Оновной целью является распространение одного утверждения на более широкий класс отображений

Севостьянов, Е. А.

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

Севостьянов Е. А.

Zhytomyr State University Library

УДК 517.5E. А. Севостьянов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙС НЕОГРАНИЧЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙWe study the problem of extension of mappings f : D → Rn, n ≥ 2, to the boundary of a domain D. Under certainconditions imposed on a measurable functionQ(x), Q : D → [0,∞], and the boundaries of the domainsD andD ′ = f(D),we show that an open discrete mapping f : D → Rn, n ≥ 2, with quasiconformality characteristic Q(x) can be extendedto the boundary ∂D by continuity. The obtained statements extend the corresponding Srebro’s result to mappings withbounded distortion.Вивчаються питання продовження вiдображень f : D → Rn, n ≥ 2, на межу областi D. За певних умов на вимiрнуфункцiю Q(x), Q : D → [0,∞], i межi областей D i D ′ = f(D), показано, що вiдкрите дискретне вiдобра-ження f : D → Rn, n ≥ 2, яке має характеристику квазiконформностi Q(x), продовжується неперервним чиномна межу ∂D. Отриманi твердження поширюють вiдповiдний результат У. Сребро для вiдображень з обмеженимспотворенням.1. Введение. Всюду далее D — область в Rn, n ≥ 2, m — мера Лебега Rn, запись f : D → Rnпредполагает, что отображение f, заданное в области D, непрерывно. Основные определенияи обозначения, используемые в настоящей работе, но не приводимые ниже, можно найти,например, в статьях [1, 2], а также в монографии [3]. Границу ∂D, замыкание D областиD ⊂ Rn (либо области D ⊂ Rn), а также наличие предела для отображения f : D → Rn(либо f : D → Rn) в дальнейшем будем понимать в смысле пространства Rn относительнохордальной метрики h, определенной соотношениямиh(x,∞) = 1√1 + |x|2, h(x, y) =|x− y|√1 + |x|2√1 + |y|2, x 6=∞ 6= y .Основной целью настоящей статьи является распространение одного утверждения, извест-ного для отображений с ограниченным искажением (см., например, [4, 5]), на более широкийкласс отображений. По этому поводу см. теорему 4.2 в работе У. Сребро [6], а также теорему4.10 в диссертации М. Вуоринена [7] (разд. 4, гл. II). Пусть E, F ⊂ Rn — произвольные множе-ства. Обозначим через Γ(E,F,D) семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn, которые соединяютE и F в D, т. е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b). Здесь и далееA(r1, r2, x0) := {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2} . (1)Введeм в рассмотрение следующую конструкцию (см. разд. 7.6, гл. VII в [3]). Пусть Q : Rn →→ [0,∞] — измеримая по Лебегу функция, Q(x) ≡ 0 при всех x 6∈ D. Говорят, что отображениеf : D → Rn является кольцевым Q-отображением в точке x0 ∈ D, x0 6= ∞, если для неко-торого r0 = r(x0) и произвольных сферического кольца A = A(r1, r2, x0), центрированного вточке x0, радиусов r1, r2, 0 < r1 < r2 < r0 = r(x0), и любых континуумов E1 ⊂ B(x0, r1)∩D,E2 ⊂(Rn \B(x0, r2)) ∩D отображение f удовлетворяет соотношениюM (f (Γ (E1, E2, D))) ≤∫AQ(x) · ηn(|x− x0|) dm(x) (2)c© Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2012ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6 855856 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВдля каждой измеримой функции η : (r1, r2)→ [0,∞] такой, чтоr2∫r1η(r) dr ≥ 1 . (3)Отметим, что при Q(x) ≤ K ′ соотношение (2) влечет условие M(f(Γ)) ≤ K ′ · M(Γ) длясемейств кривых Γ, соединяющих сферы S(x0, r1) и S(x0, r2), как только x0 ∈ D и 0 < r1 << r2 < dist(x0, ∂D); это, вообще говоря, нельзя утверждать относительно любого семейства Γкривых γ в D. Отметим также, что произвольное отображение f с ограниченным искажениемудовлетворяет соотношениям вида (2), (3) с Q, равным некоторой постоянной.Будем говорить, что граница ∂D области D сильно достижима в точке x0 ∈ ∂D, еслидля любой окрестности U точки x0 найдутся компакт E ⊂ D, окрестность V ⊂ U точки x0 ичисло δ > 0 такие, что M(Γ(E,F,D)) ≥ δ для любого континуума F в D, пересекающего ∂Uи ∂V (см., например, разд. 3.8 в [3]). Одним из наиболее важных результатов настоящей статьиявляется следующее утверждение.Утверждение. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-отображение вточке b ∈ ∂D, f(D) = D ′, область D локально связна в точке b, C(f, ∂D) ⊂ ∂D ′ и областьD ′ сильно достижима хотя бы в одной точке y ∈ C(f, b). Предположим, что функция Qимеет конечное среднее колебание в точке b. Тогда C(f, b) = {y}.2. Формулировка и доказательство основной леммы.Следующая лемма доказана В. И. Ря-зановым и Р. Р. Салимовым для случая гомеоморфизмов (см. лемму 5.1 [8]) и представляет собойосновной результат настоящей работы в наиболее общем случае.Лемма 1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-отображение вточке b ∈ ∂D, b 6= ∞, f(D) = D ′, область D локально связна в точке b, C(f, ∂D) ⊂ ∂D ′и область D ′ сильно достижима хотя бы в одной точке y ∈ C(f, b). Предположим, чтонайдутся ε0 > 0 и некоторая положительная измеримая функция ψ(t), ψ : (0, ε0) → (0,∞),такая, что для всех ε ∈ (0, ε0)0 < I(ε) =ε0∫εψ(t)dt <∞ (4)и при ε→ 0 ∫A(ε,ε0,b)Q(x) · ψ n(|x− b|) dm(x) = o(In(ε)) , (5)где A := A(ε, ε0, b) определено в (1). Тогда C(f, b) = {y}.Доказательство. Предположим противное. Тогда найдутся, по крайней мере, две после-довательности xi, x ′i ∈ D, i = 1, 2, . . . , такие, что xi → b, x ′i → b при i → ∞, f(xi) → y,f(x ′i ) → y ′ при i → ∞ и y ′ 6= y. Отметим, что y и y ′ принадлежат ∂D ′, так как по условиюC(f, ∂D) ⊂ ∂D ′. По определению сильно достижимой границы в точке y ∈ ∂D ′ для любойокрестности U этой точки найдутся компакт C ′0 ⊂ D ′, окрестность V точки y, V ⊂ U, и числоISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . 857δ > 0 такие, чтоM(Γ(C ′0, F,D′)) ≥ δ > 0 (6)для произвольного континуума F, пересекающего ∂U и ∂V. В силу предположения C(f, ∂D) ⊂⊂ ∂D ′ для C0 := f −1(C ′0) выполнено условие C0 ∩ ∂D = ∅. Тогда, не ограничивая общностирассуждений, можно считать, что C0 ∩ B(b, ε0) = ∅. Поскольку область D локально связна вточке b, можно соединить точки xi и x ′i кривой γi, лежащей в V ∩D. Можно также считать,что γi ∈ B(b, 2−i) ∩D. Поскольку f(xi) ∈ V и f(x ′i ) ∈ D \ U при всех достаточно большихi ∈ N, найдeтся номер i0 ∈ N такой, что согласно (6)M(Γ(C ′0, f(γi), D′)) ≥ δ > 0 (7)при всех i ≥ i0 ∈ N. Обозначим через Γi семейство всех полуоткрытых кривых βi : [a, b)→ Rnтаких, что βi(a) ∈ f(γi), βi(t) ∈ D ′ при всех t ∈ [a, b) и, кроме того, limt→b−0 βi(t) := Bi ∈ C ′0.Очевидно, чтоM(Γi) = M(Γ(C ′0, f(γi), D′)) . (8)При каждом фиксированном i ∈ N, i ≥ i0, рассмотрим семейство Γ ′i максимальных поднятийαi(t) : [a, c) → D семейства Γi с началом во множестве γi. Такое семейство существует иопределено корректно в силу следствия 3.3 гл. II в [5] (см. также замечание, приведенное выше).Прежде всего заметим, что никакая кривая αi(t) ∈ Γ ′i , αi : [a, c) → D, не может стремитьсяк границе области D при t → c − 0 в силу условия C(f, ∂D) ⊂ ∂D ′. Тогда C(αi(t), c) ⊂ D.Предположим теперь, что кривая αi(t) не имеет предела при t → c − 0. Тогда предельноемножество C(αi(t), c) является континуумом вD. В силу непрерывности отображения f имеемf ≡ const на C(αi(t), c), что противоречит предположению о дискретности f.Следовательно, существует limt→c−0 αi(t) = Ai ∈ D. Отметим, что в этом случае по опре-делению максимального поднятия c = b. Тогда, с одной стороны, limt→b−0 αi(t) := Ai, а сдругой — в силу непрерывности отображения f в Df(Ai) = limt→b−0f(αi(t)) = limt→b−0βi(t) = Bi ∈ C ′0 .Отсюда по определению C0 следует, чтоAi принадлежит C0. Погрузим компакт C0 в некоторыйконтинуумC1, все еще полностью лежащий в областиD (см. лемму 1 в [9]). За счет уменьшенияε0 > 0 можно снова считать, что C1 ∩B(b, ε0) = ∅. Заметим, что функцияη(t) ={ψ(t)/I(2−i), t ∈ (2−i, ε0),0, t ∈ R \ (2−i, ε0) ,где I(ε) :=∫ ε0ε ψ(t)dt, удовлетворяет условию нормировки вида (3) при r1 := 2−i, r2 := ε0,поэтому в силу определения кольцевого Q-отображения в граничной точке, а также условий(4), (5)M(f(Γ ′i)) ≤ ∆(i) , (9)где ∆(i)→ 0 при i→∞. Однако Γi = f(Γ ′i ), поэтому из (9) получимISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6858 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВM(Γi) = M(f(Γ ′i )) ≤ ∆(i)→ 0 при i→∞. (10)Но соотношение (10) вместе с равенством (8) противоречат неравенству (7), что и доказываетлемму.3. Основные результаты. Пусть Q : D → [0,∞] — измеримая по Лебегу функция, тогдаqx0(r) обозначает среднее интегральное значение Q(x) над сферой |x − x0| = r, qx0(r) :=:=1ωn−1rn−1∫|x−x0|=rQ(x) dS, где dS — элемент площади поверхности S. Полагаемq ′b(r) :=1ωn−1rn−1∫|x−b|=rQ ′(x) dS , Q ′(x) ={Q(x), Q(x) ≥ 1 ,1, Q(x) < 1 .(11)Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение.Теорема 1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-отображение вточке b ∈ ∂D, b 6= ∞, f(D) = D ′, область D локально связна в точке b, C(f, ∂D) ⊂ ∂D ′и область D ′ сильно достижима хотя бы в одной точке y ∈ C(f, b). Предположим, чтовыполнено хотя бы одно из следующих условий: 1) функцияQ имеет конечное среднее колебаниев точке b; 2) qb(r) = O([log1r]n−1)при r → 0; 3) при некотором δ(b) > 0 выполненоусловиеδ(b)∫0dttq′ 1n−1b (t)=∞ . (12)Тогда C(f, b) = {y}.Доказательство. Утверждение теоремы непосредственно вытекает из доказанной вышелеммы 1 и леммы 8 в [1].Замечание 1. Теорему 1 можно распространить на случай b = ∞, если в этой точкеопределить, например, с помощью инверсии ϕ(z) =z|z|2 соответствующие условия 1 – 3 этойтеоремы.Пусть Φ: [0,∞] → [0,∞] — неубывающая функция. Тогда обратная функция Φ−1 можетбыть корректно определена следующим образом:Φ−1(τ) = infΦ(t)≥τt . (13)Как обычно, инфимум в (13) равен ∞, если множество t ∈ [0,∞] таких, что Φ(t) ≥ τ, пусто.Заметим, что функция Φ−1 также является неубывающей.Теорема 2. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-отображение вточке b ∈ ∂D, f(D) = D ′, область D локально связна в точке b, C(f, ∂D) ⊂ ∂D ′ и областьD ′ сильно достижима хотя бы в одной точке y ∈ C(f, b). Предположим, что существуютчисло M > 0, неубывающая выпуклая функция Φ: [0,∞] → [0,∞] и окрестность U точки bтакие, чтоISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . 859∫UΦ(Q ′(x)) dm(x)(1 + |x|2)n ≤ M (14)и∫ ∞δ0dττ [Φ−1(τ)]1n−1=∞ при некотором δ0 > Φ(0). Тогда C(f, b) = {y}.Функция Q ′, содержащаяся в неравенстве (14), определена соотношением (11). Заметим,что случай b =∞ здесь также допускается.Доказательство. Из теоремы 3.1 в [2] следует расходимость интеграла вида (12) принекотором δ(b) > 0, остальное следует из леммы 1 и леммы 8 в [1].Замечание 2. Соотношения вида (2) установлены для многих классов отображений, на-пример для так называемых отображений с конечным искажением длины при явных значенияхQ(x) (см., например, теорему 8.5 в [3], а также работу [10]).1. Севостьянов Е. А. О точках ветвления отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности //Сиб. мат. журн. – 2010. – 51, № 5. – С. 1129 – 1146.2. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем отображений //Сиб. мат. журн. – 2011. – 52, № 3. – С. 665 – 679.3. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Sci. +Business Media, LLC, 2009.4. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск: Наука, 1982.5. Rickman S. Quasiregular mappings // Results in Math. and Relat. Areas. – 1993. – 26, № 3.6. Srebro U. Conformal capacity and quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. Math. – 1973. – 529. –P. 1 – 8.7. Vuorinen M. Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn.Ser. A 1. Math. Diss. – 1976. – 11. – P. 1 – 44.8. Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр. мат. вестн.– 2007. – 4, № 2. – P. 199 – 234.9. Смоловая Е. С. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах // Укр. мат.журн. – 2010. – 62, № 5. – С. 682 – 689.10. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math. and Math.Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.Получено 12.10.11ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6

О граничном поведении открытых дискретных отображений с неограниченной характеристикой.

http://dspace.nbuv.gov.ua/xmlui/bitstream/123456789/164409/1/12-Sevost%e2%80%99yanov.pdf

О граничном поведении открытых дискретных отображений с неограниченной характеристикой.

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Zhytomyr State University Library