This is an expositional note on the transversality condition in continuous time dynamic economic models. We illustrate the basic issues, using the neoclassical one-sector optimal growth asset pricing model. In this class of models the transversality condition is the natural link trying the present to the distant future.

Marcelo Bianconi

Spanish

Research Papers in Economics

UNA NOTA EXPOSITIVA SOBRE 
LA CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD 
EN MODELOS ECONÓMICOS DINÁMICOS 
EN TIEMPO CONTINUO* 
Marcelo Bianconi 
Tufts University 
Resumen: Esta es una nota expositiva sobre la condición 
de transversalidad en modelos económicos di-
námicos de tiempo continuo. Ilustramos las 
cuestiones básicas usando el modelo de creci-
miento neoclásico unisectorial de fijación de 
precios de activos. En esta clase de modelos la 
condición de transversalidad es el vínculo natu-
ral que une el presente con el futuro lejano. 
Abstract: This is an expositional note on the transversality 
condition in continuous time dynamic econo-
mic models. We illustrate the basic issues, using 
the neoclassical one-sector optimal growth asset 
pricing model. In this class of models, the trans-
versality condition is the natural link tying the 
present to the distant future. 
1. Los diseñadores de modelos dinámicos han utilizado métodos de optimi-
zación dinámica en tiempo continuo en muchos campos de la economía y las 
finanzas, especialmente después de la contribución pionera de Ramsey 
(1928). En general, las aplicaciones se han centrado alrededor del siguiente 
problema de control óptimo: 
MaxfvOc,u,i)di + B[x(T),T\ (1) 
* Agradezco a Peter Fortune sus útiles comentarios, así como los de dos dictami-
nadores anónimos. Este documento no contiene ningún resultado nuevo, es una nota 
expositiva sobre resultados existentes en la literatura. El nivel de la exposición es 
heurístico, intuitivo e introductorio. El lector interesado en exposiciones más rigurosas 
es remitido a las citas de referencia. Todos los errores son mi responsabilidad. 
EEco, 6, 2, 1991  287 288 ESTUDIOS ECONÓMICOS 
sujeto a 
x=f(x,u,t) (2) 
x (t0) = x0 (3) 
donde: 
x= estado del sistema en el instante t, 
u= control aplicado en el instante t, 
fí= función del valor del "legado" (el valor del estado en el instante T), 
X0= estado inicial en el instante /0, 
x = dxldt = ley de movimiento del estado x. 
El procedimiento usual para resolver problemas de esta naturaleza es 
establecer la función lagrangeana, L, como: 
eT 
L(x,u,X,l) = ) {v(x,u,t) + \[f{x,u,t)-x]}dt + B[x(T),T\ (4) 
'o 
Integración de (4), por partes, resulta en: 
L(x, w, Xj) = J ( v(.v, u, l) + W(x, «, i) + íx ] }dt 
'o 
+ X(t0)x(t0)-hrxT+Blx(T),T] (5) 
Obsérvese que 
lf(x,uJ) + Íx=)Jc + Íx (6) 
donde el lado derecho es el cambio total en el valor del estado, en el instante 
í, cuando éste está valuado con el precio sombra X. La función hamiltoniana 
se define como el integrando de la función lagrangeana menos las ganancias 
(o pérdidas) de capital, lo que resulta en: 
H'(Kx,u,t)^v + y (7) 
donde nuevamente X es la variable de co-estado, o variable dual, y es 
interpretada como la valuación marginal del estado en el instante /. Las 
condiciones necesarias y suficientes para la solución de (l)-(3) involucran 
las derivadas parciales de la función hamiltoniana y de las ecuaciones de 
co-estado, ver Arrow y Kurz (1970), Brock y Malliaris (1989), Kamien y 
Schwartz (1991). CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD 289 
(8) 
(9) 
x(t0)=xl 0  (10) 
junto con la condición de transversalidad 
MT) = Bx(x,T)  (11) 
donde esta última representa el valor marginal de x en l = T . Nuestro 
propósito en esta nota es dar una explicación intuitiva y heurística de la 
condición de transversalidad (11). Obsérvese primero que si xit)>0 para 
toda f y no hay legado en ; = T, entonces B = 0, lo que significa que el valor 
de x en l = T es cero. En este caso, (11) toma la forma: 
la cual muestra que el estado en / = T, valuado por el precio sombra, es cero; 
alternativamente, nada del valor sobra en la fecha final. Romer (1989) inter-
preta (12) como una consecuencia del teorema de Kuhn-Tucker, el cual dada 
la restricción adicional .*(/) > 0 , requiere una condición complementaria de 
holgura en t = T . Uno también puede interpretar X(T)x(T) como una 
aproximación lineal posible al valor presente de* (T). En el caso ampliamente 
usado en el que T -> ~ (12) toma la forma: 
llamada condición de transversalidad en el infinito. Esta es una condición 
necesaria y suficiente para la optimalidad de una amplia clase de problemas, 
ver Benveniste y Scheinkman (1982). Aquí la interpretación en términos de 
Kuhn-Tucker es que la restricción de no negatividad debe cumplirse en el 
infinito y que (13) es la condición complementaria de holgura. Intuitivamen-
te, la razón por la que debe de cumplirse (13) es que el futuro lejano es 
"insignificante", lo que quiere decir que uno supone que el valor de los 
"restos" MT) x(T), sea cero en la senda óptima. Podría haber situaciones en 
dondeelfuturodistante fuera "significativo", en tales casos no hayrazón para 
esperar que el valor de los "restos" sea forzado a cero a lo largo de una senda 
óptima. En este caso, la ecuación (13) no sería necesaria para la optimalidad, 
ver ejemplo Araujo y Scheinkman (1983). 
K(T) x(T) = 0 
limk(T)x(T) = 0  (13) 290 ESTUDIOS ECONÓMICOS 
2. También podemos examinar (1 )-(3) en su forma de tiempo estacionaria, ver 
Brock (1987), 
rT . . 
Max) e"*' \ix, «, t)dí + e~°' B \x(T), T] (14) 
'o 
sujeto a x=f(x,u,t) (15) 
x(t0) = x0 (16) 
donde 
8 = tasa subjetiva de descuento, considerada constante. 
En este caso, la función hamiltoniana es: 
H(X, x, u, t) = ir* v(x, u,t) + *r* X/ (17) 
las ecuaciones de co-estado son: 
Í = bX-H, (18) 
X = HX (19) 
x(t0) = x0 (20) 
y la condición de transversalidad es: 
X(T) = Bx(x) (21) 
y si x(t) > 0 y B = 0, entonces X(T) x(T) = 0. 
Cuando entonces (21) se convierte en 
lim e
-8' X(i) x(t) = 0 (22) 
la cual es una condición necesaria y suficiente para que la solución de (14)-(l 5) 
sea óptima. Es esta condición la que determinará, en última instancia, la 
condición inicial X(0) = X0.Y también requisito necesario y suficiente para 
que la solución de (18) sea óptima. 
3. Los argumentos anteriores resuelven muchos problemas interesantes de 
inestabilidad en modelos económicos dinámicos. Esto es particularmente 
claro si vemos el modelo de crecimiento neoclásico unisectorial de fijación de 
precios de activos. En este modelo, la familia representativa resuelve: CONDICIÓN DE TRANS VERS ALIDAD 291 
Max \ e*' U(c)dt (23) 
c,z,k 0 
sujeto a: 
az + k = rk + nz-c (24) 
z(0)=l, z(/)>0 (25) 
*(0) = *0, *(/) > 0 (26) 
donde: 
a = precio del activo 
r = renta de capital 
TI = tasa de dividendos 
z = cantidad (proporción) del activo perfectamente divisible 
c. = consumo 
k = cantidad de capital 
U(.) = función de utilidad, U'(.) > 0 U"(.) < 0, U'(0) = ~, í/'(~) = 0 . 
En (23M26), la familia toma a, r, y n como paramétricamente dados. U 
empresa representativa renta capital de los consumidores a la tasa r para 
resolver: 
Tt^max \f(k) -rk] (27) 
k 
donde/(/t) es la función neoclásica de producción que satiface/'(.)> 0 , 
/" (.)<0,/'(0) = ~,/' M = 0. 
4. Para precisar el argumento de la condición de transversalidad, considere-
mos primero las ecuaciones (20)-(24) cuando no hay acumulación de capital, 
esto es k = k = 0. En este caso, (23)-(26) resulta en: 
Maxf e-^Ui^dt (28) 
c.z 0 
sujeto a: 
az = nz-c (29) 
z(0) = 1 , z(t) > 0. (30) 
La función hamiltoniana se podría escribir como: 
HBtr*U(c) + f*\(t) (nz-c)  (31) 292 ESTUDIOS ECONÓMICOS 
y las condiciones de primer orden son: 
//c_> U'(c) = X(t) (32) 
Hz^> X(t)n = bX(t)a-X(t)a-X(t)¿ (33) 
las cuales junto con (29)-(30) determinan el equilibrio de previsión perfecta. 
Sin embargo, obsérvese que el equilibrio en el mercado de acciones implica 
z = l,así: 
z = 0^>c'=n-*U'(c^ = l->X = 0 (34) 
La ecuación (33) se simplifica como 
8 = (7t/a) + (¿/a) (35) 
la cual establece que las ganancias de capital, ala, más los dividendos como 
una proporción del precio de los bonos, es igual a la tasa subjetiva de 
descuento, o el costo de retención de los activos. La ecuación (35) es una 
ecuación que elimina la posibilidad de arbitraje, en el sentido de que todas 
las oportunidades de beneficio están agotadas. Al integrar (35) sobre t 
obtenemos: 
a (l) = e
8' \a(0) - f' ne^
1 ds]. (36) 
De acuerdo con (36), a(0) podría (o no) exceder el valor descontado del 
flujo de dividendos, f TC e
-6' ds . A lo largo de la senda, las ganancias de 
capital son tales que el activo tiene un valor positivo (negativo) en t, para toda 
t. El precio de las' acciones es infinito cuando / -> ~. La condición necesaria y 
suficiente para (28)-(30) es la condición de transversahdad: 
lim eS<X(t)a(t)z(l) = 0 (37) 
Intuitivamente, si la ecuación (37) no es satisfecha, el consumidor podría 
pedir prestado indefinidamente, pagando el interés con préstamos adiciona-
les (el esquema de Ponzi). Dada (34), la ecuación (37) se simplifica como 
lim e-f Xa (í) = 0 (38) 
la cual junto con (36) implica: CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD 293 
5L[aíO)-r«f-*rfíJ = 0 (39) 
o 
la cual a su vez nos permite encontrar la condición endógena inicial (X = 0 es 
descartada por la condición de no-saciedad) 
a{Q)=fne^dt. (40) 
o 
Esto es, el precio del activo debe igualar el valor descontado del flujo de los 
dividendos, y esto elimina la inestabilidad dinámica del precio del activo. 
Otra manera de ver el papel que juega (37) es resolver (35), para obtener: 
a(t) = (n/b) + A e
5' (41) 
donde A es una constante a determinar. Usualmente, la constante sería 
determinada por la condición exógetia inicial. Sin embargo, para que haya 
estabilidad se requiere que la condición inicial sea endógena y determinada 
por (38). De hecho, (41) muestra que cuando / -> ~, a(t) -> ~; por lo tanto, al 
usar (38) y (41) obtenemos: 
lim X [(71/5)^'-¿1 = 0 (42) 
.o cual implica que 
A=0. (43) 
Por lo tanto (43) nos lleva a 
<j(0)=7t/8 (44) 
y (40) implica que 
J ne-*'dt = n/8 
esto es, el valor descontado del flujo de dividendos es la razón entre la tasa 
de dividendos y la tasa subjetiva de descuento (obsérvese que si r = 5 = TI, (45) 
es sólo la unidad). Por lo tanto, (43), la cual elimina la posibilidad de inesta-
bilidad del precio del activo, es consistente con la condición de transversali-
dad. De hecho, esto constituye una solución al problema de inestabilidad de 
"filo de navaja" de Hahn (1966). 
5. Considérese el problema (23)-(27) con acumulación de capital, el cual ilustra 
con más detalle el problema de inestabilidad de filo de navaja. En este caso, 
el problema que enfrenta la familia involucra la función hamiltoniana 294 ESTUDIOS ECONÓMICOS 
H^e-t'UM + e^'UDirk + nz-c). (46) 
Y las condiciones de primer orden son: 
tfc-> U'(c) = Ht) (47) 
tfz-> X(t)n = bX(t)a-X(t)a-X(t)à (48) 
//¿-> X(l)r = -X(t) + ÒX(l) . (49) 
Las empresas rentan capital conforme a (27), lo que implica 
/'(*) = *• (50) 
y la dinámica del sistema puede ser expresada en términos de k y X, usando 
z = z= 1, - = 0, (24), (47), (49), (50): 
k=f(x)-c(X),c'<0 
X = X[ò-f'(k)} . 
(51) 
(52) 
El sistema diferencial (51)-(52) ilustra el problema de inestabilidad de filo 
de navaja. Para estudiar las propiedades del sistema, primero aproxímese 
linealmente alrededor del estado estable: 
k 
X 
v / 
f 
«11  «12^  'k  -V 
«21  «22  X  A. 
V  )  V  ) 
(53) 
donde 
fln =/'(£) >0 
an = -c'(X)>0 
a2^=-Xf"(k)>0 
fl22 = 8-/'(it) = 0. 
Las dos raíces propias de la matriz A son A., , ^ , y su producto 
X^ = -a,^, < 0, lo cual indica que A., < 0 y X1 > 0 (esto es, las raíces son 
reales con signo contrario). El sistema (53) tiene un comportamiento de punto 
de silla. En particular, podemos resolver (53) para obtener: 
k(l) = k + A] e
x
u + A2e
n'  (54) CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD 295 
Ul) = l+K\-au)/an]Aie
ku+\a2i/(X2-a22))A2e
K2' (55) 
donde /i, y A2 son las constantes a determinar. La variedad estable XX' está 
dada por: 
[X<O-Xl = [(X1-a11)/«12l[Jt(0-¡t] (56) 
la cual tiene pendiente negativa y es consistente con A2 = 0. Por otro lado, la 
variedad inestable, IT', es: 
\k(t)-l} = [a2l/(X2- a22)] [ k(l) - k 1 (57) 
la cual tiene pendiente positiva y es consistente con Ax = 0. La figura 1 ilustra 
la dinámica. La condición inicial *(0) = *0 está dada exógenamente. Ahora, 
supongamos que = \ también está dada exógenamente en el punto A de 
la figura 1. Es claro que el sistema seguiría la trayectoria inestable AA' . La 
solución es hacer que X(0) se determine endógenamente para que se satisfaga 
la condición de transversalidad: 
limí'-
8'A.(;)A(í) = 0. (58) 
Figura 1 
Comportamiento de punto de silla. 
Problema decrecimiento neoclásico unisectorial. 296 ESTUDIOS ECONOMICOS 
Las constantes A{ y A2 son determinadas respectivamente por la condi-
ción exógena inicial y la condición de transversalidad. Ya que *0 es exógena, 
X(ü) debe ser una función de *0 que ubique el punto inicial \lcQ, UO)] sobre la 
variedad estable XX'. De hecho, por (56)'tenemos: 
X(0) = X+\(Xl-an)/an]\k()-k] (59) 
la cual, dada *0, sitúa al sistema en el punto B de la figura 1, asegurando la 
convergencia hacia el estado estable. Por lo tanto, la condición de transversa-
lidad se cumple cuando A2 = 0 en (54)-(55), lo cual elimina todas las trayecto-
rias inestables como AA' y garantiza que, dada k0 X(0) es tal que k(l) y X(l) estén 
realmente en la variedad estable. Es así como el problema de inestabilidad de 
filo de navaja es resuelto. 
6. Hay que destacar que el problema de acumulación de capital es resuelto 
independientemente del problema de fijación de precios de activos. En reali-
dad, la solución para el modelo con acumulación de capital es la solución del 
modelo simple de crecimiento neoclásico unisectorial: 
Ma.xfe^>U(c)dt (60) 
c.k 0 
sujeto a 
k=f(k)-c (61) 
¿(0) = kQ, k(t) > 0 . (62) 
El modelo (60)-(62) resuelve las trayectorias óptimas dec[X(t)]y k(t). A 
lo largo de estas trayectorias el precio de equilibrio del activo, usando (27), 
(41), (45), (48), (49), es simplemente: 
a(i)= re-¡y-^'^^lf(k)-f'(k)k] di. (63) 
o 
Por lo tanto, la solución respecto a las variables reales en el modelo de 
crecimiento es independiente de la solución respecto a la valuación de los 
activos. 
7. Hemos mostrado el papel de la condición de transversalidad en modelos 
económicos dinámicos en tiempo continuo. Mostramos, en particular, cómo 
ésta resuelve el problema de inestabilidad de filo de navaja de Hahn (1966). 
En cierto sentido, la solución radica en el hecho de que la condición de 
transversalidad estableceunvínculoentreelestadoactualyelfuturodistante. CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD 297 
También, hemos mostrado que la solución del modelo de crecimiento neoclásico 
unisectorial de fijación de precios de activos se efectúa claramente en dos 
etapas: la solución de las cantidades reales dadas por el modelo simple de 
crecimiento óptimo y la valuación de los activos. 
Referencias 
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tion for Concave Infinite Horizon Economic Models", Journal of Economic Theory, 
vol. 30, pp. 1-16. 
Arrow, K. J., y M. Kurz (1970). Public Investment, the Rate of Return, and Optimal Fiscal 
Policy, Resources for the Future, Baltimore, John Hopkins University Press. 
Benveniste, L, y J. Scheinkman (1982). "Duality Theory for Dynamic Optimizing 
M odels of Economics: The Continuous Time Case", Journal of Economic Theory, vol. 
27, pp. 1-19. 
Brock, W. A. (1987). "Optimal Control and Economic Dynamics", en J. M. Eatwell y P. 
Newman (comps.), The Neto Palgrave: A Dictionary of Economics, pp. 721-727. 
, y A. Malliaris (1989). Differential Equations', Stability, and Chaos in Dynamic 
Economics, Amsterdam, North-Holland. 
Hahn, F. (1966). "Equilibrium Dynamics with Heterogeneous Capital Goods", Quarter-
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Kamien, M. I., y N. L. Schwartz (1991). Dynamic Optimization: The Calculus of Variations 
and Optimal Control in Economics and Management, segunda edición, Amsterdam, 
North-Holland. 
Ramsey, F. (1928). "A Mathematical Theory of Savings", Economic Journal, vol. 38, pp. 
543-559. 
Romer, P. (1989). "Capital Accumulation in the Theory of Long-Run Growth", en R. J. 
Barro (comp.), Modern Business Cycle Theory, Cambridge, Harvard University 
Press, pp. 51-127. 

Una nota expositiva sobre la condición de transversalidad en modelos económicos dinámicos en tiempo continuo

http://codex.colmex.mx:8991/exlibris/aleph/a18_1/apache_media/C78LY1JHCAHNNUTFQVLYJXPV6ECKMA.pdf

Una nota expositiva sobre la condición de transversalidad en modelos económicos dinámicos en tiempo continuo

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