Fan和Zeng在[1]中提出了S-λ基函数和S-λ曲线的概念，并指出可以通过扰动生成函 数系数来对S-λ曲线形状进行调整。本文在此基础上进一步给出了当对生成函数单一系 数进行扰动时，扰动后的曲线与原曲线之间的相应关系以及两者到控制顶点的距离之 间的关系。对两类特殊控制多边形结构的三次Bezier曲线受到扰动后曲线变化情况做了 相应的分析，并给出了曲线变化的趋势。 另一方面，针对经典的Bezier曲线在控制顶点给定，曲线就唯一固定，缺乏进一步 调整曲线形状能力的这一状况，本文给出了一种带两个形状参数的Bezier曲线。这种带 形状参数的Bezier曲线保留了经典Bezier曲线的...In [1], Fan and Zeng introduced S-λ bases and S-λ curves, they also pointed out that we can adjust the shape of S-λ curves through disturbing the coefficients of generating function. In this paper, we do a further research on this method and give some conclusions about the relationships between the after-disturbing curve and the normal curve and the function of distance between the two curve and a...学位：理学硕士院系专业：数学科学学院_概率论与数理统计学号：1902010115250

Buonanno, A.

Schnittman, J.

arXiv

We calculate the linear momentum flux from merging black holes (BHs) with arbitrary masses and spin orientations, using the effective-one-body (EOB) model. This model includes an analytic description of the inspiral phase, a short merger, and a superposition of exponentially damped quasi-normal ringdown modes of a Kerr BH. By varying the matching point between inspiral and ringdown, we can estimate the systematic errors generated with this method. Within these confidence limits, we find close agreement with previously reported results from numerical relativity. Using a Monte Carlo implementation of the EOB model, we are able to sample a large volume of BH parameter space and estimate the distribution of recoil velocities. For a range of mass ratios 1 <= m_1/m_2 <= 10, spin magnitudes of a_{1,2}=0.9, and uniform random spin orientations, we find that a fraction f_{500}=0.12^{+0.06}_{-0.05} of binaries have recoil velocities greater than 500 km/s and f_{1000}=0.027^{+0.021}_{-0.014} have kicks greater than 1000 km/s. These velocities likely are capable of ejecting the final BH from its host galaxy. Limiting the sample to comparable-mass binaries with m_1/m_2 <= 4, the typical kicks are even larger, with f_{500}=0.31_{-0.12}^{+0.13} and f_{1000}=0.079^{+0.062}_{-0.042}

MPG.PuRe

English

The Distribution of Recoil Velocities from Merging Black Holes

王友智

Xiamen University Institutional Repository

学校编码：10384 分类号 密级学号：19020101152503 UDC硕 士 学 位 论 文S-λ曲线的调整方法及带两个形状参数的Bézier曲线Adjustment Method of S-λ Curves and BézierCurves with 2 Shape Parameters王友智指导教师姓名： 曾 晓 明 教授专 业 名 称： 概率论与数理统计论文提交日期： 2013 年 月论文答辩日期： 2013 年 月学位授予日期：答辩委员会主席：评 阅 人：2013 年 5 月厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学学位论文原创性声明兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。声明人（签名）：年 月 日厦门大学博硕士论文摘要库厦门大学学位论文著作权使用声明本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。本学位论文属于　　1、保密 （ ），在 年解密后适用本授权书。　　2、不保密（ ）作者签名： 日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日厦门大学博硕士论文摘要库中文摘要中文摘要Fan和Zeng在[1]中提出了S-λ基函数和S-λ曲线的概念，并指出可以通过扰动生成函数系数来对S-λ曲线形状进行调整。本文在此基础上进一步给出了当对生成函数单一系数进行扰动时，扰动后的曲线与原曲线之间的相应关系以及两者到控制顶点的距离之间的关系。对两类特殊控制多边形结构的三次Bézier曲线受到扰动后曲线变化情况做了相应的分析，并给出了曲线变化的趋势。另一方面，针对经典的Bézier曲线在控制顶点给定，曲线就唯一固定，缺乏进一步调整曲线形状能力的这一状况，本文给出了一种带两个形状参数的Bézier曲线。这种带形状参数的Bézier 曲线保留了经典Bézier曲线的优良性质，并且可以通过改变形状参数的取值来调整曲线的形状。另外这两个形状参数还具有明显的几何意义。最后通过例子说明了与[23]中带一个形状参数的Bézier 曲线相比，在形状调整中具有更高的自由度。关键词：S-λ曲线；生成函数；形状调整；Bézier曲线；形状参数I厦门大学博硕士论文摘要库AbstractAbstractIn [1], Fan and Zeng introduced S-λ bases and S-λ curves, they also pointed out thatwe can adjust the shape of S-λ curves through disturbing the coefficients of generatingfunction. In this paper, we do a further research on this method and give some conclusionsabout the relationships between the after-disturbing curve and the normal curve andthe function of distance between the two curve and a corresponding control point whendisturbing a single coefficients of the generating function. At the end, 2 kinds of 3 timesBézier curves with specific control polygon is given.Besides, when the control points are given, the shape of the classical Bézier curve isuniquely decided. For remedying this, a kind of Bézier curve with 2 shape parametersare given, which not only hold the excellent properties of the classical Bézier curve, butalso do the shape of the curve can be changed through adjusting the shape parameters.Finally, we illustrate that the curve in this paper has higher degree of freedom in theshape adjustment compared to the Bézier Curve with a shape parameter in [23] throughan example.Key words: S-λ Curves; Generating Function; Shape Change; Bézier Curves; ShapeParametersII厦门大学博硕士论文摘要库目 录目 录中文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I英文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II中文目录 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III英文目录 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV第一章 绪论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 背景介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 本文主要内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2第二章 S-λ曲线的调整方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1 S-λ基函数和S-λ曲线简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 扰动生成函数系数后S-λ曲线变化趋势 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 通过扰动生成函数系数调整Bézier曲线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10第三章 带两个形状参数的Bézier曲线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1 基函数的构造及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 带两个形状参数的Bézier曲线及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22第四章 总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30致谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32III厦门大学博硕士论文摘要库目 录ContentsChinese Abstract IEnglish Abstract IIChinese Contents IIIEnglish Contents IV1 Introduction 11.1 background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 The main contents of this article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Adjustment Method of S-λ Curves 32.1 S-λ bases and S-λ curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 The shape of S-λ curves with disturbance on generating function’scoefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Adjustment of Bézier curves through disturbance of generatingfunction’s coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Bézier Curves with 2 Shape Parameters 143.1 Construction of basis functions and its propositions . . . . . . . . . . . . . 143.2 Bézier curve with 2 shape parameters and its propositions . . . . . . . . 224 Conclusion 29References 30IV厦门大学博硕士论文摘要库目 录Acknowledgements 32V厦门大学博硕士论文摘要库第一章 绪论第一章 绪论1.1 背景介绍计算机辅助几何设计，简称CAGD，是一门伴随着CAD而发展的数学与计算机科学交叉融合产生的学科，其中曲线曲面造型是计算机辅助几何设计和计算机图形学等领域的重要研究内容，主要研究在计算机环境下曲线曲面的表示、设计、显示和分析等，涉及到计算机动画、科学计算的可视化、图像处理、计算机视觉等众多学科，具有广泛的应用背景。1962年贝齐尔（Pierre Bézier）提出了CAGD中最重要的基函数之一Bézier基函数，而在1959年，德卡斯特罗（Paul de Casteljau）则更早的给出了计算Bézier曲线的deCasteljau’s算法。另一个在CAGD中应用十分广泛的基函数是B样条基函数，1947年舍恩伯格（I.J.Schoenberg）提出了B样条的一般理论。1972年，德布尔（de Boor）给出了B样条的标准计算方法，1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条用于形状描述，提出了B样条曲线曲面， 1975年，福斯普利尔（Versprill）提出了有理B样条方法。80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条方法，并成为当前自由型曲线曲面描述最广为流行的数学方法。此后由于有理多项式形式的限制及实用上存在的缺点，研究者们开始为寻找新的基函数而进行着不断的努力。一方面由于Bézier曲线具有良好的性质，但在给定控制顶点的条件下，曲线形状即唯一确定。许多研究者在Bézier基函数的基础上进行了各种推广，得到了一些带形状参数的类Bézier基函数和曲线[10-24]，使得可以在保持控制顶点不变的条件下，通过调节形状参数来调整曲线形状。1厦门大学博硕士论文摘要库第一章 绪论另一方面Goldman等人提出了一系列离散型的概率造型基函数，包括负Bernstein基函数、 Poisson基函数等。在[1]中，Fan和Zeng提出了S-λ基函数和S-λ曲线的概念，将之前这些基于离散型概率分布而得到的各种基函数和曲线曲面统一在S-λ框架下来集中进行研究。1.2 本文主要内容本文共有四个章节的内容。第一章介绍了计算机辅助几何设计这门学科的发展以及本文的研究背景，并介绍了本文的主要内容。第二章首先介绍了S-λ基函数和S-λ曲线的概念，然后对Fan和Zeng在[1]中提出的通过扰动生成函数系数来调整S-λ曲线形状这一想法进行了进一步研究，并得到了一些结论。证明了当对生成函数Sn(t)的j次项系数进行扰动时，扰动后的曲线与原曲线之间的具体关系以及两者到控制顶点Vj的距离之间的关系，最后给出了具体的例子，对两类特殊结构的三次Bézier曲线，对其生成函数系数进行扰动时曲线的整体的变化趋势做了相应的分析。第三章首先构造了一种带有两个形状参数的Bézier基函数，在此基础上定义了一种带有两个形状参数的 Bézier曲线C(t)，并给出了此基函数和曲线的一些基本性质。最后对形状参数的几何意义进行了相应的分析。第四章对本文进行了总结，并展望了进一步的研究方向。2厦门大学博硕士论文摘要库第二章 S-λ曲线的调整方法第二章 S-λ曲线的调整方法2.1 S-λ基函数和S-λ曲线简介本节内容主要节选自[1]。对任意给定的非负整数l，设A = {Aj}lj=0为非负整数序列，令 A(n) ={A(n)j }nlj=0为A的n次卷积序列，显然A(n)也是非负整数序列。定义 2.1： 对任意给定的非负整数l和正整数n，定义A(n)的生成函数如下：Sn(t) = [S(t)]n =nl∑j=0A(n)j tj (2-1)并且我们设Sn(t)的收敛半径为R，Sn(0) = 1。显然由Sn(0) = 1可知，A(n)0 恒等于1。定义 2.2： 对任意给定的非负实数R1，R，设λ(t)是[0, R1)上的连续严格单调递增函数，值域为[0, R)，则称λ(t)为变换因子。由上述生成函数和变换因子的定义可得定义 2.3： 令Pn,j(t) =A(n)j [λ(t)]jSn[λ(t)]t ∈ [0, R1) j = 0, 1, . . . , nl (2-2)显然我们有Pn,j(t) ≥ 0，∑nlj=0 Pn,j(t) = 1。我们称Pn,j(t)为S-λ基函数。根据S-λ基函数的定义，选择不同的生成函数和变换因子，我们可以得到不同的具体的S-λ基函数。 S-λ基函数具有一些和Bézier基函数类似的性质，例如：• 非负性• 单位分解性3厦门大学博硕士论文摘要库第二章 S-λ曲线的调整方法• 边界插值性• 单峰性定义 2.4： 对任意给定的S-λ基函数{Pn,j(t)}nlj=0，我们定义如下的S-λ曲线C(t) =nl∑j=0Pn,j(t)Vj (2-3)其中V = {Vj}nlj=0为控制定点序列。S-λ曲线也具有以下类似于Bézier曲线的重要性质：• 仿射不变性• 凸包性质• 非退化性• 插值于第一个控制顶点• 变差缩减性2.2 扰动生成函数系数后S-λ曲线变化趋势曲线曲面的形状调整技术一般包括控制顶点调整、节点向量调整或是对基函数加入形状参数调节因子。而对于上述提出的S-λ曲线曲面需要用到生成函数这一概念，[1]中提出了一种通过扰动生成函数系数来对S-λ 曲线进行形状调整的思想。首先我们引入如下定义：定义 2.5： 空间中一条曲线C(t)与一个定点Vj之间的距离是指曲线上的点与Vj距离的最小值。即d(C(t), Vj) = min{d(C(t0), Vj) , t0 ∈ D}其中D为C(t)的定义域。4厦门大学博硕士论文摘要库第二章 S-λ曲线的调整方法而由于S-λ基函数的单峰性质，若Pn,j(t)的极值点对应的参数为tj,则说明曲线C(t)上受控制顶点Vj影响最大的点是C(tj)，因此对C(t)来说，C(tj)距离控制顶点Vj的距离最短。我们定义该距离为S-λ曲线C(t)与控制顶点Vj之间的距离。给定一条S-λ曲线C(t) =nl∑j=0Pn,j(t)Vj (2-4)其生成函数为Sn(t) =∑nlj=0 A(n)j tj，变换因子为λ(t)，t ∈ R0， {Vj}nlj=0为控制顶点序列。现在我们来考虑在控制顶点序列不发生变化的条件下，对生成函数Sn(t)的第j0个系数进行扰动时，曲线C(t)的变化趋势。设扰动参数为ε，其中ε > 0。记扰动后的曲线为Ĉ(t)。记Ĉ(t)的生成函数为Ŝn(t) =∑nlj=0 Â(n)j tj，则有Â(n)j = A(n)j if j ̸= j0A(n)j0+ ε if j = j0(2-5)因此可得Ŝn(t) = A(n)0 + A(n)1 t+ · · ·+ (A(n)j0+ ε)tj0 + · · ·+ A(n)nl tnl= Sn(t) + εtj0(2-6)记Ĉ(t)的基函数为P̂ n,j(t)，则有P̂ n,j(t) =A(n)j [λ(t)]jSn(t) + ε[λ(t)]j0if j ̸= j0(A(n)j0+ ε)[λ(t)]j0Sn(t) + ε[λ(t)]j0if j = j0(2-7)Ĉ(t)可表示为Ĉ(t) =nl∑j=0P̂ n,j(t)Vj (2-8)5厦门大学博硕士论文摘要库第二章 S-λ曲线的调整方法易证Ĉ(t)仍为S-λ曲线。以下我们将通过曲线到控制顶点的距离来度量扰动前后S-λ曲线的变化趋势，首先我们引入下述引理：引理 2.1： C(t)和Ĉ(t)是由式(2-4)和(2-8)定义的两条S-λ曲线，则对任意参数t0 ∈ R0，Ĉ(t0)可表示为C(t0)和Vj0的线性组合Ĉ(t0) =Sn[λ(t0)]Sn[λ(t0)] + ε · [λ(t0)]j0· C(t0) +ε · [λ(t0)]j0Sn[λ(t0)] + ε · [λ(t0)]j0· Vj0 (2-9)其中Sn(t) =∑nlj=0 A(n)j tj。证明： 对任意一点t0 ∈ R0，我们有Ĉ(t0) =nl∑j=0P̂ n,j(t) · Vj=∑j ̸=j0P̂ n,j(t) · Vj + P̂ n,j0(t) · Vj0=∑j ̸=j0A(n)j [λ(t)]jSn[λ(t)] + ε[λ(t)]j0· Vj +(A(n)j0+ ε)[λ(t)]j0Sn[λ(t)] + ε[λ(t)]j0· Vj0=nl∑j=0A(n)j [λ(t)]jSn[λ(t)] + ε[λ(t)]j0· Vj +ε[λ(t)]j0Sn[λ(t)] + ε[λ(t)]j0· Vj0=Sn[λ(t)]Sn[λ(t)] + ε[λ(t)]j0·nl∑j=0A(n)j [λ(t)]jSn[λ(t)]· Vj +ε[λ(t)]j0Sn[λ(t)] + ε[λ(t)]j0· Vj0=Sn[λ(t0)]Sn[λ(t0)] + ε · [λ(t0)]j0· C(t0) +ε · [λ(t0)]j0Sn[λ(t0)] + ε · [λ(t0)]j0· Vj0即引理得证。 引理 2.2： C(t)和Ĉ(t)分别是由式(2-4)是由式(2-8)定义的两条S-λ曲线，则有：• C(t)到控制顶点Vj距离最近的点的参数t满足：j · Sn[λ(t)]− λ(t) ·dSn[λ(t)]dλ(t)= 0 (2-10)6厦门大学博硕士论文摘要库第二章 S-λ曲线的调整方法• Ĉ(t)到控制顶点Vj的距离最近的点参数t满足：j · Sn[λ(t)]− λ(t) ·dSn[λ(t)]dλ(t)+ ε · (j − j0) · λ(t)j0 = 0 (2-11)并且解都具有唯一性。证明： 由之前分析可知，曲线C(t)上到控制顶点Vj距离最近的点对应的参数即为当Pn,j(t)取最大值时的参数。并且由Pn,j(t)的单峰性可知；得到的关于参数t的方程解存在并且是唯一的。对基函数Pn,j(t) =A(n)j [λ(t)]jSn[λ(t)]求导，并令d[Pn,j(t)]dt=dA(n)j [λ(t)]jSn[λ(t)]dt=[A(n)j · j · [λ(t)]j−1 · Sn([λ(t)])− A(n)j · [λ(t)]j ·dSn[λ(t)]dλ(t)] · dλ(t)dt[Sn[λ(t)]]2=A(n)j · [λ(t)]j−1 · [j · Sn[λ(t)]− λ(t) ·dSn[λ(t)]dλ(t)] · dλ(t)dt[Sn[λ(t)]]2= 0即得到j · Sn[λ(t)]− λ(t) ·dSn[λ(t)]dλ(t)= 0同理可得：曲线Ĉ(t)上到控制顶点Vj距离最近的点对应的参数即为当P̂ n,j(t)取最大值时的参数。并且关于参数t的方程解也是存在并且是唯一的。由式(2-7)可得Ĉ(t)对应于控制顶点Vj的基函数为P̂ n,j(t) =(A(n)j + ε)[λ(t)]jSn(t) + ε[λ(t)]j7厦门大学博硕士论文摘要库第二章 S-λ曲线的调整方法令d[P̂ n,j0(t)]dt= 0即有j · Ŝn[λ(t)]− λ(t) ·dŜn[λ(t)]dλ(t)= 0将式(2-7)带入上式有j · [Sn[λ(t)] + ε · [λ(t)]j]− λ(t) ·d[Sn[λ(t)] + ε · [λ(t)]j]dλ(t)= 0化简后得到j · Sn[λ(t)]− λ(t) ·dSn[λ(t)]dλ(t)+ ε · (j − j0) · λ(t)j0 = 0首先我们来考虑当对生成函数Sn(t)的第j0个系数进行扰动ε时，曲线到控制顶点Vj0距离将如何变化。由上述引理2.1及2.2，我们可以得到如下结论：定理 2.1： C(t)和Ĉ(t)是由式(2-4)和(2-8)定义的两条S-λ曲线，则C(t)和Ĉ(t)到控制顶点Vj0 的距离有如下关系d(Ĉ(t), Vj0) =Sn[λ(t0)]Sn[λ(t0)] + ε · [λ(t0)]j0d(C(t), Vj0) (2-12)其中t0是方程j0 · Sn[λ(t)]− λ(t) ·dSn[λ(t)]dλ(t)= 0的唯一解。8厦门大学博硕士论文摘要库Degree papers are in the “Xiamen University Electronic Theses and Dissertations Database”. 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