У статті виділено  основні  типи  тригонометричних  рівнянь  з параметрами у діючих підручниках з математики

Кучерук, А.

Прус, А. В.

Кучерук А.

Zhytomyr State University Library

Кучерук Альона,студентка Vкурсу, спеціальність «Математика».Науковий керівник -  ПрусА. В., кандидат педагогічних наук, доцентТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ 3 ПАРАМЕТРАМИ У ШКІЛЬНОМУ КУРСІВміти розв’язувати завдання з параметрами -  це свідчення високої математичної компетентності старшокласників. Задачі з параметрами зустрічаються майже кожного року серед завдань зовнішнього незалежного оцінювання. Наприклад, на ЗНО у 2011 році було запропоноване таке завдання: «Знайдіть найменше значення а, при якому має розв’язок рівняння ^(sinx + \ ?3cos х) = 4 — За — 2а2». На ЗНО у 2014має безліч розв’язків».році для розв’язування було дано таке завдання: «Знайдіть найбільше значення параметра а, при якому система рівнянь І ( 2 а —5) sin jc +cos* = 2 {(а — 2) sin х + (2а — 5)cosx = а — 1У програмах з математики для неспеціалізованих шкіл даному виду завдань відводиться незначне місце, тому завдання з параметрами є чи не найскладнішими для учнів.Мета статті -  виділити основні типи тригонометричних рівнянь з параметрами у діючих підручниках з математики.Мною були проаналізовані діючі підручники з алгебри для 10-х класівП,2, 3].У цих підручниках підручниках не дається чіткого означення параметра, а всі наведені завдання є однотипними. Виокремимо такі типи завдань:1. Разе 'язати задачу з параметром;2. Знайти значення параметра, при ярих виконується рівність, яке не має коренів.3. Знайти кількість коренів рівняння в золеснсності від параметра;604. Знайти усі значення параметра, при яких корені рівняння задовольняють певну умову;5. Знайти усі значення параметра, при яких рівняння (нерівність, система) має один корінь (два корені, безліч коренів, не має коренів).Розглянемо розв’язання одного із найбільш поширеного типу завдань. Приклад 1 (Є. П. Нелін, проф. рівень, 10 кл). Розв’яжіть рівнянняtg2x = actgx (1)Розв’язання. ОДЗ: 2 \  -  1 > :п>.,и r  Z ,2 тоді,х Ф тгт, т Є Z,х ф ' -^ф  к  Є  1 ,  х Ф жт, т Є Z.Зведемо тригонометричні функції до одного аргументу х, використовуючи формулу тангенса подвійного аргументу, а потім зведемо всі вирази до однієї функції tgx, використовуючи формулу ctgx = — Привикористанні формул звузиться ОДЗ, і тому щоб не втратити корені заданого рівняння , ті значення, на які звужується ОДЗ (х = ~ + гґк).розглянемо окремо.1. При х — ^+  тік,к Є Z, з рівняння (1) одержуємо: tg(n+  2nk) = actg(* + nk), тобто 0 = «. хО -  рівність, правильну прибудь-яких значеннях а. Отже, при всіх значеннях параметра а задане рівняння має корені х = -  + пк, к Є Z.II. При х Ф 4- и к  зводимо тригонометричні вирази до однієї функціїта виконавши рівносильні перетворення отримаємо рівняння (2):24 ах. = яке на ОДЗ рівносильне рівнянню 2tg2x ■ atg-x.Звідси (2 + a)tgzx = а (З)1) Якщо 2 + а = 0, тобто а = ~2, то одержуємо рівняння0 х tg2x = -2,2) Якщо 2 4- в Ф 0, тобто а  Ф —2, то одержуємо рівнянняі с г \ -  , (4)Щоб розв’язати дане рівняння, потрібно знати знак виразу, який стоїть у правій частині, оскільки tg2x може бути від’ємном. Розглянемо Для правої частини три випадки: вона менша від нуля, дорівнює нулю, більша за нуль.а) Якщо —; < 0, то коренів немає. Розв’яжемо дану нерівністьметодом інтервалів (рис. 1), одержуємо -2  < а <  0.-2Рис. 1.0 аОтже, при —2 < а < 0 коренів не має.б) Якщо = 0, ( тобто а=0), одержуємо рівність tgx  = 0, яке має корені х = як, к Е 2. Дле ці корені не входять до ОДЗ заданого рівняння. Отже, і при а =  0 коренів немає.в) Якщо > 0 (тобто о < —2 або а > 0), то з рівняння (4) одержуємоtgx  = Звідси х = arctg (±  -+• жі, І є Z.З’ясуємо, при яких значеннях а одержані корені рівняння (4) не входять до ОДЗ. Для цього достатньо в рівняння (4) замість аргумента х підставити «заборонені» значення. Ураховуючи, що функції, які входять до запису заданого рівняння (1), мають спільний період Т = п (ід іхм гс  період Т,_ = р  a ctgx має період Т, = тт), достатньо підставити ці значення на одному періоді, наприклад на проміжку [0; л]. у  цьому проміжку до ОДЗ не входять такі значення: 0; - ;  —; я. При г = 0 або х = я  з рівняння (4) одержуємо = 0, тобто а = 0. Випадок а = 0 ми вже дослідили (коренів немає). При х  = ~ або х  = ~  з рівняння (4) одержуємо ^  =  1- Але при жодному значенню а ця рівність не може виконуватись. Отже, при всіх значеннях а <  —2 або а > 0 одержані розв’язких  — arctg + пі, І € Z, входять до ОДЗ початкового рівняння.Зобразимо одержанірозв'язки на вісь параметрів (рис. 2).а > 0, то х = — + як, к e Z, x  = arctg \ ± } + яІ,1 Є Z.2 \  а42/Розв’язування тригонометричних рівнянь з параметрами викликають великі труднощі в учнів. Адже їх розв’язування вимагає мати високий рівень знань з кожного розділу математики, зокрема з тригонометрії. Основною, на нашу думку, причиною труднощів є недостатня увага вчителів до розв’язування таких завдань на уроках математики.62Література1. Мерзляк А. Г., Номіровський Д.А., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10 кл. з поглибленим вивченням математики. -  X. : Гімназія, 2010. -  415 с.2. Мерзляк А. Г., Номіровський Д.А., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10 кл. загадьноосвіт. навч. закладів: академічний рівень. -  X. : Гімназія, 2011. -  352 с.3. Нелін Є. П. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10 кл. загадьноосвіт. навч. закладів: профільний рівень. — X. : Гімназія, 2010. -  416 с.

Тригонометричні рівняння з параметрами у шкільному курсі

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Zhytomyr State University Library