicasVol. VHf. p p . /OJ.JlOHIPERGRUPOS DE CARACTERES DE GRUPOS FINITOS (*)RICHARD L. ROTHEste articulo se divide en tres partes. La primera parte es un repaso rapido delas ideas y la terminologia de la teoria de caracteres de grupos finitos. En la se-gunda parte se explica 10 que es un hipergrupo y se presenta la teoria basic a. Enla tercera parte se da una idea de las aplicaciones del concepto de hipergrupo ala teoria de caracteres.1, Sea G un grupo finito y sea v un espacio vectorial de dimension finita 50-bre el cuerpo q: de los numerus complejos.Definicion .. Una representacion de G en v es un homomorfismo T de G enel grupo de aplicaciones regulares (no sinqulare s) de v. Si V no tiene subes-pacios invariantes por el conjunto de aplicaciones 1 T(g): g E G I se dice quela representacion T es irreducible 0 En general, tenemos elTeorema " V =c vJ EIlv2 $ ... Ell Vs: Vi invariante para i = 1,2 ... , .. s ;es decir, que se puede escribir v como una sl~ma directa de subespacios in'variantes vi donde cada vida una representacion irreduc ible Ti de G .(De modo que las representaciones irreducibles forman los blocr~es fundamen,tales de la teoria ).(*) Este articulo e s el t e xro de la conferencia di ct ad a por el au to r en eliV Co lo quio Co-lombiano de Maremat ic a s, 1\J. del E.101Definicion; A cada representac lon T le asociamos una funcion X de G a(: Ilamada el caraeter de T: X (g) -;0 Traza de T (g) Oomando una base de \I,se obtiene una matriz para T(g} , se calcula luego la traza de T(g} , es decir,lasuma de los elementos en el diagonal). Definimos : dimension de X z: dimensionde T -= dimension de v . Si T es irreducible, decimos que X 10 es tambien .En caso contrario. si T se descompone como en el T eorema I, entonces X '"t/J] t t/J2 + ••• + t/J . don de t/J. es el caracter de T. (decimos entonces queS t l!/Ji es una cOl"'lpone'1te de t/J).Usaremos los caracteres en lugar de las representaciones ; el caracter deter-mina Ia representaclon salvo equivalencias.Ejemplo: Sea v un escacio de dimension 1 y sea T Z (g) '" identidad, para to-do s E-G. La representacion TJ se llama la representacion unidad. Sea t/Jzel caracter de T1: XI es el caracter unidad r Xl (g) '" J. para todo s Eo G 1.T eorema 2. G tiene tin numero {inito de caracteres irreducibles. -Consideremos ahora el ccnjunto de caracteres irreducible.s G "'j /1' X2'''' Xr I.Subsiste entonces el siguiente teorema:T eorema 3. Si c es un grupo abeliano finito entonces los caracteres irred',/ci -bles de a son todos de dimension uno. G forma 1m grl,/pO Ilamado "el dual",bajo la nNltiplicacion (Xl X2 (g) z: XI (g) X 2 (g) yademas c ;;: (; .En este caso (; tiene muchas propiedades interesantes, Y la teoria es seme-jante a la teoria de duales para espacios vectoriales. La teoria de G para c fi-nito y abeliano fue desarrollada en el siglo XIX como parte de la teorla de los nu-Illeros. Frobenius empezo la teoria de caracteres de los grlJpos finitos, a fines delsiglo XIX, para generalizar 10 anterior. Si (, no es abeliano, (; no es un grupo.102Este articulo se dedica a explorar un poco mas la estructura.de GSean ljJ 1 un c aracter de G. con representac ion u t : en eI espac in v 1 •Y ljJ 2 un caracter de G. con representac ion u2 en eI espac io v 2' Entoncesexiste unarepresentaclon U1 x ": de G en Vl x v2: ui , x U2) (g) =U 1 (g) x U2 (g). [En la terrninoloqia de las matrices esto se llama el prcduc-to de Kronecker]. Y el caracter correspondiente de U 1 »; U2 es ljJ 1 x ljJ2'As! el producto de caraeteres es un caraeter (pero el producto de caracteres i rre-ducibles no es siempre irreducible) .rSi x·.x.EG.entonces xx -'" X. ,-.k nk k't J t J k"'-lteros no negativos, porque si Tk corresponde a x. X,t Jrepresentaciones irreducib Ies (vease T eorema 1), aqrupando se Ias representac io-donde los n k son en-y es la suma directa denes equivalentes.Un teorema interesante y clasico referente al producto de caractereses el si-guiente :T eoremo 4 (Burnside) Si X corresponde a una representacionl1no a uno, en-tonces todo caraeter X i irreducible aparece como componente de alg'ma po-tencia x" de x-Para estudiar los componentes de un caracter es ut!l definir el producto esca-lar. Sean x . ljJ caracteres1< x . ljJ > L X ( g) • ljJ (g)o(G) gEGrTeoremo 5. < X, . X,') = 0.. . Si X= Ln. X entonces ( ) = nt,.'J tJ i = 1 t i .. X, Xi[ Es decir, que < X, Xi> ') 0 si y solo si, Xi es componente de xl,Definicion: Si X es un caracter. existe otro caracter X; X (g) = X (g). pa-103ra todo s ~ G, donde designa x (g) el conjugado complejo de X (g). X seII ama el caracter conjugado .Lema 6 : <XA.t/;>= <x.At/;> (La demostraci6n es inmediata).Corol ario : Xl es l,Ltla componente de X X donde X puede ser cualq',Lier ca-racter.rsi X = Li = 1< x. x > ~ 2" QL II. ,;IDemostracion: (- '>• X x, Xl /Una referencia para el material de esta primera parte seria : Representacionesde Grupos Finitos, por Richard Roth, Monogratla 8, de la Revista Colombiana deMatematicas (Universidad Nacional de Colombia, Bogota, D. EJ, 1969 .2. Ahora, en la segunda parte, veremos que son los hiperqrupos.En la decada de los alios treinta, varios matematicos empezaron el estudioaxiornatico de las estructuras algebraicas que se parec en a los qrupos perc en lascuales el producto de dos elementos es un subconjunto en lugar de ser un solo ele-mento. Varies sistemas de axiomas se usaron, imitando los varios modes de escri-bir los axiomas de grupo. Estas estructuras se Ilamaron hipergmpos(o multigru-pos). [Una buena referencia es : "The theory of multigroups", by Drescher andOre, Amer. J. Math. 60(938), 705 -733. Una aplicacidn de esta teoria general fuela de dar una estructura para el conjunto de coclases GIH donde .G es grupoy H es subgrupo que no es normal; perc el concepto mas restringido de hipergru-po canonico que veremos pronto no sirve para esto.1 Los hipergrupos se estu-diaron mucho en las decadas de los afio s treinta y cuarenta, pero luego permane -cieron casi olvidados, posiblemente porque la teoria general result6 inelegante ya104que se necesitaban demasi adas cond iciones y definiciones especiales en los teo-remas.En 1958, Helqason ut il izo la idea de hipergrupo para estudiar representacionesde grupos compactos y esta idea fue desarrollada por litis (1968), encontrandose ,en forma disfrazada, en el libro" Abstract Harmonic Analysis, II"de Hewitt y Ross(1971L N inguna de estas lilt imas persona s se peocupo per Ia teori a axi ornati ca delos afios tre inta.AI autor Ie intereso desarrollar estas ideas para grupos finitos (de hecho uncaso mas especial que los grupos compactos) y encontro que si se escoge un sis-tema fuerte de axiomas para hiperqrupos. se consigue un sistema en el cual es fa-cil enunciar y demostrar los teoremas basicos. ademas de que es un sistema quesirve para los ejemplos que se queria estudi ar. EI autor llama a estas estructu -ras "hipergrupos reversibles abelianos". Pero desoues encontro unos articulosenlos "Comptes Rendus" (de la Academia Francese) escritos por un matemati cogriego II amado Mittas 09(9), donde escoqia un sistema de axiomas equivalente yusaba el nombre de "hlnerqruoo cancnico". Aqui se adoptara el nombre usadoporet. t:1 motivo original 'de las investigaciones de Mittas no tenia nada que ver congrupos sino que estaba relacionado con una teoria de valuaciones de cuerpos de-bida a Krasner.Definicion: Sea II un conjunto no vacio. A cada par l a.b) de elementos de IIIe asignamos un subconjut to no vacio de II escrito abo Es decir, ab S H .ab t (!J (el hiperprodlKtO). Anora si S C /I. Tell y a Ell. entonces.s> U I as I 5 ~ \ I ' Y ST"" U I 51 is E S , IE- T I, Decimos entonces IIes hipergrupo canonico si se cumplen los axiomas siguientes1 ab :: ba para todo a. b E /I (conmutatit:idad).1052 i ab) , ~ a (In) para todo a.b ... (' IJ (asocialividad)3. Existe .C· E H tal que «a : I a I todo a ~ II4 Para to do ar H existe un elernento d,10 IJ (el im.erso ) con la propiedadsi qui entePara b.c:~ 1J. si ,ea/; entonces /;~a-1c (EI axioma de reversibi iidad)Lema 7;' i) e es unicoii) e ~aa,1iii) «! es unicoEjemplos: 1) Cualquier grupo abeliano.2) Sea JR~ los numeros reales no negativos, definirnos el hiperproducto\; yI x + y ; I x- y I I. "e" = 0 y <s: 1 = .\ , Notese que .\'~ 1" I 2.\' . 0 L3) Sea H cualquier hipergrupo c anonico Cincluso puede ser cualquier grupo abe-liano, por ejemplo). Si G es un grupo de automorfisrnos, se pueden formar lasorbitas de transitividad bajo la accion de G, Ei producto de orbitas es unionde 6rbitas 10 que ofrece un hipergrupo y resulta entonces que tenernos otro hi--perqrupo canonlco. [Para un ejemplo de esta construccion vease .KG en latercera parte de la conferencia 1 .Hay otros ejemplos interesantes perc pasamos a los dos ejemplos que me in -teresan mas.4) Sea G un grupo ; G sera el conjunto de clases conjugadas. Si ci. Cj EO G,entonces se puede dernostrar que C. C. es union de clases y as! tenernos1 Ilas clases contenidas enmodo que Gc "C =.i 'jes h ipergrupo c ano ni co, con ident idadCiCj, Dee I. EIun h iperproductoinverso de una clase C. es la clase de los inversos de los1106elementos de ci·5. Sean' G un grupo finito, G =' 1 Xl r x2 r • , " xr I el conjunto de caracteresirreducibJes, con X el caracter unidad. Como vimos antes v X :: " X1 I\.i j ,,",11k, k'Sea Xi * Xj :: ! Xk E G : 11k > 0 I el conjunto de los caracteres irreduciblesdistintos que son componentes de Xi' X, ' Este es el hiperproducto. Se ve-Jrifican los axiomas :(X. * X.J * Xh :: X, * ( x. * Xh) :: el conjunto de componentes irreduciblest J t Jde X. X. X como X X. :: X. X ' entonces X - ft J h I J J i Xi * j - Xj * Xi,' Y 1-nalment~, Xl e porque Xl Xi:: Xi .Examinando el axioma 4 se ve que X. es el inverso de X.' Si X EX * Xt l k i jentonces Xkes una componente de X. X.' de modo que <Xk' X. X. > ~.0 ,. t J . t JDe ahi , por ellema 6, (X ·X., X.) ~ 0 Y X. es una components de xkX ..k t J J tEs decir, queX. * Xl ky se cumpre Ia reversibi I idad,Regresamos a la teoria abstracta de hipergrupos canonicos. Lo bello de los hi-pergrupos c anonicos es que uno puede construir siempre hipergrupos cocientes.Definicion: Un sllbhipergrupo del hipergrupo canonico H es un subconjunto Ntal que e ':' N Y N es hipergrupo (canonicol con el mismo hiperproducto (esce-rrado, etc, ) .Teorema 8: Si N es S'1bhipergrupo de H entonces las coclases hN formanuna particiOI1 de H, escrita H/N Sidefinimos elhiperproducto (hNh(hl'''J) ::e 1 cOI1J1mto de coclases cOl1tcl1idas en h NhI'" h hI N, entonces H/ N es107un un hipergrupo canonico>3 En esta tercera parte investigamos un poco mas el usa del concepto de hiper-grupo en el estudio de los caracteres de un grupo finito G. Como ya hemos vis-,,~to, (; es hiperqrupo. Debe notarse 10 siguiente : si X E G IK con K <l G en-.... .,,-.,..... ~ ,.,.tonces X ~ G . de modo que G/ K ';; G Y G / K es subhipergrupo de G,T eorema 9 (H e Igason, lit i s, etc.) Existe una correspondenc ia biunfvoca entre eIconjunto de subgrupos normales K de G y los subhipergrupos de G dadapar K -' G/ K. (Helgason e Iits habian demostrado este teorema en la si-tuacion mas general de grupos compactos usando varios teoremas de analisi s:en el caso especial de grupos finitos se necesita principal mente. el teorema deBurnside ( T eorema 4 ) ) ,En el caso que G sea abeliano se cumple el elegante teorema c/GlK ~K.Veamos ahara la qener aliz acion al caso en que G no es abeliano. Sean~K~'1 G. ljJ'::K. gE-G.-Def;n;c.;on: 1/(/11 co 1J(g·1 kg) para todo kE K. Se puede demostrar que ljJg E K.ASIIos elementos de G actuan sobre K por medio de la coniuqacicn y obte-nemos una particion de K en G 6rbitas. Esta particion la indico por KG'Teorema 10 (Clifford, 1938). Si X E G y ljJ es una componente irreduciblede x /K (/a restnccidn de x a K) entonces x/ K = m L ljJg , sumando sobrelos ., conjl,lgados" ljJg distintos de ljJ : m es un entero positivo .Asi a cada...X (; G Ie hemos asociado un elemento de KG: X -> IljJg I .gEGcorrespondentambiin aSi x·- I ljJ s I ,el conjunto de caraeteres de c' que...-....ljJg I sera precisamente la coclase x * ( G I K) .Lema 11 :108Asi tenemos una correspondencia biunivoca entre c/ elK y K c .Teorema 12. EI producto de 10.5 e-orbitas de K es union de e - orbitas. Con"..este hiperproducto, K e se convierte en un hipergrupo canonico, que es ISO-A I /'-"morfo a c/ c/« conforme a la correspondencia ya mencionada.[Una correspondencia biunivoca T entre hipergrupos es un isomorfismo sic E ab ,~;, T t c) Eo T (a) • T (b) 1.Veremos ahora un pequefio teorema que es una apl icacion del teorema deBurnside. Primero debemos recordar que si c es un grupo y K subconjunto novaeio entonces K sera un subgrupo de K si : 1. x, y E K =i:o x Y f- K .. 2 .2. x E K ...,;-. x-I E K , Pero si G es un grupo finito solamente hay que verifi-car 1. para que K sea un subgrupo.Lema 13. Si H es hipergrupo canonico entonces un subconjunto no vaclo s essubhipergrupo si1,: x.yE-S~xyCS; 2.:xC:-S.='x-I(~SAhora , aunque H sea finite, la condiclon 1. para S no es suficiente para ga-rantizar que S sea subhipergrupo. Pero tenemos 10 siguiente :~Teorema 14: Si G es grupo finito y AI s: e . AI i ¢ entonces AI es subhi-pergrupo si, y solo si, t/J. X ~ AI ='> X 0; t/J s:; AI •Demostracic5n;· Es real mente una sencilla apl ic acion del teorema de BurnsideCTeorema 4). Hay que ver que la clausura implica la existencia de los inversos .Sea X -':",11. Sea K el nucleo de una ropresentactrin T correspondiente a x·r es una reoresentacion uno a uno de c/« . ASI el teorema 4 dice que todo ca-. m d Iracter de (;/K aparece como componente de alguna potencia X ex. n-109clusoIII,\ es ccmpouente de;..: y asi pertenece al hiperpro ductox; X' ••• ' X<;;' ,If,Ahara bien, para los grupos finitos es interesante estudiar y cornp arar los dos hi-pergrupos correspondientes (; y c , Considero que el par G y G de hiperqru-pos son "duale s' .Definicion;' Un hipergrupo canoni co se llama un ultragrupo si existe una cadena-Ie! :: No';; NJ ~ ••• :;. N,. =0 Htal que ['oJ II N 1- J sea un grupo para todo I,,.,T eorema 15; Sca G un grupo finito, G es ultragrupo ~ G es nilpotente<~ G es ultragrupo.(La ultima parte es un teorema de Dietzman). Para mas teoremas y tamhien masdetalles con respecto a las partes 2 y 3 de la conferencia ve ase el articulomio "Character and Conjugacy"CI ass Hypergroups of a Finite Group" que saldraen "Annali di Matematica Pura ed Apl icata" en 1975 .D'ep artment o] MathematicsLI/Il'ersity o] ColoradoBoulder, Co. 80302. U,S,A,no

Hipergrupos de caracteres de grupos finitos

Este artículo se divide en tres partes. La primera parte es un repaso rápido de las ideas y la terminología de la teoría de caracteres de grupos finitos. En la segunda parte se explica lo que es un hipergrupo y se presenta la teoría básic

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