Verscheidene actoren van het verzekeringswezen dringen sterk aan om het verplicht eenvormig bonus-malus stelsel in de verzekering B.A.-auto te behouden. In deze nota wordt aan de hand van een theoretisch voorbeeld aangetoond dat dit standpunt vanuit actuariëel oogpunt onhoudbaar is.

Dhaene, Jan

Kools, O

Van Dingenen, G

Vanduffel, Steven

Verlaak, R

Dutch

Research Papers in Economics

DEPARTEMENT TOEGEPASTE 
ECONOMIS.CHEWETENSCHAPPEN 
ONDERZOEKSRAPPORT  NR 9633 
Actuariele bedenkingen bij eeneenvormig opgelegd 
bonus-malus stelsel 
door 
Jan Dhaene 
Geert Van Dingenen 
Oscar Kools 
Steven Vanduffel 
RobertVerlaak 
It~+~ 
tI  ~ 
~  .~ 
~  i  m  C:i 
~  ~ 
~  g 
~  1425~~ 
~~.  c~· 
.....  .1(~ 
Katholieke Universiteit Leuven 
Naamsestraat 69,  8-3000  Leuven ONDERZOEKSRAPPORT  NR  9633 
Actuariele bedenkingen bij een eenvormig opgelegd 
bonus-malus stelsel 
0/1996/2376/33 
door 
Jan Dhaene 
Geert Van Dingenen 
Oscar Kools 
Steven Van  duffel 
Robert Verlaak ActuariEHe bedenkingen bij een eenvormig opgelegd 
bonus-malus stelsel 
Jan Dhaene*  Geert Van Dingenen* 
Oscar Koolst  Steven Vanduffel*  Robert Verlaak§ 
ABSTRACT.  Verscheidene  actoren  van  het  verzekeringswezen  dringen  sterk aan 
om  het  verplicht  eenvormig  bonus-malus  stelsel  in  de  verzekering  B.A..-auto  te 
behouden.  In  deze  nota  wordt  aan  de  hand  van  een  theoretisch  voorbeeld 
aangetoond  dat  dit  standpunt  vanuit  actuarieel  oogpunt  onhoudbaar  is. 
1. Inleiding 
De  markt van  de autoverzekering in  8elgie wordt vandaag gekenmerkt door 
een  tarificatie  a  priori  die  grotendeels  vrij  is,  dat  wil  zeggen  dat  iedere 
verzekeraar over een grote vrijheid beschikt aangaande de mate waarin hij a 
priori segmenteert. Anderzijds wordt er een verplicht eenvormig bonus-malus 
stelsel  opgelegd,  onafhankelijk van  de  a  priori  tarificatie.  Met  de  verplichte 
eenvormigheid  van  het  bonus-malus  stelsel  bedoelen  we  dat  het  aantal 
klassen, de overgangsregels en de relatieve verhoudingen van  de premies in 
de verschillende klassen vast ligt. 
Vanuit  verschillende  hoeken  wordt  sterk  aangedrongen  om  dit  verplicht 
eenvormig bonus-malus stelsel te behouden. 
In  deze  nota  bekijken  we  deze  wens  vanuit  een  zuiver actuarieel  oogpunt. 
Aan de hand van een (theoretisch) voorbeeld zullen we  aantonen dat er een 
verband dient te bestaan tussen de  a priori segmentatie en  het te gebruiken 
bonus-malus  stelsel:  hoe  beter men  de  premies  kan  bepalen  ex  ante,  hoe 
minder  behoefte  er  is  voor  ex  post  aanpassingen  aan  de  hand  van  een 
bonus-malus  stelsel.  Indien  echter  een  eenvormig  bonus-malus  stelsel 
opgelegd  wordt,  dan  zal  dit voor het vrijwaren  van  het financieel  evenwicht 
noodzakelijk verband tussen de a priori en de a posteriori tarificatie verbroken 
worden, hetgeen kan leiden tot ongerijmdheden. 
Uiteraard  dient  bij  de  te  nemen  beslissing  over  een  al  dan  niet  opgelegd 
bonus-malus stelsel ook rekening gehouden te worden met andere dan zuiver 
technische  overwegingen.  Toch  zijn  we  er van  overtuigd  dat  het technisch 
argument ter zake  €len  van  de belangrijkste overwegingen vormt in  de ganse 
discussie . 
• K.U.Leuven 
t  Generali Belgium 
+COBAC 
*  Boels & Begault Re 
Actuariele bedenkingen bij een eenvormig opgelegd bonus-malus stelsel 2. Theoretisch voorbeeld 
Situatie 1 
Beschouwen  we  een  verzekeringsportefeuille  bestaande  uit  twee  soorten 
risico's: 
•  De  risico's  A  kunnen  gedurende  ieder jaar of  we I aanleiding  geven  tot  0 
schadegevallen  (met  kans  3/4)  of  we I  1 schadegeval  (met  kans  1/4).  De 
grootte van deze schadegevallen is steeds 16.000. De gemiddelde schade 
per observatieperiode bedraagt dus 4.000. 
•  De risico's B kunnen in ieder jaar aanleiding geven tot 0 of  1 schadegeval, 
be ide met kans  1/2.  De  grootte van  de schadegevallen  is  steeds  10.000. 
Voor deze risico's is de gemiddelde schadelast dus gelijk aan 5.000. 
•  In  de  portefeuille  treden  beide  types  van  risico's  even  frequent  op.  Dit 
betekent dat de kans dat een willekeurig verzekerd risico van het type A is, 
gelijk is aan  1/2. 
Het  bonus-malus  stelsel  dat  de  verzekeraar  toepast  wordt  als  voigt 
gekarakteriseerd: 
•  Er  zijn  drie  klassen  met  de  volgende  premieniveau's  (in  %): 
klasse 
3 
2 
1 
premieniveau (in %) 
141 
100 
62 
Tabel 1: Premieniveau's (in %) 
•  In  een  schadevrij  jaar daalt  de  bonus-malus  graad  van  het  betreffende 
risico met  1.  Is er een schadegeval, dan stijgt de bonus-malusgraad met 2. 
•  Bij inschakeling in  het systeem wordt ieder risico geplaatst in  klasse 2 met 
basispremie 4.500. We bekomen dus de volgende premies: 
klasse 
3 
2 
1 
premie 
6.345 
4.500 
2.790 
Tabel 2:  Premies in de eerste situatie. 
Actuariele bedenkingen bij een eenvormig opgelegd bonus-malus stelsel  2 Men  kan  op  eenvoudige  wijze  aantonen  dat  dit  bonus-malus  systeem 
stabiliseert na twee periodes, dat wil zeggen dat voor beide types van risico's 
(A  en  B)  de kans  om  in  een  welbepaalde  klasse te  zitten  na twee  of  meer 
observatieperiodes  onafhankelijk  is  van  de  beginsituatie.  Deze  kansen 
worden gegeven in de volgende tabel. 
Klasse  kansen 
risico's A 
3  4/16 
2  3/16 
1  9/16 
Tabel 3: Limietwaarschijnlijkheden 
kansen 
risico's B 
2/4 
1/4 
1/4 
Uit deze cijfers blijkt dat de risico's A (met de laagste schadefrequenties) zich 
hoofdzakelijk in  de laagste klassen zullen bevinden terwijl de  risico's  B (met 
de  hoogste schadefrequenties) meest kans  zullen  hebben  om  in  de  hogere 
klassen gerangschikt te zijn. 
Na  stabilisatie  (dat  wil  zeggen  na  minstens  twee  periodes)  bedraagt  de 
verwachte premie-inkomst voor een risico van het type A dus 
6.345 x (4/16)  +  4.500 x (3/16)  + 2.790 x (9/16)  = 4.000 
hetgeen  juist  gelijk  is  aan  de  verwachte  schade  voor  dit  risico.  Analoog 
bekomt men dat de verwachte premie-inkomst van  de risico's B gelijk is aan 
hun verwachte schade. 
Het  bonus-malus  systeem  is  dus  (na  twee  periodes)  in  evenwicht:  het 
verwachte premie-inkomen (berekend met de stationaire kansen) is gelijk aan 
de verwachte schade voor ieder risico. 
Definieren  we  nu  het  begrip  subsidierende  solidariteit  tussen  verschillende 
types  van  risico's  als  het  fenomeen  waarbij  een  bepaald  type  van  risico's 
gemiddeld  meer premie betaalt dan  zijn  verwachte schade terwijl  het ander 
type van risico's gemiddeld minder premie betaalt dan zijn verwachte schade. 
We  kunnen  dan  stellen  dat  er  in  de  hierboven  geschetste  situatie  geen 
subsidierende solidariteit optreedt, dat wil zeggen dat geen enkele risicogroep 
(gemiddeld gezien) systematisch teveel betaalt teveel betaalt ten gunste van 
een andere risicogroep. 
Situatie 2 
Veronderstellen  we  nu  dat  dezelfde  verzekeraar  de  ene  risicoklasse  uit 
situatie 1 wenst op te splitsen in  twee meer homogene risicoklassen.  Hiertoe 
beschikt hij over een segmentatiecriterium waardoor beide types van  risico's 
in  grote  mate  kunnen  onderscheiden  worden.  We veronderstellen  dat  het 
Actuariele bedenkingen bij een eenvormig opgelegd bonus-malus stelsel  3 gebruikte segmentatiecriterium leidt tot twee  risicoklassen  I en  II.  Dit a priori 
segmentatiecriteriumis echter niet perfect zodat risicoklasse  I niet uitsluitend 
risico's  van  het type  A  bevat.  Meer concreet  zullen  we  veronderstellen  dat 
90% van  de risico's A in  risicoklasse I gerangschikt worden terwijl  10 % van 
deze risico's in  risicoklasse  II  terechtkomen. Van  de  risico's  B wordt 90% in 
risicoklasse  II  geplaatst  en  10  %  in  klasse  I.  Het  gebruikte 
segmentatiecriterium  is  dus  niet  perfect  maar  brengt  toch  een  belangrijk 
scheidingseffect teweeg. 
In  plaats van voor aile risico's een basispremie op te leggen (zoals in situatie 
1)  beslist de verzekeraar om  a priori te segmenteren door de basispremie te 
differentieren.  Hij  blijft  echter  gebruik  maken  van  het  verplicht  opgelegde 
bonus-malus  stelsel  zoals  weergegeven  in  Tabel  1  met  overgangsregels 
zoals hierboven beschreven. 
V~~r de risicoklasse I bedraagt de basispremie (in  de startklasse)  4.200. De 
risico's in  de klasse II  daarentegen betalen in  klasse 2 een premie gelijk aan 
4.756. 
We bekomen dan de volgende waarden voor de absolute premie's voor beide 
types risico's: 
klasse  premie  premie 
risicoklasse I  risicoklasse II 
3  5.922  6.706 
2  4.200  4.756 
1  2.604  2.949 
Tabel 4: Premies in systeem met a priori segmentatie. 
In  dit geval  bedraagt het verwachte  premie-inkomen  voor de  risico's  A  (na 
stabilisatie) 
0,9 x {5.922 x (4/16)  +  4.200 x (3/16)  + 2.604 x (9/16)}  + 
0,1 x {6.706 x (4/16)  +  4.756 x (3/16)  + 2.949 x (9/16)} 
= 3.782 
Analoog bekomt men dat (na stabilisatie) het verwachte premie-inkomen van 
de risico's B gelijk is aan 5.218. 
Bekijken we  nu  de invloed van  het invoeren van  de  a priori  segmentatie op 
het globale niveau. 
Aangezien  beide types van  risico's  optreden met kans  1/2,  is  het verwachte 
premie-inkomen voor een willekeurig risico gelijk aan 
3.782 x (1/2)  +  5.218 x (1/2)  =  4.500 
Actuariele bedenkingen bij een eenvormig opgelegd bonus-malus stelsel  4 Oit bed rag is gelijk aan de verwachte schade van een willekeurig risico. 
We kunnen dus besluiten dat ook na de invoering van de a priori segmentatie 
het globaal budgettair evenwicht van  de portefeuille behouden blijft,  door de 
basispremies voor beide risicoklassen op de gepaste wijze te kiezen. 
Indien  we  echter  de  effecten  per  risicocategorie  afzonderlijk  bekijken  dan 
blijkt dat de risico's B in  het nieuwe systeem gemiddeld 5.218 - 5.000  =  218 
fr. te veel betalen. De risico's A daarentegen betalen gemiddeld 4.000 - 3.782 
=  218fr. te weinig! 
Hieruit  voigt  dat  er  door  het  invoeren  van  de  a  priori  segmentatie  een 
subsidierende solidariteit optreedt van de risico's B naar de risico's A: het ene 
type van risico's betaalt (gemiddeld) teveel ten gunste van het andere type. 
Hoe  kan  de verzekeraar nu  uit  deze  impasse  geraken,  m.a.w.  hoe  kan  hij 
zorgen voor evenwicht voor ieder type van risico? 
Indien hij  verplicht is  om  hetzelfde bonus-malus systeem te behouden,  dan 
zal  hij  voor  beide  risicocategorieen  eenzelfde  basispremie  dienen  aan  te 
rekenen. Oit betekent dat hij feitelijk terug zal dienen over te stappen naar het 
eerste systeem zonder segmentatie a priori. 
Indien hij echter wenst de a priori segmentatie te behouden dan is theoretisch 
de  enige  zinvolle  oplossing  deze  waarbij  de  verzekeraar  overstapt  op  een 
nieuw  bonus-malus  systeem.  Hiervoor  zijn  verschillende  oplossingen 
mogelijk. Zo kan hij bijvoorbeeld voor iedere risicocategorie een ander bonus-
malus systeem (met andere bonus-malus regels) invoeren. 
Veronderstellen  we  nu  echter  dat  de  eenvormigheid  van  het  opgelegde 
bonus-malus  stelsel  als  voigt  afgezwakt  wordt:  de  drie  graden  en  de 
overgangsregels  van  het  oorspronkelijke  bonus-malus  systeem  dienen 
behouden  te  worden,  maar de  relatieve  premieniveau's  (in  %)  kunnen  vrij 
gekozen worden. 
Het  volgende  bonus-malus  systeem,  sam en  met  de  gedifferentieerde 
basispremies  zoals  hierboven  gegeven,  zal  dan  zorgen  voor  evenwicht 
binnen ieder type van risico's, en dus ook voor een globaal evenwicht: 
klasse 
3 
2 
1 
premieniveau (in %) 
123,3 
100 
79 
Tabel 5: Premieniveau's (in %) 
Inderdaad, voor risico's A bekomen we  dat de verwachte premie-inkomst nu 
gelijk is aan 
ActuariiHe bedenkingen bij een eenvormig opgelegd bonus-malus stelsel  5 O,9x4.200x{1,233x(4/16)  +  1 x (3/16)  +  O,79x(9/16)}  + 
0,1 x 4.756 x {1,233 x (4/16)  +  1 x (3/16)  +  0,79 x (9/16)} 
=  4.000 
Analoog  bekomt  men  dat  de  verwachte  premie-inkomst  voor  de  risico's  8 
gelijk is aan 5.000. 
Men  kan  gemakkelijk  aantonen  dat  dit  evenwicht  per  type  nSlco  (A  en  8) 
eveneens  een  evenwicht  per  risicoklasse  (I  en  II)  impliceert.  Zowel  in 
risicoklasse I als  II  is het verwachte premie-inkomen gelijk aan de verwachte 
schade. 
Een vergelijking van de tabellen  1 en  5 leert dat de invoering van bijkomende 
a  priori  segmentatie  (bij  behoud  van  het  aantal  klassen  en  de 
overgangsregels) noodzakelijkerwijze leidt tot een afzwakking van  de vereiste 
bonussen en malussen. 
In  het theoretisch  geval  dat de  verzekeraar a priori  perfect beide types van 
risico's zou kunnen onderscheiden, wordt het gebruik van eender welk bonus-
malus stelsel,  strikt actuarieel gezien,  zelfs totaal overbodig.  Inderdaad, een 
constante  premie  van  4.000 voor de  risico's  A  en  5.000 voor de  risico's  8 
zorgt onmiddellijk voor evenwicht tussen ontvangsten en uitgaven. 
3. Besluiten 
Vooreerst  willen  we  duidelijk stell en  dat  we  het  nut  van  een  bonus-malus 
systeem op  geen enkele wijze betwisten.  In  de praktijk bestaat immers geen 
perfecte a priori segmentatie, zodat er steeds in  iedere risicocategorie die de 
verzekeraar onderscheidt  nog  heterogeniteit  aanwezig  is.  In  dit geval  zorgt 
een  aangepast  bonus-malus  systeem  er voor dat  ieder type  risico  premies 
betaalt die min of meer in overeenstemming is met zijn verwachte schade. 
In  de  discussie  over het  al  dan  niet  behouden  van  een  verplicht  opgelegd 
eenvormig  bonus-malus  systeem  worden  echter  vaak  argumenten 
aangehaald die slechts het nut van  een bonus-malus systeem aantonen, niet 
het nut van  een opgelegde eenvormigheid. Zo stelt men bijvoorbeeld dat het 
afschaffen  van  iedere vorm  van  bonus-malus  tarificatie  de  premies  van  de 
goede  risico's  zal  doen  toenemen  en  dat  de  consument  dit  zeker niet zou 
accepteren.  Deze  conclusie  is  evident,  aangezien  in  dit  geval  de 
subsidierende solidariteit van de goede naar de slechte risico's zou vergroten. 
Maar dit argument toont,  ons inziens,  op  geen enkel vlak de  noodzaak aan 
van  een opgelegde eenvormigheid inzake te hanteren bonus-malus systeem. 
De  afschaffing van  de  verplichting tot eenvormigheid zal  immers  niet  leiden 
tot het afschaffen van de a posteriori tarificatie. Inderdaad, iedere verzekeraar 
zal  in  een  poging om  zijn  verzekeringsprodukt aantrekkelijk te  maken,  de bij 
de  consument  gekende  bonus-malus  techniek  naar  aile  waarschijnlijkheid 
blijven hanteren. 
Actuariele bedenkingen bij een eenvormig opgelegd bonus-malus stelsel  6 Naarmate er in een verzekeringssysteem meer a priori gesegmenteerd wordt, 
worden  de  onderscheiden  risicocategorieen  meer  homogeen,  zodat  een 
minder uitgesproken  bonus-malus  systeem  zal  volstaan  om  een  budgettair 
evenwicht  (globaal  en  per  risicoklasse)  te  bekomen.  De  correctie  die  a 
posteriori  plaats  dient  te  vinden  is  dus  volledig  afhankelijk  van  a  priori 
doorgevoerde segmentering. 
Bij  perfecte a priori segmentatie (hetgeen uiteraard aileen in theorie mogelijk 
is)  kan  men  zelfs  correct  tariferen  zonder  invoering  van  a  posteriori 
aan passingen. 
Het  behoud  van  een  eenvormig  opgelegd  bonus-malus  stelsel  is  dus, 
actuarieel gezien, enkel en  aileen te verantwoorden indien  aile verzekeraars 
eveneens verplicht worden dezelfde a priori segmenteringspolitiek te volgen. 
Bij  behoud  van  een  eenvormig  bonus-malus  systeem  in  een  markt  met 
verzekeraars die een verschillende a priori segmentatie-politiek toepassen zal 
noodzakelijkerwijze de  subsidierende solidariteit verschillen  van  verzekeraar 
tot verzekeraar. leder risico zal op basis van zijn risicokarakteristieken zoeken 
naar de verzekeraar waar hij het minst moet bijdragen voor de andere risico's 
(of waar hij  het meest ontvangt van  de andere risico's).  De zwaarste risico's 
zullen  daarom  de  minst  segmenterende  verzekeraar opzoeken,  de  lichtere 
risico's de meest segmenterende verzekeraar. 
In  de  huidige  Belgische  situatie,  waar  een  subsidiering  optreedt  van  de 
lichtere risico's naar de zwaardere,  zal  iedere verzekeraar deze subsidiering 
kunnen  verminderen  door  meer  a  priori  te  segmenteren.  De  minst 
segmenterende  verzekeraar  zal,  aangezien  hij  onevenwichtig  veel  zware 
risico's  (die  gemiddeld  te  weinig  betalen)  aantrekt,  geconfronteerd  worden 
met negatieve financiele resultaten. Deze verzekeraar wordt dus genoodzaakt 
de  meer segmenterende verzekeraar te  volgen.  Het gevaar van  een  steeds 
toenemende spiraal van segmentering is hierbij niet denkbeeldig. 
We kunnen dus besluiten dat de verplichte eenvormigheid betreffende het te 
gebruiken  bonus-malus  stelsel,  hetgeen  inhoud  dat  het  aantal  klassen,  de 
overgangsregels  en  de  relatieve  verhoudingen  tussen  de  premies  in  de 
verschillende klassen vastliggen,  actuarieel gezien op geen enkele wijze kan 
verantwoord worden. 
Een  afzwakking  van  de  vereisten  aangaande  de  eenvormigheid  van  het te 
hanteren  bonus-malus  stelsel  waarbij  het  aantal  klassen  en  de 
overgangsregels  opgelegd  blijven,  maar  waarbij  de  verzekeraar  vrij  kan 
beschikken over de te  hanteren relatieve verhoudingen tussen de premies in 
de  verschillende  klassen  biedt  voldoende  vrijheidsgraden  om  voor  iedere 
portefeuille  een  financieel  evenwicht  na  te  streven.  Een  dergelijk  systeem 
biedt  bovendien  het  voordeel  dat  de  door  de  verzekeraar  bij  te  houden 
informatie aangaande het schadeverleden van  de verzekerde risico's beperkt 
blijft tot de huidige bonus-malus graad van ieder risico. 
Actuarie/e bedenkingen bij een eenvormig opgelegd bonus-malus stelsel  7 Ten  slotte  merken  we  nogmaals  op  dat  we  met  deze  tekst  geenszins  de 
bedoeling  hebben  om  een  globaal  standpunt  in  te  nemen  in  de  discussie 
omtrent het al  of niet opleggen van  een  uniform  bonus-malus systeem.  We 
hebben  het  probleem  hier enkel  bekeken  vanuit  een  technische,  actuariele 
invalshoek.  We  zijn  er  echter  van  overtuigd  dat  de  hier  behandelde 
problematiek  mee  in  overweging  dient  genomen  te  worden  bij  iedere 
discussie omtrent deze materie 
Actuarieie bedenkingen bij een eenvormig opgelegd bonus-malus stelsel  8 

Actuariële bedenkingen bij een eenvormig opgelegd bonus-malus stelsel.

https://lirias.kuleuven.be/bitstream/123456789/118604/1/OR_9633.pdf

Actuariële bedenkingen bij een eenvormig opgelegd bonus-malus stelsel.

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Research Papers in Economics