En el siguiente trabajo tratare de dar un resumen de los resultados más importantes, en el estudio de los espacios topológicos en especial normados sobre cuerpos valuados no arquimedianamente. Los primeros estudios en esta materia fueron hechos por A. F. Monna en 1.943 que desarrollo en mayor parte la teoría de los espacios normados ultramétricos. En los últimos tres anos recibió la materia un gran impulso debido a Ia introducción de los espacios local k-convexos par J. Van Tiel en analogía con los E.V.T. local convexos sobre los reales y complejos. Claro está que ambas teorías están todavía en desarrollo

Madlener, Klaus E.

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- 129 _.Revista Colombiana de MatematicasVolumen II, 1.968.Pdginas 129-136,ESPACIOS VECTORIALES TOPOLOGICOS SOBRE CUERPOSNO ARQUIMEDIANAHENTE VALUADOSporKlaus E. MadlenerEn el siguiente trabajo tratare de dar un resumen de los re~sultados mCis importantes, en el estudio de los espacios to-po16gicos en especial normados sobre cuerpos valuados no ar-:quimedianarnente. Los primeros estudios en esta materia fue-ron hechos por A. F. ~1onnaen 1.943 que desarrol16 en mayorparte la teorfa de los espacios normados ultrametricos. Enlos liltimos tres anos recibi6 la materia un gran impulso de-bido a Ia introducci6n de los espacios local k-convexos parJ. Van Tiel en analogia can los E.V.T. local convexos sobrelos reales y complejos. Claro estCi que ambas teorfas estCintodavia en desarrollo.Muchas problemas que tienen una soluci6n en el caso real mues-tran tambien aqui su solucian. Los metodos usados en las de-mostracianes son similares pero no sin encontrar a veces va-rias dificultades. Seria interesante si se pudiera encontrarun camino para unificar las dos teorfas como se ha hecho yaen parte.1. VALUACIONES SOBRE CUERPOS1.1- DeE: Una valuaci6n en un cuerpo K es una funci6nI . I : K ---=; 1f2..+ can las siguientes propie ades:VI \ a \ = 0 (-=7 a = 0\a\=\a\\b\ \fa,b~K\a + b \ ~ \a \ + \b \ "\j a, b E:.. K. Desigualdad trian-gular.- 130 -].iemplo; Cuerpo de los reales con e1 valor absoluto usual.La valuaci6n se Ll.amara trivial si \a \ = 1 para todo a E: K.La propiedad que nos interesa es 10. siguiente:(a,bE: K). Desigualdadtriangularfuerte~ Def: 8i 10. valuaci6n de un cuerpo K cumple las propie-dades v1,- v4 se llama.r~ no arg~ediano; en otrocaso argulmedlano.Un resultado de Ostrowshi dice que un cuerpo arquimediana-mente valuado es a alfticamente isomorfo a un sub-campo de108 ntimeros reales a complejos. En 10 siguiente sera Ksiem-pre un cuerpo valuado n.a que podemos suponer completo.Yo. que el grupo de valores de K, esto es {Ia \: a E K r= NK'no es todo 1«+ podemos distinguir 2 casos:1~2 Def: a) La valuaci6n n.a 1.\' es discreta si existe+un d 6lQ , 0 < d < 1 tal queb) La valuaci6n n.a \. I es densa si NK es densoPropiedades equivalentes para:a) NK tiene como tini co punta de acumulaci6n el. 0b) NK tiene el 1 como punto de acumulaci6nEiemp1os: a) Valuaci6n discreta: El cuerpo de los raciona-les valuados p-adicamente, en donde p es unntimero primo.b) Valuaci6n Gensa: Cuerpo de las series de po-tencias can 10. valuaci6n usual.- 131 -Estos cuerpos tienen propiedades analfticas a veces mas sm-cillas que los nQmeros rea1es.p. e. Una serie es convergente ¢=? el terminG general tien-de a ce ro,POl' otra parte, muchas propiedades que tienen los reales,como orden, local compacto, eonexo, completo, no tienen quevaleI' para un euerpo valuado no arquimediano.2. ESPACIOS LINEALES NO ARQUIMEDIANAMENTE VALUADOS2.1- Def: Un espacio lineal normado E sobre K se llamano arquimediano si la norma en E satisface la desigual-dad ultram~trica.\\x + y \\ ~ max ( \\x \\, II y \\ ) x,y ~ Ese sigue que:\\x + y \\ = max ( \\x \I , II y! I ) si \\xII f \I y\1E es un espacio de Banach no arquimedeo si E es completocon la metrica can6nica.Ejemplos:i) El espacio de todas las sucesiones acotadas x = (xJi EcI'Nxi E. K con la norma n x l] = sup \xi\. Si K es completo,CDentonces es un espacio de Banach. Se denota con eii) Sea X un espacio topo16gico local compacta:Con Cc( x) se denota el espacio lineal de todas las iJ..m-ciones contfnuas con soporte compacto f: X~K, talque separen los puntas de X (p.e X sea a-dimensional).La norma se define con:l\ fll = sup \f(x) \xEXC (x) es un E.B.n.a.e� 13 2 ~iii) Una pregunta inmediata que se presenta es, cu~les sonlas condiciones necesarias y suficientes para que unespacio normado sobre un cuerpo valuado K sea un espa-cio lineal normada no arquimediano:Una condici6n necesaria es que K tenga una valuaci6n n.a ..perc esta condf cidn no es 8uficiente como se puede ver enel ejemplo siguiente:el =tx = (xl'~"") : xi-E- K ~lxi\ <oo8lxil -7 0 YII x\\ == Lx. no satisface la desigualdad u.l.tramet ri ca.. 113. FUNCIONALES Y EL TEOREMA DE HAHN BANACHLos funcionales se definen como en el caso cl~sica, esto es,como funciones lineales contfnuas de E en K.Las relaciones entre continuidad y acotamiento para opera-dores sobre espacios normados no arquimedianos son las mis-mas del caso cl~sico.£1 Teorema de Hahn Banach sabre la extensf.on de funcfonales,es valida bajo ciertas restricciones a la valuaci6n delcuerpo K, que K sea esf~ricamente completo.Introducir~ este concepto en forma mas general.ii)- Def: Sea E un espacio lineal sabre K supongamos quela topologfa de E esta determinada par una semi normano a.rqu irnedea p .+p: E-~\Kr( 0) = 0r( ax) = \ a \ pC x) ~ a t K\? Cx + y) ~ max (p C x), pC y) )iii)iv)- 133 -Con (E, p) se deno taza el E.V.T E provisto de la tropoIogfadefinida por la seminorma.1.&l - D:f: El conjuntotx }('(x- xo) ~ A...~se llamara una es-fera con centro Xo y radio f.... • Las esferas en el ca-so noarquimediano tienen propiedades singulares:i) Todo punto de la esfera puede ser considerado como cen-tro.ii) Si la intersecci6n de dos esferas es no vac!a, enton-ces lademenor radio esta. contenida en la otra.~ - Def: El espacio (E,~) se llamara. esf~ricamente comple-to, si toda familia de esferas totalmente ordenada porinclusi6n, tiene una intersecci6n no vac!a.La definici6n de esf~ricamente completo se puede aplicar alcaso delcuerpo valuado K si se considera como espacio line-alsobre sf mismo, la valuaci6n siendo una seminorma n.a.~ - Se pueden mostrar entre,otras las'siguientes equivillen-cias:1. K es esf~ricamente 'compLeto,2. K esta maximalmente valuado, en el sentido de quetoda extensi6n valuada de K extiende el grupo devalores G 0 el cuerpo residual K.En particular todo cuerpo completo con valuaci6n discreta ese.c. ya que en este caso se cumple u = c.f (u grado de 1aext. de K).(c grado de laext. de G).(f grade de laext. de K).NOTA: Existen cuerpos valuados densos que son e.c.Ejemplo: Cuerpo de las series de potencias.- 134 -3.5";,. 'Dei: Se ' dice que el espacfo (E 9 pJtiene ,lapropiedadde extensi6n si para todo espacjo (f, q ) sabre K y todosubespacio lineal VC F con una aplicaci6n -tineal..i~VJ: v' -:7 "~"pa'~a~racual 'secumple. ,!,:r()D(x))~q(x) x~ Vexiste un~extensi6nf: F :> E que satisface ., ; . "'cp ctO<}}$ q(x):, .. ,x~F:,,1.~. -(E;, P)','tiene .l~.propiedad· de exten~i~n <f 7/ .(E s P).es esf~ricamen:t:.e' compLeto, Tomando E.=· K, resul ta e1t.eo rema de H. B'~ cLasf co, :(Fu~ mos't rado .po r Tngleton).-El teorema es basf.co para la existencia de·sufidentes fun-cionales. Se puede mostiar f~eilmenteque si ,el cuerpo no ese.e. existe pOl' 10 menos un E.L.N. n.a euyo dual se reducea tOr.4. EXISTENCIADE BASESENE.L.N. n.aUna de las mayores dificultades que se presenta E8 el heehode que e1 grupo de valores no tiene que ser todo \\«+.Sea Np = 1.P( x) : x -E E r NK= {l a\ : a E K rDe la relaci6n p (ax) = \ a\ ~ (x) rcsul.t a que NKNpC Np'La re1aci6n 'NKNp = NKno es eorreeta pOl' 10 general, p 1'aK = IR es cor-rect a, Esto ti.ene por consecuencf a que no todovector es normable.- Def: Sea E un E.L.N. n; a, Una familia (eo)o E:"r enE se Ll.amara una base de E si todo xE E pGede s~r ex-presado de manera tirrica, en la forma0::>- 135 -donde 1a convergencia se entiende en el sentido de la normay de manera que:4.2 - Se puede mostrar la existencia en los siguientes ca-sos:1) Sea la valuaci6n de K discreta:Toda sucesi6n estrictamente decreciente en Nge contra O.2) Sea K esf~ricamente completo.E es separable, esto es, existe un subespacio denume-rable denso.Se puede probar adem~s:~ - Si E es un E.B. n.a de dimensi6n infinita y la normano cumple la condici6n en 4.2 1, entonces si E tieneuna base, E no puede ser e.c.Si aplicamos este teorema al ejemplo 2, i) suponiendo que Kcoes e.c ~ e es e.c. se obtiene.Si la valuaci6n de K no es discreta y K es e.c., entoncesningan espacio de dimensi6n infinita del tipo eco sobre Ktiene una base.5. APLI CACI ONES5.1 Operadores lineales: Se han estudiado en particularaplicaciones compactas, c-compactas, Operadores deFredholm y Alhinson.La teorfa de Riesz-Schauder para espacios normados y gene-ralizaci6n a espacios local K-convexos. (Definidos por se-rninormas n, a).� 136 -Monna = Serve - Gruson - Van Tiel - Madlener.502 ~ntegraci6n de funciones definidas sobre un espaciotopo16gico local compacta X con vectares en K fue de-sarrollada en analogfa con e1 m~todo de Bourbaki.Existencia de una medida de Haar se complica m~s que en elcaso real ya que entra una dependencia de la caracter!sticadel cuerpo.Monna - Spring~r T.A - TomasF.-Bruhat.~ Teorfa de funciones de una y m~s variables.Gravert - Remmert.~o4 Varios problemas como m~todos de sumaci6n, espaciosnormados sabre cuerpos valuados trivialmente~ Alge~de funciones cont!nuas. Algebras de operadores, es-tructura.La literatura se 'encuentra en su mayor parte en:Proc. Kon. Ned. Ahad. V. Wetensch 1.943Ind. Math.

Espacios vectoriales topológicos sobre cuerpos no arquimedianamente valuados

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