Algunos autores como Kalla, Saxena y Saigo, han definido y estudiado operadores de integración fraccional que tienen como núcleo la función hipergeométrica de Gauss. El propósito de este trabajo es estudiar tales operadores con la función R-∝(b1,b2;t,X) de Carlson como núcleo, así como también presentar algoritmos para el cálculo de semidiferintegrales.Kalla, Saxena, Saigo and some other authors, have defined and studied fractional operators with the Gauss hypergeometric function as nucleus. The object of this paper is to study operators containing the Carlson's function R-∝(b1,b2;t,X); as well as to present and discuss algorithms for numerical calculations of semidiferintegrals

Kalla, Shyam

Meyer C., Omar E.

Spanish

Universidad Nacional De Colombia - Repositorio Institucional UN

Rev.<..6ta. Cof.ombiana. de Ma.temallc.a.6Vol. XXIV (1990), pag~. 25-40SOBRE OPERADORES DE INTEGRACION FRACCIONALY ALGORIHUSOOMPUTACIONALES.parOmar E. MEYER C. y Shyam KALLAResumen. Algunos autores como Kalla, Saxena y Saigo, han de-finido y estudiado operadores de integracion fraccional que tie-nen como nucleo la funcion hipergeometrica de Gauss. El proposi-to de este trabajo es estudiar tales operadores con la funcionR_a(b1,b2;t,X) de Carlson como nucleo, aSl como tambien presen-tar a goritmos para el calculo de semidiferintegrales.Abstract. Kalla, Saxena, Saigo and some other authors, havedefined and studied fractional operators with the Gauss hyper-geometric function as nucleus. The object of this paper is tostudy operators containing the Carlson's function R_a(b1,b2;t,x);as well as to present and discuss algorithms for numerical calcu-lations of semidiferintegrals.§l. Introduccion. £1 t6pico de Calculo Fraccional (sus ope-radores y aplicaciones) ha sido estudiado desde hace muchotiempo por un gran numero de autores [6-15].Durante las ultimas cuatro decadas ha sido significa-tivo el interes de matematicos y otros cientificos e inves-tigadores en el Calculo Fraccional debido a la sencillez yelegancia con que se pueden abordar y solucionar una grancantidad de problemas tanto de matematica como de otras ra-mas cientificas, de las cuales se pueden citar [12]: Teoriade lineas de trasmisi6n electrica, analisis quimico de 50-25luciones acuosas, analisis electroquimico, disefio de conta-dores de flujo de calor, desarrollo y crecimiento de ranurasintergranulares en superficies metalicas, calculo en mecani-ca cuanticay diseminaci6n de la poluci6n atmosferica, entreotras.deLos operadores basicos del Calculo Fraccional son losRiemann-Liouville [12]:a 1 IX a-1Roxn = rca) 0 (x-t) 6(t)dt, a ? 0,dNa+N [ ]--- R 6, a < 0, N = 1-a,dxN ox( 1 )(2 )Weyl [13]:1rea) J""Ct-x)a-16(t)dt, a ? 0,odN a+N---Woo 6, a < 0, N [1-a],dxN(3)(4)donde [.J indica la parte entera.Generalizaciones interesantes de estos operadores ytambien de los de Erdelyi-Kober [13] fueron consideradas porKalla I/; Saxena [7,16] y Saigo [14,15J. Los operadores de Ka-lla & Saxena son:I[a,S,y;m,u,n,a;6(x)](5)ux-n-I IX u u nm---=-ar F(a,S+m;y;at Ix ).t 6Ct)dt, Re(a) ? 0,oR[a,S,y;m,u,8,a;6(x)] =(6)donde F(p,q;~;z) es la funci6n hipergeometrica de Gauss [1].N6tese que para S = y, a = u = 1, los anteriores ope-radores se reducen a los dados por Saxena [16, pag.288], entanto que para S = y, m = 0, a = u = 1, se obtienen los deErdelyi-Kober [13].26Similarmente, Saigo [14,15J define sus operadores dela siguiente manera:8 -a-8 rx 11~~ ,n6 = ~(a) l (x-t)a- F(a+8,-n;a;1-t/x)6(t)dt, a~ 0o(7)N- d Ia+N,S-N,n-N6 a < 0, N = [l-a];- dxN Ox ' (8)(9)N(_l)N !L- Ja+N,8+N,nj a < 0, N [l-a].dxN 00 0' (10)N6tese que para a = -8 se tienen los operadores deRiemann-Liouville y Weyl, respectivamente, en tanto que paraS = 0 se obtienen los de Erdelyi-Kober.§2. Funci6n Ra(b;z) de Carlson [3,4].DEFINICION 2.1. Sea E un simplex standard de Rk-1,k> 2, Hun semiplano de [-{O}; sea n = H si a e: [-N, peron = [ si a e::N. Sean b = (b1,b2, ... ,bk) e:[~ z =(zl ,z2"" ,zk)e: nk Si u.z es una combinaci6n convexa en nk se define lafunci6n Ra(b;z) de Carlson [2,3] asi:( 11 )donde. . . ~ r(b1)r (b2) r(bk)es la medi da de Dlrlchlet [3, pag.64], 8(b) = r(61+b2+ +bk) ,es la funci6n beta en varias variables, y r es la funci6ngamma.Es claro que si en (11) ky si a = 0, Ro(b;z) = 1.1, se tiene Ra(b;z) = za,27De la definici6n (Z.1) se desprenden las siguientesproposiciones dadas por Carlson [3]:PROPOSICION 2.1. Sean H un ~em~plano de [-{0},a,8,Y,x,Ypa~amet~o~ eomplejo~, tale~ que Re(y) > Re(8) > 0, eon(x,y) e: H, ~~ a e: {z e: [:z " 0,-1,-Z, ... }, 0 eon (x,y) e: Hs; ae:lN. Entonee~:R_a(8,Y-8;(X,y))R_a(Y-8,8;(y,x))( 13)(14)PROPOSICION 2.2. Sean a,a' e: [,8,8' e: [>' donde [> ={z e: [:z" O,la~gzl < TI/Z} y ~up6nga~e que a+a' = 13+8' •S~ H e~ un ~em~plano de [-{O} y adema~ (x,y) e: H, entonee~:(15)8' -a ,R_a ( 8 , 8' ; (x , y) ) x R_8' (a' , a ; ( x , y) ) a, a e: [> ( 16 )R_a(8;8';(x,y)) x8'-ay8-aR_a,(al,a;(x,y)) (17)R (8 13" (x 11)) = X - 811- 8' . ( 18 )- 8 - 8' , , , " "§3. Operadores de Integraci6n Fraccional con la Funci6nR_~(b;t,x) como nucleo. Sup6ngase que a y ~ son numeros rea-les, (b1,bZ)'z,z' e: [, con z,2' simetricos respecto de larecta y = x del plano [. Se definen ahora los siguientes ope-radores de integraci6n fraccional que involucran la funci6nR_~(b1,bZ;z) como nucleo:a;-~;(bl,b2) 1 (x a-110x;z 6 = f(a) Jo(x-t) R_~ (b1,bz ;z) 6 (t)dt, a) 0 (19)(20)Ja;-~;(bl,b2)6 = 1 Ioo(t_X)a-1R (b b 'z')6(t)dt a ~ 0, (Z1)oo;Z fCa) x -~ l' Z' ,28N dN a+N;-.6;(b ,b2)(-1) d7:N Jco-z j n, a < O,N = [1-0.], (22)x ,donde n pertenece a la clase de f'unci on es reales que son con-tinuamente diferenciales sobre (0,00), de manera que las inte-grales (19) y (20) existen y son tales que si 6 e:: L (0,00)con-1· -1 P ,P > Oq < 00, P + q = 1, entonces los operadores 1 y J a srdefinidos existen y tambien pertenecen a L (0,00) [8].PCasos Particulares. Notese que, en virtud de que Ro(b1,b2;z) 1, la proposicion 2,1 y las transformaciones para lafunc i on F(p,q;Jt;z) [1, pa gs . 556, 557] se tiene:i) 0.;0;(bj ,b2) Ra n (Riemann-Liouville) (23)10x'z n, oxii) a;0;(bl'b2) Wan (Weyl) (24);00;z n 00iii) la;-a;(-n,a+n)n 1nan (Erdelyi-Kober) (25)ox; z ,iv) ;0.;-0.; (-n,a+n) n = Kn,a6 (Erdelyi-Kober) (26)00; zv) 10.;-0.-s;(-n,0.+n)6 10.,s,n6 (Saigo) (27)ox; z oxvi) ;o.;-o.-s;(-n,o.+n)n = J~,s,nn (Saigo) • (28)00; zPropiedades. Usando la proposicion 2.1 y las formulasde Erdelyi [5,pags.78,79], se tiene la siguiente ley de com-posicion para estos operadores cuando Re(o.+S) > Re(o.) > 0:10.;-.6;(0.-0,0)lS;-n;(-0,S+0),ox;z ox;z 010.+S;-.6-n; (0.-0,S+o)6ox ;z (29);o.;-.6;(0.-0,0);S;-n;(-0,S+0)6= ;o.+S;-.6-n;(a-o,S+0)6.oo;z OO;Z oo;z (30)Demostraci6n. El lado izquierdo de (29) es:r(a)~(S) f:(X-t)o.-lR_.6(a-o,o;t,X)f:(t=W)S-lR_n(-O,s+o;w,t)*29new) dw d:t • (31)Aplicando (14) Y (13) a la primera y segunda integral, res-pectivamente, y el Teorema de Fubini [31, la expresi6n (31)es:~r(r:~;r~~(~s~)fX6(W)dwJx(X-:t)a-1(:t-W)S-1:t-nF(~,a-o;a;1-:t/W)*o wF(n,-o:S;l-w/:t)d:t .(32)Con el cambio de variable :t = x - (x-w)v y la aplicaci6nde las f6rmulas de Erdelyi [5,pag.78] con Re.(a+S) > Re(a) > 0 Yla~g (w/x)1 < TI, la segunda integral de (32) es :x-n(x_w)a+S-1 r(a)r(s) F(·<+n a-o"a+Q'1-w!x) (33)r(a+S) 'J, ,I-', •Reemplazando este ultimo resultado en (32) y aplicandonuevamente (13) se completa la demostraci6n.Una demostraci6n similar vale para el operador J .•Con las mismas condiciones bajo las cuales se definie-ron los operadores 1 y J se definen ahora los operadoresidentidadEn efecto:(34)por tanto, los operadores inversas son respectivamente:[la;-~; (a-o ,0) 6J-1ox;z l-a;-6;(o,a-o)6 0, a ~ ,ox;z (35)[J~;~-6 ; (a -0 ,0) 6] - 1 J-a;-6;(0,a-o)6 0oo;z ' a ~ • (36)Propiedades Adicionales. Haciendo usa de los resulta-dos de la proposici6n 2.2 se consiguen las siguientes pro-piedades:30I-6;-a;(6,6')6ox;zx6-aI-6;-6;(a,a')6ox; z '(37)I-6;-a;(6,6')6ox; zI-6;-6';(a',a)x6'-a6ox;z '(38)(39)I -6; - 6 - 6' ; ( 6 , 6' ) 6 = x - 6 'R-6 X - 6 6ox;z ox(40)J-6;-a;(6,6')6 J-6;-6;(a,a')x6-a6 c ,« ' e: [>00; z oo;z 'J-6;-a;(6,6')6 x 6 ' - a J-6 ; - 6 ' ; (a' .c ) 6 a,a' e: [>00 ; z 00; z '( 41 )(42)J-6;-a;(6,6')6 = x6'-aJ-6;-a';(6',6)x6-a6oo;z oo;z(43)(44)Resultados Particulares. A partir de las anteriorespropiedades se pueden obtener los siguientes resultados par-ticulares:i) Para -6 = a, 6 = - I'!, 6' = a + I'!:II'! a6x-l'!-aIa;I'!;(a,a')6 a,a' e: [> (45), ox;z 'I l'!,a6Ia;-a-I'!;(a',a) I'!6 a,a I e: [> (46)ox;z x ,I I'! a6x -1'!-aIa; -a' ; (a' ,a) xl'!6 (47), ox; zI I'! a6-a-I'! a I'! (48)x R x 6, oxK I'! 0: 6Ja;I'!;(a,a')x-l'!-a6 a,a' e: [> (49), oo;z 'KI'!, a 6x I'!i" ;-a - I'!; (a' , a) 6 a,a' e: [> (SO)00 ; z 'K I'! 0:6xI'!Ja;-a';(a' ,a)x-l'!-a6 ( 5 1 ), 00; ZKI'! a6I'! a -I'!-a (52)x Woox 6",31Ii ) Para.6 = Y, a = Y+o, B = -rt, B' = Y+rt se tiene:(53)(54)-rt-Y-o Y·-a'·(Y+rt a') rt-Ox r" , x 6·ox;z ' (55)] Y ; n ; (Y + 0 ,a' ) x - rt - Y - 0 6 Y + 0, a' e: [>00 ; z '(56)xrt-o]Y;-Y-rt; (a' ,Y+a)6 Y + 0, a' e: [>00 ; z '(57)rt - 0 y. - a' . (Y + rt a') - rt - Y - 0x ]' , 'x 600; z (58)Descomposici6n de Operadores. Haciendo uso de la for-mula integral para la funcion hipergeometrica de Gauss [1],es facil conseguir la siguiente descomposici6n de los opera-dores r y ]:ra;-Y;(B,a-B)6 RB x-YRa-B6 Re(a) > Re(B) > 0 (59)OX;Z ox ox']a ; -Y ; (e , a - B) 6-X); z Wa-Bx-YwB6 R () R (B) 000 00' e a > e. >. (60)Demostraci6n. El segundo miembro de (59) es:f x ff:1 B-1 -Y a-B-1r(B)f(a-B) (x-f:) f: (f:-w) 6 (w)dwdf:o 0Aplicando el Teorema de Fubini [3J, obtenemos:1 fX fX B-1 a-B-1-Yre B) f(a- B) Jonew) dw w (x-f:) (f:-w) f: df:Con el cambio de variable v = (x-f:)/(x-w), la representacionintegral de la funci6n h i pe rge cme t ri c a de Gauss [1 .pag .558]y la aplicacion de (13) se tiene:1 fX a-1f (a) J 0 (x - w) R _ Y (B , a - B ; w , x) 6 (w) dw ra;-Y;(B,a-B)6ox;zLa demostraci6n de (60) es semejante.32§4. Algoritmos Computacionales. La necesidad de conseguir ladiferintegral de un conjunto de datos experimentales discre-tos, conI leva al desarrollo de tecnicas computacionales paratal fin. Usando diversas tecnicas de integracion se han desa-rrollado varios algoritmos para aproximar la diferintegralde orden a de una funcion 6 [lZ,cap.8].De todos ellos se restringira la atenci6n del presentetrabajo a los algoritmos de Riemann-Liouville (RL) y Grunwaldcon interpolacion de Lagrange de tres puntos (GZ) cuyas for-mulas de aproximacion son respectivamente [lZ]:(61)(6 Z)donde (a,j) = r(o.+j)/r(a).Buscando una mejor aproximaci6n que las dadas por lasformulas RL y GZ, se desarrolla, a partir de la f6rmula deGrunwald modificada [1Z] y la formula de interpolaci6n deLagrange de cuatro puntos [Z], el algoritmo G3.Para el efecto, se considerara el intervalo (O,x) conx > ° dividido en N + 1 puntos igualmente espaciados y la no-menclatura utilizada para los val ores numericos de 6 es lamisma que u t i Li za Oldham y Spanier [1Z], esto es:6N = 6(0), 6N-1 = 6(x/N), ... ,6j = n(x-jx/N),···,60 o(x)como se muestra en la figura 1.TEOREMA. S-i. oN' nN-1' ... ' L1,Lz .60Vl N + 3 vafo!Le..6" de. lwa6uVl~-i.6Vl 6 e.Vl fo.6 pUVltO.6 O,h,Zh, ... ,Nh,(N+1)h, (Vl+Z)h, ~OVlh = x/N, x > 0, N = 1 ,Z, ... , e.VltOVl~e..6 fa 66!Lmufa de. ap!Lox-i.-ma~-i.6Vl G 3 de. fa d-i.6 e.!L-i.Vlte.g!Laf de. o n.de.« a e.Vl e.f pUVltO x = Nhe..6:(63)33nNX'jfJ( x)rNotense los valores anadidos X_I Y X_2cuando se aplica el algoritmo G3.donde:34W I(a+l) ,1.4+ aA3 + AZ0WN-Z(a N-l) [ N-l ] N-Z A1 +AZ]+A3]f'(N) a +N - Z a +N - 3(a N-l) [ N-l ]WN-1 = ' --A + AfeN) a+N-Z 1 ZW = (a,N-1)AN f(N) 1W_ Z A4W-1 aA4 + A3(M)(65)(66)(67)(68)(69)W. = (a,n [~+ A~ + .. a+j. ] (j+Z)A +(a+j+1)A4]] (70)j fU) a+j-l j j(j+l)(j+Z) 3A1 =a3 a2 a (7 1)-+-+-48 8 6A2a3 a2 a (72)=-16-4+4+1A3a3 a2 a (73)-+-- -16 8 2A4a3 a (74 )= - -+-48 12Demostraci6n. De la formula de Grunwld modificada [12]:.timN-+oo(75)y de la formula de interpolacion de Lagrange para cuatropuntos [2J:6 (x+ph) 'V p(p-1) (p-2) 6 + (p+l) (p-226 - p(p+lliE.:l) 6 + p(p-226 '. 6 -1 2 0 2 1 6 2se deduce que :x = x(l-jIN)P = - a/2h = xlN,con 10 cual:6(x-jxIN-ax/2N) 'VAl (a)6j+l + A2(a)6j + A3(a)6j_1 + A4(a)6j_2, (76)dondeA1 (a) 3 2 (77)= a 148 + a 18 + a/6A2(a)3 2 (78)=-a 116-a 14+a/4+1A3(a)3 2 (79)= a 116 + a 18 - a/2A4(a)3 (80)=-a 148+a/12.Reemplazando (76) en (75) y rearreglando la sumatoriase tiene:35I+ N~Z (a,k+1)A (a)6 _ N~3 (a,k+Z)A ( )6 ] [X]a (81)k=~l r (Il+Z) 3 k k=~Z r (1l+3) 4 a k N .N6tese ahora que para:k Z : W_ Z A4 (a)k - 1 : W_ 1 aA4 (a) + A3 (a)k 0 Wo 0.5a(a+l)A4(a) + aA3(a) + AZ(a)k N WN(a,N-l)A ( )f(N) 1 ak N-l WN-1(a,N-1)[ N-l ]feN) a+N_ZA1(a)+AZ(a)N-Z _ (a,N-l)[ N-l [ N-Z ]]WN_ Z - r (N)! a+N- Z a+N-3Al (a) + AZ (a) + A3 (a)~[Al(a) AZ(a) a+j ]-f(j) a+j-l + -j-' - + j(j+l) (j+Z) *j Wcon 10 cual se completa la demostraci6n. !Para todos los prop6sitos numericos se tom6 a = ~ 0.5(semiintegral y semiderivada, respectivamente) y todo elel trabajo computacional se hizo en Lenguaje Fortran de pun-to flotante de doble precisi6n, para 10 cual se utiliz6 unequipo Burroughs B-Z5 con rango de almacenamiento:3.0D-39 a-1.7D-38 a1.7D-38-3.0D-39(Rango positivo)(Rango negativo).Los algoritmos fueron probados con el conjunto de fun-ciones: x5, x8, In(x), xln(x), para 35 iteraciones y con va-lores de x comprendidos entre 0.001 y 100.00, estimandose labondad de los mismos con la expresi6n del error relativo da-da por Oldham y Spanier [lZ,pag.141].En las paginas que siguen se muestran tablas compara-tivas de los valores numericos obtenidos al aplicar los tresalgoritmos mencionados, notandose la mejoria que se presenta36en e1 ca1cu10 de 1a semidiferintegra1 a1 ap1icar e1 a1gorit-mo G3, contandose ademas con que una buena aproximaci6n seconsigue con poe as iteraciones.Cabe hacer notar que e1 parametro opc1on en e1 encabe-zamiento de las tab1as que siguen, se refiere a Semiderivadasi SD • -1 Y Semi integral si SD • 1.Agradecimientos. S.L. Kalla agradece a1 CONDES. y O. Meyer C.agradece a 1a Universidad Naciona1 Abierta, asi como a 1aempresa UNISYS de Venezuela por 1a co1aboraci6n y e1 apoyoque prestaron en 1a rea1izaci6n de este trabajo.37CUADROCO~~ARATIVO DE LOS VALORESCOHSEGUIOOSCOillOS AlCoORITKOSRL,G2,G3 Y EL UALORElIACTODE LA SE~IOIFERlHTEGRAlDE UHAFUHCIOHPARAVALORESDE X EHTRE0.001 Y 100.000Hro. de lterac iones : 35Funcion a Oiferintegrar : xSOpcion (5.0.=-1 ".5.1.= I) :-JX VAL. SOL VAL.AlGRL VAL.ALGG2 VAL.ALGG3 ERRALGRL ERR ALG02 ERRALG63---------- ---------- ------ .....-- ... --------- ---------- --------_ ...001 .908500-22 .891850-22 .909470-22 .909240-22 .183330-01 .106780-02 .815090-03.002 .164460-19 .161440-1~ .164630-19 .164590-19 .183330-01 .106780-02 .8151190-03.004 .2mOO-17 .292240-17 .298020-17 .297940-17 .183330-01 .106780-02 .8150~-03.006 .622%0-16 .611540-16 .623630-16 .623470-16 .183330-01 .106780-02 .815090-03.008 .538890-15 .529010-15 .539470-15 .539330-15 .183330-0 I .106780-02 .815090-03.010 .287290-14 .282030- I 4 .287600-14 .287530-14 .183330-01 .106780-02 .815090-03.020 .520060-12 .510520-12 .520610-12 .520480-12 .183330-01 .106780-02 .815090-03.040 .941400-10 .924150-10 .942410-10 .942170-10 .183330-0 I .106780-02 .815090-03.060 .19700D-08 .193390-08 .197210-08 .197160-08 .183330-01 .106780-02 .815090-03.030 .170410-07 .167290-07 .170590-07 .170550-07 .183330-01 .106780-02 .815090-03.100 .908500-07 .891850-07 .909470-07 .909240-07 .183330-01 .106780-02 .815090-03.200 .164460-04 .161440-04 .164630-04 .164590-04 .183330-0 I .106780-02 .815090-03.430 .297700-02 .292240-02 .298020-02 .297940-02 .183330-01 .106780-02 .81509D-03.600 .622960-0 I .611540-0 I .623630-0 I .623470-0 I .183330-01 .106780-02 .815090-03.800 .538890+00 .529010+00 .539470+00 •539330+00 .183330-01 • .106780-02 .815090-031.000 .287290+0 I .282030+01 .287600+01 .287530+01 .183330-01 .106780-02 .815090-0310.000 .908500+08 .891850+08 .909470+08 .909240+08 .183330-01 .106780-02 .815090-0320.000 .164460+11 .161440+11 .164630+11 .164590+11 .183330-01 .106780-02 .815090-03SO.000 .158710+14 .155800+14 .158880+14 .158840+14 .183330-01 .106760-02 .815090-03100.000 .287290+16 .282030+16 .287600+16 .287530+16 .183330-01 .106780-02 .815090-03CUADROClmPARAlIUODE LOS U~LORESCONSEGUIOOSCONLOS ALGORmOSRL,G2,G3 V a UALOREXACTOOE LA SEIlIPIFERINTEGRALDE UNAFUNCIONPARAVALORESDE X EHTRE0.001 V 100.000Nro. df Itfra~ionl's : 5rune ion a Oiffrintegrar : X fJ1 XOpeion (5.0.=-1 ... 5.1.= I) i 1x UAL. 501. VAL.ALGRl UAl. ALGG2 UAL.lllG 03 ERR ALORL ERRALGG2 ERR ALe 63---------- ---------- ---------- ---------- ---------- -------- -..001 - .170990-03 -.170b5I>-03 -.170B70-03 -.170920-03 .2035~O-O2 .702070-03 .452940-03.002 -.437010-03 -.m020-03 -.436680-03 -.43680H3 .m280-02 .748580-03 .472880-03.004 - .110410-02 - .110 130-02 - .11C3ZD-C2 -.110360-02 .25220D-02 .806220-03 .497570-03.006 -.18B670-02 -.188150-02 -.188510-02 -.la8S7H2 .27115H2 .846800-03 .514%0-03.008 -.274980-02 -.27420P-Oi' -.274740-02 -.27(840-02 .286420-02 .879490-03 .528970-03.010 -.367520-02 -.366m-02 -.367180-02 -.367320-02 .299500-02 .907500-03 .540970-03.020 -.892010-02 -.88890D-02 -.891110-02 -.891490-02 .349020-02 .1~1350-02 .586400-03.040 -.210590-01 -.20971D-Ol -.210340-01 -.210450-01 .41815D-02 .116160-02 .649840-03.060 -.342040-01 -.34043D-Ol -.3416' 0-0 1 -.341800-01 .472m-~2 .127890-02 .700120-03.080 -.477640-01 -.475150-01 -.476980-0 I -.477290-01 .521440-02 .138280-02 . 744b 10-03.100 -.614440-01 -.~t096D-OI -.613530-01 -.613960-01 .566490-02 .147920-02 .785940-03.200 - .127150+00 -.126170+00 -.126910+00 -.127030+00 .774270-02 .192410-02 .976580-03.400 -.227730+00 -.224950+00 - .2270aO+00 -.227420+00 .122270-01 .288450-02 .138810-02.600 -.27662D+00 -.27150D.00 -.275450+00 -.276070.00 .184940-01 .422630-02 .196300-02.800 -.271030+00 -.263150+00 -.26927D+00 -.270230+00 .290600-01 .64889D-02 .293250-021.000 -.210~IOtOO -.1~990DtOO -.208500+00 -.209840.00 .521880-01 .114420-01 .50546D-0210.000 .481050+02 .484530.02 .481670+02 .481240+02 .723570-02 . 12B330-02 . 39773C-0320.000 .182700+03 .183680+03 .182860.03 .182740.03 .538870-02 .887730-03 .228250-0350. 000 .9b5880+03 .969770+03 .96E.460+03 .965980t03 .402910-02 .596590-03 .10351H3100.000 .325330+04 .326430+04 .325480.04 .325350+04 .338330-02 .458320-03 .442570-0439REFERENCIAS[ 1 ] Abramowitz, M., Stegun, I., HandboOR 06 MathematicalFunction~, Nat. 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Sobre operadores de integración fraccional y algoritmos computacionales

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