Se sugiere la estructura de varianza apropiada en diferentes casos de asignación de número de replicaciones de un tratamiento, para modelos de una vía de clasificación. También se dete; rmina el número de observaciones, con restricción de costos, para combinaciones de tratamientos

Díaz M., Luis Guillermo

López P., Luis Alberto

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LAReferencia - Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas Latinoamericanas

Estructura de varianza y tamaño de muestra en contrastes lineales de medias

Universidad Nacional De Colombia - Repositorio Institucional UN

No.29 y No. 30 E S T R U C T U R A DE VARIANZA Y TAMAÑO DE M U E S T R A EN C O N T R A S T E S LINEALES D E MEDIAS LUIS GUILLERMO DÍAZ M , LUIS ALBERTO LÓPEZ P , Profesor Asistente Profesor Asociado Universidawi Nacional Universidad Nacional RESUMEN, Se sugiere la estructura de varianza apropiada en diferentes casos de asig-nación de número de repUcaciones de un tratamiento, para modelos de una vía de clasi-ficación. También se detearmina el número de observaciones, con restricción de costos, para combinaciones de tratamientoa. 1. INTRODUCCIÓN En la estimación de contrastes lineales para la comparación de medias en diseños experimentales, se asume con frecuencia que el conjunto de tratamientos en investi-gación tienen igual varianza y por lo general no existe ningún criterio de desagregación del número de repeticiones asignadas a cada tratamiento. En este trabajo se presen-tan las estructuras de varianza apropiadas para contrastes de combinaciones lineales de medias de tratamientos en los siguientes casos: i) Muestras de tamaño desigual sin ningún criterio de asignación, ií) Muestras de tamaño proporcional a la varianza. iii) Muestras de tamaño proporcional a las desviaciones estándar. Finalmente, al asumir costos variables en el estudio de tratamientos y al imponer una restricción lagrangiana sobre repetición-costos, se obtiene una expresión para el número de observaciones a la i-ésima combinación de tratamientos, Typeset by .4^+5-TgX 16 GUILLERMO DÍAZ Y ALBERTO LÓPEZ Los resultados presentados fueron desarrollados para modelos con un criterio de clasi-ficación y estructura de medias en celdas; teniendo como base el trabajo de Cahn (1981). 2, MODELO Si se caracteriza el modelo lineal por Yi} = t-tij + fij, con i = l , . . . , k j = 1 , . . . , n¡ (2,1) con los siguientes supuestos: E(€ij) = O, E{e^j) = cr̂ ; (rf conocidas y además e,j ~ A (̂0, «r,?) Pij : efectos fijos de medias de tratamientos (2.2) En Searle(1987), Hocking(1985) y Goldberger(1962) entre otros, se prueba por míni-mos cuadrados generalizados que : Pij = {X'V-^X)-^X'V-'^Y (2.3) donde V = Diag{eT^), y V~^ = Diag{l/ff^). Teniendo en cuenta el modelo (2,1) y la estimación obtenida en (2.3), se sigue que el mejor es t imador insesgado de pi. MELI{p,.) es Y i. con : y..= -¿y.;, .•=1,...,*: (2.4) Si no se impone ninguna restricción en la desagregación del número de repeticiones por tratamiento, se sigue : 2 ESTRUCTURA DE VARIANZA Y . . . 17 3, ESTRUCTURAS D E VARIANZA CONTRASTES LINEALES Sea L una combinación lineal de medias de tratamientos L = '£Xipi (3,1) i Donde MELI{L) = Yl XiVi (3.2) Cuando no se tiene en cuenta ningún criterio de asignación de lets observaciones a los tratamientos, se sigue que : k 2 VAR{MELI{L)) = Y ^ 1 — (3.3) Si en la asignación de las observaciones de los tratamientos, se tiene en cuenta la afijación proporcional a las desviaciones estándar; es decir: 5, = ^ (3.4) de acuerdo a (3.2), se obtiene : k 2 VARiMELI{L)) = Y ^ ^ — = ¿E'^'E^^' (35) Cuando se asume que la desagregación de los tratamientos es proporcional a la va-rianza; o sea n, - ^ ¿ , (3,6) ¿^i°i de (3.2) se sigue que VAR(MELIiL)) = ^ Y ^ 1 Y "' (3-7) ESTRUCTURA DE VARIANZA Y . . . 19 EJEMPLO De Campos (1984) presenta los siguientes datos referentes a la producción en toneladas por hectárea de cuatro variedades de caña de azúcar. Vi V2 V3 V4 Media: Desviación: 78 86 68 77 75 t ( — w 82 80 65 76 80 r6.7 3.27 56 63 58 70 81 ( ( 60 82 71 59 74 37.4 3.57 105 112 108 121 115 "~ 126 94 118 105 87 109.1 12.0 96 90 92 97 95 • 89 91 97 98 93 92.8 }.32 Se observa que hay una proporcionalidad en las desviaciones estándar, entonces por (3.4) los tamaños de muestra adecuados para cada variedad serían ñi = 8 , ñ2 = 12, ña = 15, y ñ4 = 5, Si además se tuviera interés en llevar a cabo la prueba de la hipótesis Ho • L = O siendo L = p^ - -{pi -1- /12 + A's) o de (3.2) L = 8,4, y de (3.5) V{L) = 32.36, teniendo finalmente que por (3.9) ío = 1.47; al confrontarlo con una t de no se rechaza la hipótesis nula. 20 GUILLERMO DÍAZ Y ALBERTO LÓPEZ CONCLUSIONES Cuando se pretende hacer una desagregación del número de repeticiones por tra-tamiento, debe tenerse en cuenta la estructura de varianza del diseño. Se han con-siderado diseños asociados a modelos de una vía de clasificación con la estructura de varianza más general (desigual). Se proponen algunas expresiones para la determi-nación del tamaño de muestra (replicaciones), proporcional a la varianza y a los costos por el tratamiento. Para la realización de pruebas de hipótesis sobre combinaciones lineales de medias, se encontró el estadístico (3,9); los contrastes lineales son un caso especial de la combinación lineal aquí desarrolladas. BIBLIOGRAFÍA Cahn, EsterS. (1981), Comparison of Three Sampling Designs, AmaricanStatistician35,156-157, Goldbcrg A. S. (1962), Best Linear Unbíased Prediction in the Generalized Linear Regresión Model, Jotimal of the American Statistical Association, 364-375. De Campos H. (1984), Estadística Aplicada á Experimentacao con Cana de Acucar, FEALQ-USP. Hocking, R. R. (1985), The Analysis of Linear Models, Brooks/Cole Publishing Company, Mon-terrey, California. Searle, S. R, (1971), Linear Models, John Wiley, New York. Searle, S, R. (1987), Linear Models for Unbalanced Data, John Wiley, New York, 

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