23. Resolver el sistema siguiente de ecuaciones: (1)                 x + y = 4,(2)                 xz + yu = 7,(3)                 xz2 + yu2 = 12,(4)                xz3+ yu3 = 2

Chavez Agudelo, Armando

Rodríguez, Alvaro

Szele, Tibor

Tello Y., Guillermo

Spanish

Universidad Nacional De Colombia - Repositorio Institucional UN

SOLUCION DE PROBLEMAS23. Resolver el sistema siguiente de ecuaciones:(1)(2)(3)(4)x + y = 4,xz + yu = 7,xz2 + yu2 = 12,Solucion. Igualo el valor de .r, deducido entre (1) y (2), al valorde x, deducido entre (2) y (3); as! obtengo:(5) 4uz-7(u + z) + 12 = O.Igualo el valor de x,deducido entre (2) y (3), al valor de x, de-ducido entr (3) y (4); as! obtengo:(6) 7uz - 12(u + z) + 21 = 0y eliminando uz entre (5) y (6):(7)De (3) y (7):(8)De (1) y (8):u = - z.Z2 (x + y) = 12.z = ± \/3, u = + \/3".Reernplazando en (2):(9) ± \/3 (x - y) = 7, x - y = -+- 7Y3/3.12(1) y (9) dan12 -± 7y36x= y=12 =+ 7y36Son las raices:x=12 ± 7y3-~----6y= 12 + 7y3 z = ±6 'y3, u = =+Armando Chaues AgudeloOtras soluciones de: "Antiguo alurnno de la Facultad", JuanGamez Mora, Alvaro Rodriguez, Guillermo Tello Y.28. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:Solucion, Hacienda las substituciones x3 = X, y3 = Y, z]» = Z,u/y = V, obtenemos el sistema(1)(2)(3)(4)X + Y = 1,XZ + YU = 0,XZ2 + YU2 = -2,XZ3 + YU3 = 22.Este sistema es similar al del problema 23. Eliminando X entre (1)y (2), (2) y (3), (3) y (4), obtenernos -(5) YZ - YU = Z,(6) YZU - YU2 = 2,13(7) YZU2 -- YU3 = -2Z - 22.Dividiendo (6) por (5) y (7) par (6), obtenernosv = 2/Z = (-2Z - 22)/2,Z2 + lIZ + 2 = 0,de donde1 11x=-+= --,2 2y]13y = _~ + _U_ Z = -11 ± yl132 - 2y11"3 ' 2u= -11 += y1132Alvaro Rodriguez.26. Se dan en el espacio dos triangulos ABC y A'BC teniendoel lado BC cornun, siendo AA' perpendicular al plano A'BC.(a) Sea A'K la altura del triangulo A'BC; 2que se puede afir-mar de los pianos AA'K y ABC? Demostrarlo.(b) Sean BL y BM las perpendiculares trazadas de B a A' Cy AC; mostrar que el plano LBM es perpendicular al plano deltriangulo ABC. Si H' es el ortocentro del triangulo ABC y H eldel triangulo A'BC, mostrar que H' es la proyecci6n de H sobreel plano ABC.(c) A se mueve sobre la semirrecta A'x perpendicular al planodel triangulo £ijo A'BC. Deterrninar el lugar del punto H'.(d) Dado A'B = c, A'C = b, AA' = myel angulo BA'C = a,deterrninar el volumen del tetraedro AA' BC.(Bachil1erato, Fl parte, Aix-Marseille, Francia, 1948).Solucion. (a) Los planes AA'K y ABC son perpendiculares, Enefecto A'K es perpendicular a BC. Como A'K es la proyecci6n deAK sabre el plano A'BC, AK rarnbien debe ser perpendicular aBe. Luego el plano AA'K es perpendicular a BC y entonces tam-bien al plano ABC que contiene BC.(h) A'C es la proyecci6n de AC sobre el plano A'BC. Pero A'Ces perpendicular a BL, luego la direcci6n de BL es perpendiculara AC. Par otro lado BM es perpendicular a ACJ luego el planoLBM es perpendicular a AC y tarnbien al plano ABC que contiene14AC. - AK es una altura del rriangulo ABC luego H' es el punto deintersecci6n de AK y BM. H es el punto de intersecci6n de A'Ky BL, entonces HH' esta contenido en [os planes AA'K y LBM.Como ambos son perpendicuiares al plano ABC, HH' 10 es tam-bien y H' es la proyecci6n de H sobre el plano ABC.(c) HH' es perpendicular al plano ABC, luego en particular a.]segrnento H'K. El angulo HH'K es entonces recto, luego por elteorema inverso de THALES H' se mueve sobre una sernicircunfer en-cia con diarnetro HK y perpendicular al plano A'BC.(d) El volumen de un tetraedro es igual al prod ucto de la ter-cera parte de una arista par el area de la proyecci6n del tetraedrosobre un plano perpendicular a la arista. Como AA' es perpendi-cular a A'BC, el volumen es igual a (1/6) mbc sen a.Soluci6n de Armando Chaves Agudelo.43. Dernostrar que cualquiera que sea el nurnero entero positiveN, se pueden encontrar N enteros positives consecutivos entre losmales no hay ning6n nurnero primo.Solucion. Los N enteros consecutive (N + 1)1 + 2, (N + 1)1+ 3, ... , (N + 1)1 + (N + 1) son todos compuestos.Obseruacion. Esteteorema, debido a EUCLIDES, se expresa conel simbolisrno del calculo como Lim sup (p n - Pn~l) = OJ, siendoP n el n-esirno numero primo (d. Vol. II., p. 64). Si es cierto queexisten infinitos primos gemelos (d. Vol. II., p. 133), entonces Liminf (p n - Pn-l ) = 2. Hoy dia no sabernos ni siquiera si Liminf (p II - P n-1 ) < OJ. Ellector interesado en este problema en-contr ara arnplia informacion en los trabajos siguientes:GIOVANNI RICCI. La differenza di numeri primi consecutivi.Rendiconti del Seminario Marernatico di Torino. 11 (1951/52) pp.149-200.PAUL ERDOS. Problems and results on the differences of conse-cutive primes. Publicationes Mathernaticae. 1 (1949/50) pp. 33-37.44. Encontrar todos los nurneros primos P tales que p2 + 2 seatarnbien un nurnero primo.T. SzeleSoluci6n. Se puede escribir:(1) p2 + 2 = (p + 1) (p + 2) - 3p.De los tres nurneros consecutivos p, p + 1, P + 2, uno debe ser15multiple de 3. Si es p + 1, el segundo miembro de (1) es multiplode 3, y p" + 2 no es primo. Si es p + 2, l1egamos a la misma COI1-elusion. Luego para que p y p" + 2 sean ambos numeros primos, esnecesario que p sea multiplo de 3; la unica posibilidad es p = 3.P = 3 (que da p~ + 2 = 11) es el unico nurnero primo tal quep~ + 2 sea tarnbien primo.Guillermo Tello Y.Otra solucion de: Armando Chaves Agudelo.Obseruacion de Armando Chaves Agudelo: El teorema deFERMAT dice: si q es primo y a un entero no divisible por q, enton-ces a,,-l - 1 es divisible por q. Aplicando este a q = 3 obtenemosque si a no es divisible por 3, a2 - 1 y tarnbien a2 - 1 + 3 = a2 + 2es divisible por 3. Luego para que a"!. + 2 sea primo, es necesario 0bien que a = 1 0 bien que a sea divisible por 3. Entonces la unicaposibilidad para que a y a2 + 2 sean primos es a = 3, a2 + 2 = 11.45. Siendo ~ un nurnero real, denotemos por [~] el numero en-tero inmediatamente inferior 0 igual a ~ (vease Vol. II., p. 24) .. Demostrar que si n es un nurnero entero positive y ~ es un nume-ro real positive, entoncesSoluclon. En efecto se tiene por definicion~= [~]+ 0,siendo 0 :( s < 1. Luego[fl +n nPero segun el teorema de la division con residue(1)[~l r--=a+- ,n ndonde 0 :( r :( 11 - 1. Entonces1'+0=a+n16Ahora 0 :::; r + 0 < 12, luego (r + 0)/12 < 1 Y(2) [~I= a.Adernas r/12 < 1, luego de (1) sigue[[fr _-;; J - a.Q. E. D.Armando Chaves AgudeloOtras soluciones de: Juan Gomez Mora, Alvaro Rodriguez.46. (Continuaei6n). Si f es positivo[2fJ = [rl + [f + 1/2J.Solucion, Tenemos f = [rl + 0, 0 :::; 8 < 1. Supongamosprimero que 0 ? 1/2. En este easo(1) f = [fJ + 1/2 + E,siendo 0 :::; E < 1/2. Entonees2f = 2[fl + 1 + 2E,siendo 2E < 1, luego(2) [2fJ = 2[fJ + 1 = [fJ + [f + 1J,puesto que [f] + 1 = [f + 1]. Ahora de (l)f + 1/2 = [fJ + 1/2 + E+ 1/2 == [f] + 1 + E = [f + 1J + E,de donde(3) [f + 1/2] = [f + 1].De (2) y (3) resulta la f6rmula que hay que dernostrar.17Sea ahara 0 < 1/2. Entonces(4) ~= [~]+ 0,2~ = 2[~] + 20,Jande 0 ~ 20 < 1 y por 10 tanto(5)De (4)[2~J = 2[~].~ + 1/2= [~]+ 1/2 + 0,pero como 0 + 1/2 < 1,(6) [~+ 1/2] = [~].De (5) y (6)[2~J = I}] + [~] = [~] + [~ + 1/2].Q. E. D.Armando Chaves AgudeloOtras sol uciones de: Juan Gomez Mora, Alvaro Rodriguez.47. Simp1ifiear la siguiente suma :1 1 1 12 + 3.11 + 4.21 + ... + (n + 1) . (n - 1)1Solucion. Se tiene121 1---I (n+l)112+1-1 12 1(12 + 1)1 - (12 + 1)1 - (12+ 1) . (12- 1)1Entonees1 1 12 11 - 2i'181 1 1- -3.11 21 311 1 1-- -- - -4.21 31 41 ,1 1 1(11 + 1) . (n - 1)1 nl (n + 1)1Sumando12111+ + + ... +3.11 4.21 (n + 1) (n -1)11=c: 1 - (n + 1)1Guillermo Tello v.Otra solucion de: Armando Chaves Agudelo.48. Demostrar que si dos aristas de un tetraedro que no se cortanson iguales, entonces las secciones planas paralelas a estas dos aris-tas tienen todas el rnismo perimetro.Gy. Sz. - NagySolucion. Sean AC = BD = a las aristas iguales y sea MNPQuna secci6n que curnple la condicion del enunciaclo, con los verti-ces respectivos sabre 'las aristas AD, AB, BC, DC . MN es paraleloa PQ, puesto que ambos son paralelos a BD . MQ y NP tarnbien sonparalelos, puesto que ambos son paralelos a AC. Luego MNPQ esun paralelogramo. Sea MQ = NP = b y MN = PQ = h. Deltriangulo ACDb : a = MQ : AC = DQ : DC.Del triangulo BCD~ : a = PQ : BD = CQ : DC.Luego(b + h) : a = (DQ + CQ) : DC : DC = 1,19.entonces el perimetro es igual a 2b + 212 = Za, que es una eantidadconstante,Armando Chaves AgudeloOtras solueiones de: Juan Gomez Mora, Alvaro Rodriguez, Gui-llermo Tello Y.49. Demostrar que la longitud del radio del circulo inserito enun triangulo esta cornprendida entre el tereio de la altura masgrande y el tereio de la altura mas pequefia.Gy. 5z. - Nagy50IuC16n. Sean las alturas 128 ? h:!.? 121 que eaen sobre loslades c, b, a respeetivamente, 5 la superfieie del triangulo y I' elradio [del circulo inseritoJ. 5 = (1/2) h1a, luegoa/11 25Analogamente1 b 1 c- -122 25 , h:, 25Sumando1 + } '+ +- = P5'hl I'l:!. 11:;donde P es el serniperimetro. Pero rp = 5, entoneesPero 1/121 ? 1/h:!. ? 1/12:<, luegoyArmando Chaves AgudeloOtras solueiones de: Alvaro Rodriguez, Guillermo Tello Y.20

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